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第 15 章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 等腰三角形
课时2 等腰三角形中的“三线合一”
1.理解等腰三角形中的“三线合一”的概念和验证定理的过程.
2.能利用等腰三角形的推论来解决问题.
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗
∠ADB = ∠ADC = 90°，
∠BAD =∠CAD.
一、等腰三角形的性质定理2
思考：由前面定理1的证明还能得到什么结论？
A
C
D
B
猜想：等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角.
1. 如果作 BC 边上的高线 AD，那么 AD 平分 BC 吗？AD 平分 ∠BAC 吗
思考
如图，在△ABC中，AB = AC.
证明：作底边 BC 的高 AD，交 BC 于点 D.
∵ AD⊥BC，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴ BD＝CD，∠BAD ＝∠CAD.
A
B
C
D
2.如果作∠ABC 的顶角平分线 AD，那么 AD 垂直平分 BC 吗
A
C
D
B
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D.
∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAD＝∠CAD.
在△ABD 与△ACD 中，
AB＝AC（已知），
∠BAD＝∠CAD（已证），
AD＝AD（公共边），
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC.
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
A
C
B
证明后的结论，以后可以直接运用.
定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合. 简称“三线合一”.
A
B
C
D
(
(
1
2
填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.
在△ABC 中，AB = AC.
(1) ∵ AD⊥BC，
∴∠____=∠____，_____=_____.
(2) ∵ AD 是中线，
∴ ____⊥____，∠____ =∠____.
(3) ∵ AD 是角平分线，
∴ ____⊥____，____ =____.
1
2
2
BD
CD
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
为什么不一样
1. 等腰三角形的顶角一定是锐角.
2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角.
3. 钝角三角形不可能是等腰三角形.
4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.
5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（ X ）
（ X ）
（ X ）
（ X ）
（ √ ）
（ √ ）
判断下列说法正误：
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BD＝CE.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
∴ BF＝CF.
∵ AB＝AC，
∴ AF⊥BC.
图①
A
B
D
G
E
C
图②
A
B
D
E
C
F
方法总结：在等腰三角形的有关计算或说明理由的问题中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
例2 如图，在△ABC中，AB =AC，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 上一点，求证：BE = CE.
证明 ∵ AB = AC，AD 是边 BC 上的中线，(已知)
∴ AD 是 BC 边上的高.(三线合一)
∴ AD 垂直平分线段 BC .
（垂直平分线的定义）
∵ 点 E 是 AD 上一点（已知）
∴ BE = CE.（垂直平分线的性质）
例3 求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知，如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C =∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A'
A
B
C
C'
B'
本例是14.2中以学过的判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明
证明：在平面内移动 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使点 A 和 A'，点 C 和 C' 重合，点 B 和点 B' 在 AC 两侧，如图.
∵∠BCB' = 90° + 90°= 180°，
∴B，C，B' 三点在一条直线上.
在△ABB' 中，∵AB = AB'，∴∠B = ∠B'.
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠ACB =∠A'C'B' (已知)，
∠B =∠B' (已证)，
AB = A'B' (已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (AAS).
(A')
A
B
C
(C')
B'
A
B
C
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
三条对称轴
问题：等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
等边三角形是特殊的等腰三角形，三线合一对于等边三角形也成立.
1.如图，在 △ABC 中，AB ＝ AC，AD ⊥ BC，垂足为D，BD = 4，则 BC =（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
D
2. 如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，BD = BF，则∠CDF 的度数是（　 ）
A．10° B．15°
C．20° D．25°
B
B
C
D
A
F
3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°，求∠BAD 和 ∠ADC 的度数.
A
B
C
D
解：∵ AB = AC，D 是 BC 边上的中点，
∴∠C =∠B = 30°，
∠ADC = 90°.
∴∠BAD =∠ADC -∠B = 90° - 30° = 60°.
A、B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1，请在图中标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置．
拓展提升：
A
B
A
B
分别以 A、B、C 为顶角
顶点来分类讨论！
8 个
这样分类就不会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
等腰三角形的性质
三线合一
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质

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