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第 15 章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
课时3 等腰三角形的判定定理及推论
1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点）
2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算.（重点、难点）
在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
AB = AC
你能验证你的结论吗？
一、等腰三角形的判定
在△ABD 与△ACD 中，
∠1 =∠2，
∴ △ABD≌△ACD(AAS).
∠B =∠C，
AD = AD，
∴ AB = AC.
过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形.
则∠1 =∠2.
∴ AC = AB ( )，
即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.“等角对等边”
已知
等角对等边
在△ABC 中，
应用格式：
B
C
A
(
(
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
A
B
C
D
2
1
∵∠1 =∠2，
∴ BD = DC
(等角对等边).
∵∠1 =∠2，
∴ DC = BC
A
B
C
D
2
1
(等角对等边).
错，因为两角都不是在同一个三角形中.
如图，下列推理正确吗
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.
∴ AB = AC (等角对等边)．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
∴∠EDB =∠EBD.
∴ BE = DE，即△EBD 是等腰三角形.
变式训练：如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
解：是的.
由折叠可知，∠EBD =∠CBD.
∵AD∥BC，∴∠EDB =∠CBD.
1. 在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定 △ABC 是等腰三角形的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
2. 如图，已知 OC 平分∠AOB，CD∥OB，若 OD＝3 cm，则CD 的长为______.
3 cm
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
二、等边三角形的判定
为什么？
↗
证明推论1：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
又 AB = AC，
∴∠B =∠C.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°
(或∠C = 60°) 呢？
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不
是
是
是
是
是
不一定
是
（1）
5
5
4
（2）
5
5
5
（3）
60°
60°
（4）
60°
（5）
5
5
60°
（6）
5
5
60°
例2 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠ABC =∠ACB = 60°．
∵ DE∥BC，
∴∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
变式1 若点 D、E 分别在边 AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
变式2 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 BD = CE，△ADE 还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = 60°，AB = AC.
∵ BD = CE，
∴ AB－BD = AC－CE，即 AD = AE.
又∵∠A = 60°，
∴△ADE 是等边三角形.
变式3　已知：如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在边 BA，CA 的延长线上，且 AD = AE．
求证：△ADE 是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC =∠B =∠C = 60°．
∴∠EAD =∠BAC = 60°.
又 AD = AE，
∴△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
例3 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ 为等边三角形．证明如下：
∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.
∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ (SAS).
∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.
∴△APQ 是等边三角形.
B
C
Q
A
P
方法总结：
判定一个三角形是等边三角形有以下方法：
一是证明三角形三条边相等；
二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；
三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角 等于 60°.
证明：∵ △ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF，
∴ AF = BD = CE，∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.
∴ DF = ED = FE.
∴△DEF 是等边三角形.
1.如图，等边△ABC 中，D、E、F 分别是各边上的点，且 AD = BE = CF．
求证：△DEF 是等边三角形．
A
C
B
D
E
F
等腰三角形的判定
等角对等边
注意是指同一个三角形中
推论
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　)
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
A
2.一个三角形的一个外角为 130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的 2 倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 　 B．直角三角形 　
C．等腰三角形 　 D．等边三角形
C
3.如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠DBC = _____，∠BDC = _____，图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
4. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 .
A
C
B
D
E
12 cm
5. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为_____.
9
第 4 题图
第 5 题图
6. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.
证明：连接 BD.
∵ AB = AD，
∴∠ABD =∠ADB.
∵∠ABC =∠ADC，
∴∠ABC - ∠ABD =∠ADC -∠ADB，
即∠CBD = ∠CDB.
∴ BC = CD.
在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问：有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
解：3 种“补画”方法：
方法1：量出∠C 度数，画出∠B＝∠C，
∠B 与∠C 的边相交得到顶点 A．
方法2：作 BC 边上的垂直平分线，与
∠C 的一边相交得到顶点 A．
方法3：对折．
拓展提升

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