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第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 角的平分线
15.3.1 角平分线的尺规作图
1.能够利用尺规法作一个已知角的平分线，
并能证明它的正确性;
2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法.
学习目标
E
C
D
B
A
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗
课堂导入
任务一：用尺规作已知角的平分线.
活动1：小组合作，完成下列问题.
问题1：通过折纸可以作出一个角的角平分线，在半透明纸上任意画一个角，请你用折纸的方法，找出角的平分线.
问题2：在折纸活动中，你还发现了什么？
问题3：你能用量角器画出一个角的角平分线吗？
问题2：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
活动探究
我们能用尺规法作出一个已知角的角平分线吗？观察课本上图 15-22，尝试动手作图.
B
M
N
P
O
作法: (1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P.
(3)作射线OP.射线OP即为所求.
A
为什么要大于 的长画弧？
因为半径小于 时，两弧没有交点.
B
M
N
P
O
A
想一想：为什么OP是角平分线呢？
已知：OM=ON，MP=NP.求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中，
OM=ON，
MP=NP，
OP=OP，
∴ △OMP≌△ONP,（SSS）
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.
任务二：过一点作已知直线的垂线.
活动：和同伴一起交流，完成下列问题.
问题1： 当∠AOB的两边成一直线时（即∠AOB=180°），你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与直线AB是什么关系？
问题2：如何用尺规过一点P作已知直线l的垂线呢？尝试动手作图.
垂直.
由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
①在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA，PB，使PA= PB；
(1)当点P在直线l上.
②分别以A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧， 两弧相交于点C；
③过点C， P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
A
B
C
D
E
K
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
(2)以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长
为半径作弧，两弧相交于点F.
F
已知：直线AB和AB外一点C .
求作：AB的垂线，使它经过点C .
(2)当点P在直线l外.
练一练
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法:1.作直线AB；
2.过点A作直线AB的垂线AC；
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是所要求作的角.
1.如图所示的作图痕迹作的是 （ ）
A.线段的垂直平分线
B.过一点作已知直线的垂线
C.一个角的平分线
D.作一个角等于已知角
B
当堂检测
2.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
m
C
N
M
P
A
B
D
针对本课关键词“尺规作图”，说说你学到了什么？
角平分线的尺规作图
角平分线
垂线
课堂总结

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