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第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 角的平分线
15.3.2 角平分线的应用
1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理.
2.能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题.
学习目标
任务一：探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理.
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
(1)通过以上测量，你得到什么结论？在OC上再取
几个点试一试.
(2)你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
活动1：如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较.
活动探究
如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
验证结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD= PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
活动小结
1.应用该定理所具备的条件：
（1）角的平分线；
推理的理由有三个，
必须写完全，不能少了任何一个.
（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
猜想:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
活动2：写出上面角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP，
B
A
D
O
P
E
证明猜想：
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
书写格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
活动小结
B
A
D
O
P
E
练一练
如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．
（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）.
解：作∠AOB的平分线交MN于点P，则点P满足条件.
O
B
A
N
M
P
任务二：利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题.
活动：先独立思考，再分组讨论，用刚刚所学的知识解决下列问题.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
D
E
F
A
B
C
P
N
M
∴PD=PE，同理PE=PF,
∴PD=PE=PF，
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
问题1：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
问题2：点P在∠A的角平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
很明显，点P在∠A的角平分线上.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
小结：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
练一练
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为(　　)
A．35° B．125°
C．55° D．135°
B
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
C
当堂检测
证明：∵DE⊥AB于E，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，∴CD=DE，
∴△ACD≌△BED(SAS)，
∴AD=BD.
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC=BE．求证：AD=BD.
CD=DE，
∠C=∠DEB，
AC=BE，
B
C
D
E
A
在△ACD与△BED中
证明：过点P作PF，PG，PH分别
垂直于直线AB，BC，CA，垂足分别为F,G,H.
∵点P在△ABC的外角的平分线上，∴PF＝PG.
同理可证PH＝PG,
∴PF＝PG＝PH,
∴P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
3.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD和∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．
A
B
C
P
D
E
H
F
G
角平分线
性质定理
判定定理
三角形三条角平分线的性质
通过本节课的学习，我们已经学习了哪些内容？你掌握了哪些知识？
课堂总结

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