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(共29张PPT)
第25讲　与圆有关的计算(5年5考)
知识梳理 夯基础
知识点一　正多边形与圆
知识梳理
正多边形的有关概念 概念 图形
中心 一个正多边形的　 圆的圆心
外接
半径 外接圆的　
设图中正多边形的边数为n,外接圆半径为R,则中心角α=　 　;
边长an=　 　;
周长C=　 　;边心距rn=　 　
中心角 正多边形每一边所对的　
边心距 中心到正多边形的 　 　的距离
半径
圆心角
一边
温馨提示
1.一个正多边形的中心角是45°,则这个正多边形是　 　边形.
2.[北师大九下P97例题变式]如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,☉O半径为4.求点O到AB的距离及正六边形ABCDEF的面积.
针对训练
八
知识点二　弧长与扇形面积
1.圆的周长=　 　,圆的面积=　 　.
2.扇形的弧长l=　 　,扇形的面积S=　 　(r是扇形半径,n是弧所对圆心角的度数).
2πr
πr2
知识梳理
3.(1)半径为4,圆心角为90°的扇形弧长为　 　;
(2)(2022广东)扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积为　 　.
(结果保留π)
针对训练
2π
π
知识点三　圆锥的侧面积与全面积
知识梳理
弧长
半径
4.[人教九上P114练习T2改编]某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的母线AB=10 m,半径OB=8 m.
(1)这个圆锥的高是　 　m;
(2)这个圆锥的侧面积是　 　m2,全面积是　 　m2;
(3)这个圆锥侧面展开图的圆心角是　 　.
针对训练
6
80π
144π
288°
重难突破 提能力
考点1　弧长的相关计算
即时训练
1.(2025湖南)如图所示,北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°),东经116°,三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°),东经116°.设地球的半径约为R km,则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为( )
C
考点2　扇形面积的相关计算(5年3考)
典例2 (2025惠州模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以腰AB为直径画半圆O,分别交BC,AC于点D,E.
(1)求证:BD=DE;
(1)证明:如图①所示,连接AD,
∵以腰AB为直径画半圆O,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又△ABC为等腰三角形,
∴BD=CD,∠ABC=∠ACB.
∵A,B,D,E四点共圆,
∴∠DEC=∠ABC.
∴∠DEC=∠ACB.
∴CD=DE.∴BD=DE.
图①
(2)若∠ABC=60°,AB=2,求阴影部分弓形的面积.
(2)解:如图②所示,连接OE,过点O作OF⊥AC于点F,
∵AB=2,∴OA=OB=1.
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形.
∴∠BAC=60°.
图②
即时训练
3.如图所示,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD的面积为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
D
4.(2021广东)如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=4.分别以点B,点C为圆心,线段BC长的一半为半径作圆弧,交AB,BC,AC于点D,E,F,则图中阴影部分的面积为　 　.
4-π
5.如图所示,从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,那么该圆锥的底面圆的半径为　 　m.
注意弧长与周长的转化,扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长
考点3　圆锥的相关计算(5年2考)
典例3 如图所示,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形,若扇形的半径是5,则该圆锥的体积是( )
D
即时训练
7.如图所示,一块含30°角的直角三角板的最短边长为6 cm,现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周,形成一个圆锥,则圆锥的侧面积为
　 　cm2.
72π
全国视野 拓思维
40π
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微专题十　三种求阴影部分面积的方法(5年3考)
类型一　公式法
A
2.如图所示,正五边形ABCDE的边长为15,以AB为边作等边三角形ABF,以A为圆心,长度15为半径画弧EF,则图中阴影部分的面积为( )
B
方法解读
所求阴影部分的面积是规则图形,直接用几何图形的面积公式求解,如图所示.
类型二　和差法
(一)直接和差法
C
D
方法解读
(1)直接和差法
将不规则阴影部分看成是以规则图形为载体的一部分,其他部分空白且为规则图形,此时采用整体作差法求解.如图所示.
(二)构造和差法
D
π+2
方法解读
(2)构造和差法
先将不规则阴影部分与空白部分组合,构造规则图形或分割后为规则图形,再进行面积和差计算.如图所示.
类型三　等积转化法
7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的☉O与AB,BC分别交于点D,
E,连接AE,DE,若∠BED=45°,AB=2,则阴影部分的面积为( )
A
C
方法解读
通过对图形的变换,为利用公式法或和差法求解创造条件.
(1)直接等面积转化法
当CD∥AB时,如图所示:
(2)平移转化法
当E,F分别是矩形的边AB,CD的中点时,如图所示:
(3)对称转换法
当点D是AB的中点时(∠ACB=90°),如图所示:
(4)旋转转化法(∠ACB=∠BDE=90°),如图所示:
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第六章　圆
第23讲　圆的有关概念与性质(5年4考)
知识梳理 夯基础
知识点一　圆的有关概念及性质
知识梳理
圆心
圆 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径
弦 连接圆上任意两点的线段
直径 经过　 　的弦
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆
　 　于半圆的弧叫做优弧;　 　于半圆的弧叫做劣弧
等圆 能够重合的两个圆
等弧 在同圆或　 　中,能够互相　 　的弧
弦心距 (拓展) 从圆心到弦的距离
小
大
等圆
重合
圆是轴对称图形,任何一条　 所在直线都是圆的对称轴.圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.把圆绕圆心旋转任意角度,所得图形都和原图形重合.
直径　
针对训练
1.如图所示,点A,B,C,D在☉O上,AB是☉O的直径.
(1)写出图中的弦:　 　;
(2)☉O中最长的弦是　 　,写出☉O的半径:　 　;
(3)写出图中的劣弧:　 　;
(4)写出弦BC所对的弧:　 　;
(5)弦BC所对的圆心角是　 　,
圆周角是　 　;
(6)☉O的对称轴是　 　.
AC,BC,AB
AB
OA,OB,OC,OD
∠BOC
∠BAC
直径AB所在的直线(答案不唯一)
知识点二　垂径定理及其推论
知识梳理
定理 垂直于弦的直径　 　弦,并且　 　弦所对的两条弧
推论 平分弦(不是直径)的直径　 　于弦,并且平分弦所对的两条弧
定理与 推论的 延伸　 弦的垂直平分线经过　 　,并且平分弦所对的弧;
平分弦所对的一条弧的直径,　 　弦,并且平分弦所对的另一条　 　
平分
平分
垂直
圆心
垂直平分
弧
2.定理及推论辨析 如图所示,AB是☉O的弦,弦CD交AB于点P,CD=6 cm.
针对训练
3
⊥
⊥
3
知识点三　弧、弦、圆心角
1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧　 　,所对的弦也　
　.
2.推论:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余两组量分别对应　 　.
知识梳理
相等
相等
相等
温馨提示　
应用定理时,一定要注意“在同圆或等圆中”这个条件,同时要特别注意一条弦对应两条弧.
针对训练
3.串题练透考点 如图所示,AB是☉O的直径.
(2)若CE=BD,∠EOD=32°,则∠COB=　 　;
(3)若∠AOD=∠BOE,BD=4,则AE的长是　 　.
66°
32°
4
知识点四　圆周角定理及其推论
1.圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角　 　,等于它所对的圆心角的　 　.
2.推论:(1)半圆或直径所对的圆周角是　 　;
(2)90°的圆周角所对的弦是　 　.
知识梳理
相等
一半
直角
直径
3.常见图形及结论
图形:
4.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.
(1)∠ADB的度数为　 　;
(2)若∠ACD=36°,则∠ABD的度数为　 　,∠BAD的度数为　 　.
针对训练
90°
36°
54°
5.[人教九上P88练习T3变式]如图所示,OA,OB,OC都是☉O的半径,
∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC.
证明:∵∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC,且∠AOB=2∠BOC,
∴2∠ACB=4∠BAC,即∠ACB=2∠BAC.
知识点五　圆内接四边形
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆;
2.圆内接四边形的对角　 　.
3.拓展:圆内接四边形的一个外角等于其内对角,如图所示,∠C=∠DAE.
知识梳理
互补
针对训练
6.如图所示,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BOD=100°,则∠BAD=
　 　,∠BCD=　 　.
50°
130°
7.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,它的一个外角∠EBC=65°,分别连接AC,BD,若AC=AD,则∠DBC的度数为( )
A.50° B.55°
C.65° D.70°
A
重难突破 提能力
考点1　垂径定理及其推论
典例1 (2025中山模拟)如图(1)所示,平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿,主要用来盛液体物质,可以轻度受热.如图(2)所示,它的截面图可以近似看作是由☉O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形,其中BC∥MN,若☉O的半径为25 mm,AB=36 mm,BC=14 mm,MN=30 mm,求该平底烧瓶的高度.
解:如图所示,连接OB,OM,过点O作EF⊥BC,交BC于点E,交MN于点F,
∵BC∥MN,∴EF⊥MN.∴EF平分BC,MN.
由条件可知BE=7 mm,MF=15 mm,∵☉O的半径为25 mm,AB=36 mm,
即时训练
C
A.50 cm B.30 cm C.25 cm D.15 cm
2.如图所示,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,AC=11,BC=21,OC=13,则这个花坛的面积为　 　(结果保留π).
400π
3.如图所示,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,连接CO,并延长交AD于点F,CF平分AD.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦
(1)求∠A的度数;
解:(1)∵CF过圆心O,且平分AD,
∴CF⊥AD,即∠AFO=90°.∴∠A+∠AOF=90°.
∵AB⊥CD,∴∠CEO=∠AED=90°.
∴∠C+∠COE=90°.
∵∠AOF=∠COE,∴∠A=∠C.
如图所示,连接OD,则∠A=∠ODA,∠C=∠ODC,
∴∠A=∠ODA=∠ODC.
又∵∠A+∠ODA+∠ODC=90°,∴∠A=30°.
(2)若OE=1,求CD的长.
考点2　圆周角定理及其推论(5年4考)
典例2 (2025广州模拟)如图所示,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接AD,DE.
直径所对的圆周角是直角
(1)求证:BD=CD;
(1)证明:∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵AB=AC,
∴BD=CD.
(2)若AB=10,AD=6,求DE的长.
∵BD=CD,∴CD=8.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠B=∠E,
∴∠C=∠E.∴DE=DC=8.
即时训练
4.(2023广东)如图所示,AB是☉O的直径,∠BAC=50°,则∠D等于( )
A.20° B.40°
C.50° D.80°
B
5.如图所示,AB为☉O的直径,CD,AB交于点E,E为弦CD的中点,若∠BAD=
30°,且BE=2,则BC的长是　 　.
4
6.(2022广东T22,12分)如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.
直径所对的圆周角是直角,直径AC对着两个圆周角,注意结合题目进行选择
(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
规范解答　
解:(1)△ABC是等腰直角三角形.…………………………1分
证明如下:
∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.………………………2分
7.如图所示,在正n边形中,∠1=20°,则n的值是( )
全国视野 拓思维
B
如图所示,设正n边形的中心为点O,∠AOB为中心角,将正n边形看成一个圆
A.16 B.18 C.20 D.36
B
9.“筒车”是一种以水流作动力,取水灌田的工具,据史料记载,它发明于隋而盛于唐,距今已有1 000多年的历史,是我国古代劳动人民的一项伟大创造.如图所示,“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心O在水面上方,且当圆被水面截得的弦AB为6 m时,水面下盛水筒的最大深度为1 m(即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径.
解:(1)如图所示,过点O作OD⊥AB,垂足为C,交☉O于点D,由题意可知,
CD=1 m,AB=6 m,
∴OC⊥AB.
设圆的半径为r m,即OA=OD=r m,OC=(r-1) m.
在Rt△AOC中,OC2+AC2=OA2,
即(r-1)2+32=r2,
解得r=5,即该圆的半径为5 m.
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6 m变为8 m,则水面上涨的高度为多少米
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第24讲　与圆有关的位置关系(5年6考)
知识梳理 夯基础
知识点一　点与圆的位置关系
知识梳理
位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外
几何图形
d与r的大小关系 d　 　r d　 　r d　 　r
<
=
>
1.如图所示,☉O的半径是5 cm.
(1)点A在☉O外,则OA　 　5 cm;
点B在☉O上,则OB　 　5 cm;
点C在☉O内,则OC　 　5 cm;
(2)若OP=6 cm,则点P在☉O　 　;若OQ=2 cm,则点Q在☉O　 　.
针对训练
>
=
<
外
内
知识点二　直线与圆的位置关系
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交
图示
公共点个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
数量关系 d>r 　 　 　 　
d=r
d知识梳理
2.☉O的半径是6.5 cm,如果圆心与直线l的距离为d.
(1)当d=4.5 cm时,直线l和☉O　 　,有　 　个公共点;
(2)当d=6.5 cm时,直线l和☉O　 　,有　 　个公共点;
(3)当d=8 cm时,直线l和☉O　 　,有　 　个公共点.
针对训练
相交
2
相切
1
相离
0
知识点三　切线的性质与判定
1.切线的性质:圆的切线　 　于过切点的半径.
2.切线的判定:
(1)经过半径的外端且　 　这条半径的直线是圆的切线;
(2)到圆心的距离等于　 　的直线是圆的切线.
知识梳理
垂直
垂直于
半径
3.如图所示,点B在☉O上,点C在☉O外,OC交☉O于点A.
(1)若BC切☉O于点B,∠C=20°,则∠BOC=　 　;
(2)若BC切☉O于点B,BC=4,AC=2,则☉O的半径是　 　;
(3)若∠BOC=50°,当∠C=　 　时,BC与☉O相切.
针对训练
70°
3
40°
知识点四　切线长定理
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长　 　,这一点和圆心的连线　 　两条切线的夹角.
拓展
切线长定理常与等腰三角形三线合一的性质综合运用解题.
知识梳理
相等
平分
4.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,连接AB交OP于点C.PA=4,∠APB=
60°.
(1)PB=　 　,∠APO=　 　;
(2)△PAB是　 　三角形,AB=　 　;
(3)AC　 　OP,AC=　 　=　 　.
针对训练
4
30°
等边
4
⊥
BC
2
知识点五　三角形与圆
1.确定圆的条件:过一点可以作　 　个圆;过两点的圆有　 　个,其圆心在　 　上;　 　三个点可以确定一个圆.
知识梳理
无数
无数
这两点连线的垂直平分线
不在同一直线上的
2.三角形的外接圆与内切圆
名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆
图形
圆心名称 外心 内心
圆心的实质 三角形三边　 　的交点 三角形三个角　 　的交点
圆心的性质 外心到三角形三个　 　的距离相等 内心到三角形　 　的距离相等
垂直平分线
平分线
顶点
三边
拓展
5.如图所示,△ABC内接于☉O,∠A=45°,BC=2,则☉O的半径是　 　.
针对训练
6.分类讨论 △ABC内接于☉O,若∠BOC=100°,则∠BAC的度数是　 .
　.
50°
或130°
7.[人教九上P103习题T14变式]如图所示,☉I交△ABC的三边于点D,E,
F,∠A=40°,AB=14,AC=13,BC=9.
(1)∠BIC=　 　°,若AD=9.5,BD=　 　;
(2)若☉I的半径是2,则△ABC的面积是　 　.
8.在△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则△ABC外接圆的半径长是　　 ,内切圆的半径长是　 　.
110
4.5
36
6.5
2
重难突破 提能力
考点1　点、直线与圆的位置关系(5年2考)
典例1 如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=3,AB的中点为M.
(1)以点C为圆心,2为半径作☉C,点A,B,M分别与☉C有怎样的位置关系
根据点与圆的位置关系判定方法比较AC,CM,BC与AC的大小关系即可
(2)若以点C为圆心作☉C,使A,B,M三点中至少有一点在☉C内,且至少有一点在☉C外,则☉C的半径r的取值范围是什么
利用分界点,当A,B,M三点中至少有一点在☉C内时,以及至少有一点在☉C外时,分别求出r的范围,最后取公共部分
即时训练
1.(2024广州)如图所示,在☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,
∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是( )
A.点P在☉O上
B.点P在☉O内
C.点P在☉O外
D.无法确定
C
2.(2025广州模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD是AB边上的高,AB=4,若圆D是以点D为圆心,1.4为半径的圆,那么圆D与直线AC的位置关系是( )
A.相切 B.相离
C.相交 D.不能确定
B
3.如图所示,在半径为5 cm的☉O中,直线l交☉O于A,B两点,且弦AB=
8 cm,要使直线l与☉O相切,则需要将直线l向下平移( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.4 cm
B
考点2　切线的性质(5年2考)
典例2 (2025广东T17,7分)如图所示,点O是Rt△ABC斜边AC上的一点,以OA为半径的☉O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC.
规范解答　
证明:连接OD,如图所示.……………………1分
∵BC是☉O的切线,
∴OD⊥BC.……………………………………2分
∵AB⊥BC,∴OD∥AB.…………………………3分
∴∠ODA=∠BAD.………………………………4分
∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD.……………………5分
∴∠DAB=∠OAD.………………………………6分
∴AD平分∠BAC.………………………………7分
即时训练
4.(2025东莞模拟)如图所示,AB为☉O的切线,切点为A.连接AO,BO,BO与☉O交于点C,延长BO与☉O交于点D,连接AD.若∠ABO=36°,则∠ADC的度数为( )
A.54° B.36°
C.32° D.27°
D
5.如图所示,在△ABC中.∠ACB=90°,点O为AC边上一点,以点O为圆心,
OC为半径作圆与AB相切于点D,连接CD.
(1)求证:∠ABC=2∠ACD;
(1)证明:连接OD,如图所示,
∵AB为☉O的切线,∴OD⊥AB.
∴∠ODA=∠ODB=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠COD=180°.
∵∠AOD+∠COD=180°,
∴∠ABC=∠AOD.
∵∠AOD=2∠ACD,
∴∠ABC=2∠ACD.
(2)若AC=8,BC=6,求☉O的半径.
考点3　切线的判定(5年2考)
典例3 如图所示,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的☉O与底边AB交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.求证:DE为☉O的切线.
直线与圆有公共点,
“连半径,证垂直”即可
证明:如图所示,连接OD.
∵AC=BC,∴∠A=∠B.
∵OB=OD,∴∠ODB=∠B.
∴∠ODB=∠A.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.
又OD为☉O的半径,
∴DE为☉O的切线.
即时训练
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BO平分∠ABC,交AC于点O,以点O为圆心,OC长为半径画☉O.求证:AB是☉O的切线.
利用角平分线的性质,证明所作垂线段长等于半径
证明:如图所示,过点O作OH⊥AB于点H,
∴∠BHO=∠BCO=90°.
∵BO平分∠ABC,
∴OH=OC,
∴AB与☉O相切.
7.如图所示,在△ABC中,O为AC上一点,以O为圆心,OC长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.求
证:AB为☉O的切线.
证明:如图所示,过点O作OE⊥AB于点E.
∵AD⊥BO于点D,
∴∠D=90°.
∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°.
∵∠AOD=∠BAD,
∴∠ABD=∠OAD.
又BC为☉O的切线,
∴AC⊥BC.
∴∠BCO=∠D=90°.
∵∠BOC=∠AOD,
∴∠OBC=∠OAD=∠ABD.
∴OE=OC.
∴OE是☉O的半径.
∵OE⊥AB,
∴AB是☉O的切线.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若OA=3,BD=2,求△OCD的面积.
即时训练
8.(2025惠州模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,点D是AC上一点,以AD为直径的☉O交BC,AB于点E,F,连接OF,EF,DE,且DE=EF.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)若AB=6,☉O的半径为4,求CD的长.
9.如图所示,☉O的直径AB=12,AM和BN是它的两条切线,DE与☉O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两点.设AD=x,BC=y,则y关于x的函数图象大致是( )
全国视野 拓思维
A
点P是动点,☉P在y轴左侧和右侧均可与x轴相切,注意分类讨论
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微专题九　与辅助圆有关的问题(5年2考)
模型一　定点定长构造辅助圆
1.如图所示,已知AB=AC=AD,点A,B,C为平面内的三个定点,D为平面内一个动点,则点D在以　 　为圆心,　 　长为半径的圆上运动.
点A
AB(或AC)
2.如图所示,∠MON=90°,Rt△ABC的两个锐角顶点A,B分别在OM,ON上滑
动,直角顶点C在∠MON内随之运动,若AB=10,则点C是在以AB的　 　为圆心,半径为　 　的圆上运动.
5
中点
A,B是动点,但∠O=∠C=90 °始终不变
模型解读
(1)如图(1)所示,在☉O中,点A,B,C,D在圆上,则OA=OB=OC=OD;
(2)如图(2)所示,若AB=AC=AD,则点B,C,D在以点A为圆心,AB的长为半径的圆上.
图(1)
图(2)
模型二　以直角所对的边为直径作圆
3.如图所示,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,点P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长度的最小值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B
4.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=2,点P从点C出发,沿CB运动到点B停止,过点B作射线AP的垂线,垂足为Q,则点Q运动的路径长为
　 　.
5.如图所示,在正方形ABCD中,E是正方形内部一点,且∠AEB=90°,请画出点E的运动轨迹.
模型解读
(1)如图(1)所示,在☉O中,若AB是直径,点C在圆上,则∠ACB=90°;
(2)如图(2)所示,在△ABC中,若∠ACB=90°,则点C在以AB为直径的☉O上.
图(1)
图(2)
模型三　定弦(非直径的弦)定角
6.如图所示,在正方形ABCD中,AB=4,M是AD的中点,P是CD上的一个动点.当∠APM的度数最大时,CP的长为　 　.
7.如图所示,点P为菱形ABCD内一动点,且满足∠P=∠BAD=60°,请画出点P的运动轨迹.
模型解读
(1)如图(1)所示,在☉O中,若弦AB固定,则弦AB同侧所对的圆周角相等;
(2)如图(2)所示,若线段AB的长为定值,且线段AB所对的∠C的度数为定值(0°<∠C<180°),则点C落在经过A,B,C三点的圆上.
图(1)
图(2)
模型四　四点共圆构造辅助圆
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠EAD=∠BAC,且AE=AD,则　 　四点共圆.
A,E,B,D
由∠EAD=∠BAC可得∠EAB=∠DAC,从而可通过证明三角形全等得到∠AEB=∠ADC,再通过角的转化得到∠AEB+∠ADB=180 °
9.如图所示,AD,BE,CF为△ABC的三条高.若AB=6,BC=5,EF=3,则线段BE的长为　 　.
4.8
10.如图所示,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=90°,求证:A,B,C,D四点共圆.
解:如图所示,连接BD,取BD的中点O,连接AO,CO,
∵∠BAD=∠BCD=90°,O是BD的中点,
∴AO=BO=CO=DO.
∴A,B,C,D四点共圆.
模型解读
(1)如图(1)所示,若∠BAD+∠BCD=180°,则A,B,C,D四点共圆;
(2)如图(2)所示,固定线段AB所对的同侧动角∠P=∠C,则A,B,C,P四点共圆.
图(1)
图(2)
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