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(共16张PPT)
微专题二　反比例函数与一次函数综合
(5年2考)
类型一　图象判断问题(推理能力)
B
D
D
类型二　确定不等式的解集(数形结合)
B
A.x<-4或x>4 B.x<-4或0C.-44
C
A.x<-1或x>2 B.0C.x<-1或0类型三　交点问题(抽象能力)
(-1,-1)
-1
类型四　线段问题(运算能力)
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接AB,若OD=1,求△ABC的面积.
(1)求A,B两点的坐标及反比例函数的解析式;
(2)连接OA,OB,求△OAB的面积;
谢谢观赏！
0
A
0
A
B
A
Y件
C/
B
D
0
无
y
B
A
0
X
y
C
B
A
/D
0
X(共36张PPT)
第11讲　反比例函数及其应用(5年5考)
知识梳理 夯基础
知识点一　反比例函数的概念
知识梳理
kx-1
概念 一般地,形如　 　(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是 x≠0
形式 y=　 　,或xy=k,或y=　 　.(k≠0)
1.下列式子表示y是x的反比例函数的是　 　(填序号).
针对训练
①③
知识点二　反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的图象
知识梳理
双曲线
原点
2.反比例函数的性质
k的符号 k>0 k<0
图象的大致 位置
所在象限 在第　 象限(xy>0) 在第　 象限(xy<0)
性质 在每一象限内,y随x的增大而　 在每一象限内,y随x的增大而　
一、三
二、四
减小
增大
3.k的几何意义
|k|
(1)图象是分布于　 　象限的　 　,在图象的每一支上y随x的增大而　 　.
(2)当y>2时,x的取值范围是　 　.
(3)填“>”“<”或“=”.
①若点(-6,y1),(-4,y2)在该函数图象上,则y1　 　y2;
②若点(-4,y3),(6,y4)在该函数图象上,则y3　 　y4.
第二、四
双曲线
增大
-3<
>
针对训练
7
知识点三　反比例函数解析式的确定与实际应用
知识梳理
2.用反比例函数解决实际问题的一般方法
(1)根据实际问题建立反比例函数模型;
(2)利用待定系数法或其他公式与数量关系确定函数解析式;
(3)根据反比例函数的图象与性质解决实际问题.
3.实际问题中常见的反比例函数关系
针对训练
4
6.[人教九下P15练习T2变式] 某新型智能无人机的飞行续航里程是其所载物资重量的反比例函数.经测试,当这款无人机装载2 kg物资时,它的飞行续航里程为15 km.若配送站接到一个紧急订单,要用无人机将物资送到距离站点10 km处的客户手中,则该无人机此次最多能装载　 　kg物资.
3
重难突破 提能力
考点1　反比例函数的图象与性质(5年4考)
D
A.图象分布在第一、二象限
B.在各自的象限内,y随x的增大而增大
C.函数图象关于y轴对称
D.函数图象与直线y=2x有两个交点
即时训练
D
A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小
A
A.m<3 B.m>3 C.m<-3 D.m>-3
考点2　反比例函数中k的几何意义
2
解题策略
比例系数k的几何意义的应用
(1)根据解析式,确定图形的面积.
(2)根据图形的面积,确定k的值或解析式.确定k的值时,注意要选取合适的矩形或三角形,对于不能直接求得的面积往往可分割为方便计算的三角形面积进行相互转化,同时要注意由函数图象的位置确定k的符号.
即时训练
2
6
考点3　反比例函数解析式的确定及综合应用
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
即时训练
-12
由正方形的性质将点E向下平移2个单位长度、向右平移2个单位长度,得到C的坐标,代入反比例函数解析式求解
(1)求反比例函数的解析式及点E的坐标;
(2)若点F是OC边上的一点,且△BCF为等腰三角形,求直线FB的解析式.
考点4　反比例函数的实际应用(5年1考)
典例4 (2025东莞模拟)如图所示为某公园“水上滑梯”的侧面图,其中BC段可看成是一段双曲线,矩形AOEB为向上攀爬的梯子,OA=6 m,AB=
2 m.以点O为原点,水面所在直线为x轴建立平面直角坐标系,其中点E在x轴上.
(1)求BC段滑梯所在的双曲线的解析式(不需写出x的取值范围).
(2)出口C点距离水面的距离为1.5 m,求B,C之间的水平距离.
(3)若要在滑梯BC上的Q点处设置一个安全警示牌,要求安全警示牌到BE的距离不超过2 m,点Q到水面的距离至少为多少米
即时训练
10
8.(2025广州模拟)在温度不变的条件下,通过对汽缸[图(1)]活塞重复加压,测得汽缸内气体压强p(单位:kPa)与体积V(单位:mL)成反比例函数关系,其函数图象如图(2)所示.若压强由40 kPa加压到100 kPa,则气体体积压缩了　 　mL.
90
全国视野 拓思维
先根据正八边形的内角和可解出每个内角度数,可得△AOH为等腰直角三角形,根据正八边形的边长可求出OH的长度,可知HG的长度,即可得到点F的坐标,代入反比例函数解析式即可求解
(1,-1)
根据题意写出点A2,A3,A4,A5的坐标,可以发现各点的变化规律,从而写出点A2 025的坐标
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第三章　函　数
第9讲　平面直角坐标系与函数 (5年3考)
知识梳理 夯基础
知识点一　平面直角坐标系
1.点的坐标的特征
(1)各象限内点的坐标有如下特征:
点P(x, y) 在第一象限 　 　;点P(x, y)在第二象限
x<0,y>0;点P(x, y)在第三象限 　 　;点P(x, y)在第四象限
　 　.
知识梳理
x>0,y>0
x<0,y<0
x>0,y<0
(2)坐标轴上的点的坐标特征:
点P(x, y)在x轴上 　 　,x为任意实数;
点P(x,y)在y轴上 　 　,y为任意实数.
2.点的坐标的几何意义
点P(x, y)到x轴的距离是　 　;点P(x, y) 到y轴的距离是　 　;点P(x, y)到原点的距离是　　 .
y为0
x为0
|y|
|x|
3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征
点P(a, b)关于x轴的对称点P1的坐标是　 　;点P(a, b)关于y轴的对称点P2的坐标是　 　;点P(a, b)关于原点的对称点P3的坐标是　 　.
4.各象限角平分线上的点的坐标特征
第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标　 　;第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标　 　.
(a,-b)
(-a,b)
(-a,-b)
相等
互为相反数
5.点平移的坐标变化规律
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或左平移a(a>0)个单位长度,可以得到对应点为　 或　 　;将点(x,y)向上或下平移b(b>0)个单位长度,可以得到对应点为　 　或　 　.
(x+a,y)　
(x-a,y)
(x,y+b)
(x,y-b)
1.在平面直角坐标系中,点P(-3,5)第　 　象限.
2.若点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是　 　.
3.若点P(a+1,-3)在第二、四象限的角平分线上,则a=　 　.
4.在平面直角坐标系中,已知点P的坐标为(-2,2),请完成下列问题:
(1)点P到x轴的距离为　 　,点P到y轴的距离为　 　,点P到原点的距离为　 　,点P与点(1,-1)之间的距离为　 　;
针对训练
二
(4,0)
2
2
2
(2)若点M是y轴上一点,PM∥x轴,则点M的坐标为　 　,点P和M之间的距离为　 　;
(3)点A的坐标为(2,1),已知AB∥y轴,且AB=3,则点B的坐标为　
　,若AC∥x轴,且AC=4,则点C的坐标为　 　;
(4)点P关于x轴的对称点的坐标为　 　,点P关于y轴的对称点的坐标为　 　,点P关于原点的对称点的坐标为　 　.
(0,2)
2
(2,4)
或(2,-2)
(6,1)或(-2,1)
(-2,-2)
(2,2)
(2,-2)
5.将点N(1,1)向右平移2个单位长度得到点N1的坐标为　 　,点N关于x轴的对称点N2的坐标为　 　,点N关于原点的对称点N3的坐标为　 　.
(3,1)
(1,-1)
(-1,-1)
知识点二　函数的有关概念
1.自变量与函数
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有　 　的值与之对应,那么y是x的函数,其中　　是自变量.
2.函数的表示方法
(1)　 　;
(2)　 　;
(3)　 　.
知识梳理
唯一确定
x
列表法
图象法
解析式法
3.由函数的解析式画函数图象的一般步骤
(1)　 　;
(2)　 　;
(3)　 　.
列表
描点
连线
6.如图所示,下列图象能表示y是x的函数的是( )
针对训练
B
7.[人教八下新教材P107练习T1] 用列表法与解析式法表示n边形的内角和m(单位:°)关于边数n的函数.
解:列表法表示为
边数n 3 4 5 6 …
内角和m/° 180° 360° 540° 720° …
解析式法表示为m=180°(n-2),n≥3且n为整数.
知识点三　函数自变量的取值范围
整式型 全体　 　数
分式型 使分母不为　 　的实数
偶次根式型 使被开方数为　 　的实数
零(负整数) 次幂的底数 使底数不为　 　的实数
混合型 各个代数式中自变量取值范围的　 　部分
实
零
非负数
零
公共
8.(1)函数y=x+1中自变量x的取值范围是　 　;
全体实数
x≠-1
x≥1
x≥0且x≠1
重难突破 提能力
考点1　平面直角坐标系中点的坐标特征(5年1考)
典例1 (2022广东)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位长度后,得到的点的坐标是( )
A.(3,1) B.(-1,1)
C.(1,3) D.(1,-1)
A
即时训练
1.若点A(m-1,5+m)在y轴上,则点A的坐标是( )
A.(-6,0) B.(6,0)
C.(0,-6) D.(0,6)
2.在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于坐标原点的对称点P′的坐标为
( )
A.(-1,-2) B.(-1,2)
C.(1,-2) D.(1,2)
D
A
3.(2025东莞模拟)点A(-2,-3)向上平移3个单位长度后得到的点的坐标
是( )
A.(-2,-6) B.(-2,0) C.(2,-6) D.(2,0)
B
坐标上下平移时点的纵坐标加上或减去平移的单位数,横坐标不变
4.(2025广州模拟)在平面直角坐标系中,已知点P(a2+2,-5),则点P在第
　 　象限.
四
考点2　函数的相关概念(5年1考)
典例2 [人教八下新教材P94例2变式] 一辆汽车的油箱中有50 L汽油,油箱中剩余油量用y(单位:L)表示,行驶路程用x(单位:km)表示.x每增加10 km,y下降1 L.y随x的变化情况如下表:
(1)请你补全表格.
x/km … 100 200 300 …
y/L … 　 　 　 　 　 　 …
40
30
20
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,描出表中数据对应的点,并连起来,试判断y是不是x的函数.如果是,请直接写出y与x的函数关系式(写出自变量的取值范围);如果不是,请说明理由.
解:(2)描出表中数据对应的点,并连起来(图略).y是x的函数,y关于x的函数关系式为y=50-0.1x(0≤x≤500).
(3)若油箱中剩余13 L汽油,求汽车行驶的路程.
解:(3)令y=13,则50-0.1x=13,解得x=370.
答:汽车行驶的路程为370 km.
即时训练
5.(2022广东)水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为r,则圆周长C与r的关系式为C=2πr.下列判断正确的是( )
A.2是变量 B.π是变量
C.r是变量 D.C是常量
C
A.x≠-3且x≠1
B.x>-3且x≠1
C.x>-3
D.x≥-3且x≠1
B
考点3　函数图象的实际应用(5年1考)
典例3 (2025广东)在理想状态下,某电动摩托车充满电后以恒定功率运行,其电池剩余的能量y(单位:W·h)与行驶路程x(单位:km)之间的关系如图所示.当电池剩余能量小于100 W·h时,摩托车将自动报警.根据图象,下列结论正确的是( )
A.电池能量最多可充400 W·h
B.摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h
C.一次性充满电后,摩托车最多行驶路程为25 km
D.摩托车充满电后,行驶18 km时将自动报警
C
即时训练
7.[人教八下新教材P103例2变式] 小澎从家里出发骑自行车去上学,出发了一段时间后,想起今天考试需要带2B铅笔,于是赶紧折回到刚经过的文具店,买到铅笔后继续赶往学校,他离家的距离y(单位:m)与所用的时间t(单位:min)之间的关系如图所示,根据图中的信息,则下列说法正确的个数有( )
①小澎家到学校的距离是1 800 m;②小澎在文具店停留了4 min;③本次上学途中,小澎一共行了3 400 m;④若骑单车的速度大于320 m/min就有安全隐患,在整个上学的途中,小澎骑车有4 min的超速骑行,存在安全隐患.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
8.(2025深圳模拟)如图(1)所示,机器人小P在三角形地块上进行走路测试,它从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设小P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图(2)是y与x的函数关系的大致图象,其中点F为曲线DE的最低点,当小P运动到点C时,小P到线段AB的距离为( )
A
全国视野 拓思维
9.(2025河南模拟)
阅读与思考:
科学家如何测算岩石的年龄
你知道科学家如何测算岩石的年龄吗 解决这个问题时也用到函数这个数学工具.
1903年,英国物理学家卢瑟福通过实验证实,放射性物质放出射线后,这种物质的质量将减少,减少的速度开始较快,后来较慢.物质所剩的质量与时间成某种函数关系.如图所示为表示镭的放射规律的函数图象.
D
某数学社团通过查阅资料,了解到放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量,我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期.结合镭的放射规律的函数图象,下列说法正确的是( )
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微专题三　二次函数的最值问题(5年5考)
类型一　自变量范围无限定时求最值
1.(2025汕头模拟)关于二次函数y=2x2-16x+38的最大或最小值,下列说法正确的是( )
A.有最大值3 B.有最小值3
C.有最大值6 D.有最小值6
D
2.已知二次函数y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是实数),则( )
A.当k=2时,函数y的最小值为-a
B.当k=2时,函数y的最小值为-2a
C.当k=4时,函数y的最小值为-a
D.当k=4时,函数y的最小值为-2a
A
方法解读
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,抛线物开口向上时,离对称轴越远的点函数值越大;抛线物开口向下时,离对称轴越远的点函数值越小.
类型二　自变量范围有限定时求最值
3.已知二次函数y=x2-6x+1,关于该函数在-1≤x≤4的范围内,下列说法正确的是( )
A.有最大值8,最小值-8
B.有最大值8,最小值-7
C.有最大值-7,最小值-8
D.有最大值1,最小值-7
A
A.4 B.8 C.6 D.10
C
方法解读
类型三　已知自变量范围内的函数最值求参数
5.二次函数y=-x2-2x+c2-2c在-3≤x≤2的范围内有最小值为-5,则c的值为( )
A.3或-1 B.-1 C.-3或1 D.3
6.已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a的范围内,y取得的最大值为15,则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
D
7.已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1(1)若抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与x轴交点的坐标分别为(x3,0),
(x4,0),且x3”“<”或“=”):
①x1+x2　 　x3+x4;②x1-x3　 　x2-x4;③x2+x3　 　x1+x4.
(2)若x1=1,2=
<
>
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第10讲　一次函数及其应用(5年6考)
知识梳理 夯基础
知识点一　一次函数的概念
1.正比例函数:一般地,形如　 　(k是常数,k≠0)的函数.
2.一次函数:一般地,形如　 　(k,b是常数,k≠0)的函数.
注意　正比例函数是一次函数y=kx+b当 b=0 时的一种特殊形式.
知识梳理
y=kx
y=kx+b
1.[人教八下新教材P115练习T1变式] 下列函数中,是一次函数的是
　 　,是正比例函数的是　 　.(填序号)
针对训练
①③⑤
①
知识点二　一次函数的图象与性质
1.一次函数的图象
正比例函数的图象是一条过　 　的直线;一次函数y=kx+b的图象
是经过(　 　,0)和(0,　 　)的一条直线.
知识梳理
原点
b
2.一次函数的性质
一次函数 y=kx+b(k≠0)
k,b的 符号 k>0 k<0
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
图象
位置 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 第
象限
增 减 性 y随x的增大 而　 y随x的增大 而　
一、二、三
一、三
一、三、
四
一、二、
四
二、三、
四
二、四
增大
减小
3.一次函数图象的平移
一次函数y=kx+b的图象可以看作是由直线y=kx向上(下)平移　 　个单位长度而得到的.当b>0时,将直线y=kx向上平移b个单位长度;当b<0时,将直线y=kx向下平移|b|个单位长度.
|b|
2.下列说法错误的是( )
A.y=2-x是一次函数
B.y=x是正比例函数
C.函数y=-3x+3的图象过点(1,0)
D.直线y=-x过点(0,-1)
针对训练
D
3.已知一次函数的解析式为y=2x-3.
(1)该函数的图象与x轴的交点坐标为　 ,与y轴的交点坐标为　 　;
(2)请在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象;
(0,-3)
解:如图所示.
(3)该函数的图象经过第　 象限,y随x的增大而　 　;
(4)若点A(-1,y1),B(2,y2)在该函数的图象上,则y1　　y2.(选填“>”“<”或“=”)
4.(1)将一次函数y=2x-3的图象向上平移2个单位长度,得到新的一次函数的解析式为　 　;
(2)将直线y=-3x+1向下平移5个单位长度,得到直线l,则直线l的解析式为
　 　.
一、三、四
增大
<
y=2x-1
y=-3x-4
知识点三　一次函数解析式的确定及应用
1.一次函数解析式的确定
知识梳理
设 设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)
列 找出一次函数图象上的两点,将其坐标代入函数解析式,得到二元一次方程组
解 解这个方程组,求出待定系数k,b的值
写 将求得的k,b的值代入,写出一次函数的解析式
2.一次函数的应用
(1)已知自变量的值求函数值;
(2)已知函数值求自变量的值;
(3)利用图象分析实际问题,做出决策;
(4)利用增减性确定最值.
5.已知正比例函数的图象经过点(1,2),则这个函数的解析式为　 　.
针对训练
y=2x
6.[人教八下新教材P123练习T2] 一个一次函数的图象经过点(9,0)和点(24,20),求这个一次函数的解析式.
知识点四　一次函数与方程(组)、不等式的关系
1.一次函数与方程(组)的关系
(1)一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标即为方程
的解;
(2)一次函数y=kx+b与y=k1x+b1的图象的交点坐标(x1,y1)即为二元一次
方程组　 　的解.
知识梳理
kx+b=0
2.一次函数与不等式的关系
(1)一次函数y=kx+b,当y>0时,自变量x的取值范围即为不等式
　 　的解集;
(2)一次函数y=kx+b与y1=k1x+b1,当y>y1时,自变量x的取值范围即为不等式　 　的解集.
kx+b>0
kx+b>k1x+b1
7.如图所示,直线y=kx+b经过点A(5,0),B(1,4).
针对训练
(1)方程kx+b=0的解是　 　;
(2)不等式kx+b<0的解集是　 　;
(3)kx+b>4的解集是　 　;
x=5
x>5
x<1
(3,2)
(5)根据图象,写出关于x的不等式2x-4≥kx+b的解集是　 　.
x≥3
重难突破 提能力
考点1　一次函数的图象与性质(5年1考)
(1)求点A和点B的坐标;
(2)若点C在y轴上且位于点B上方,△ABC的面积为6,求点C的坐标.
即时训练
1.(2025佛山模拟)若点A(2,y1),B(3,y2)在一次函数y=-x+b的图象上,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1≥y2
C.y12.(2025深圳模拟)请写出同时满足“①y随x的增大而增大;②函数图象与y轴交于负半轴”两个条件的一次函数解析式:　 　.
A
y=x-3(答案不唯一)
考点2　待定系数法求一次函数的解析式(5年4考)
典例2 (2023广东T16(2),5分)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,1)与点(2,5),求该一次函数的解析式.
即时训练
3.(2025广州模拟)已知直线l:y1=kx+b过点(5,2),且与直线y2=x+1相交于点A(3,m).求直线l的解析式.
4.已知y与x+b成正比例,且当x=4时,y=6;当x=2时,y=2.
(1)求y关于x的函数解析式;
y与x+b成正比例,则设y=k(x+b)(k≠0)
(2)若-2解:(2)∵-2考点3　一次函数的实际应用(5年1考)
典例3 跨物理学科 物理实验证实:在弹性限度内,某弹簧长度y(单位:
cm)与所挂物体质量x(单位:kg)满足函数关系y=kx+15.下表是测量某物体质量时,该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式;
(2)当弹簧长度为20 cm时,求所挂物体的质量.
解:(1)由表格可把x=2,y=19代入关系式,得2k+15=19,解得k=2,
∴y与x的函数关系式为y=2x+15.
(2)把y=20代入(1)中函数关系式,得2x+15=20,解得x=2.5,即所挂物体质量为2.5 kg.
解题策略
运用一次函数解决实际问题的步骤
(1)根据题意设问题中的变量;(2)建立一次函数模型;(3)确定自变量的取值范围;(4)与方程(组)或不等式(组)结合解决实际问题.
即时训练
5.(2025广东模拟)某社区组织垃圾分类活动,准备购置两种不同规格的垃圾桶.大垃圾桶的进价是每个a元,小垃圾桶的进价是每个(a-10)元.已知购买3个大垃圾桶和2个小垃圾桶共花费290元.
(1)求单个大垃圾桶的进价;
解:(1)由题意,得3a+2(a-10)=290,解得a=62.
答:单个大垃圾桶的进价为62元.
(2)若社区计划用不超过3 000元的资金购置这两种垃圾桶共50个,每个大垃圾桶的可装垃圾量为20 kg,每个小垃圾桶的可装垃圾量为10 kg.设购置大垃圾桶m个,总可装垃圾量为Q kg,写出Q与m的函数关系式,并求出在资金允许的范围内Q的最大值.
解:(2)已知购置大垃圾桶m个,则购置小垃圾桶(50-m)个.
总可装垃圾量Q=20m+10(50-m)=10m+500.
∵购置资金不超过3 000元,
由(1)知小垃圾桶每个的进价为62-10=52(元),
∴62m+52(50-m)≤3 000,解得m≤40.
∵在Q=10m+500中,10>0,∴Q随m的增大而增大.
∴当m=40时,Q有最大值为10×40+500=900.
答:Q与m的函数关系式为Q=10m+500,
在资金允许的范围内Q的最大值为900.
考点4　一次函数与方程(组)、不等式的关系
典例4 如图所示,直线y=kx+b经过点A(-5,0),B(-1,4).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线y=-2x-4与直线AB相交于点C,求点C的坐标;
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式kx+b>-2x-4的解集.
解:(3)x>-3.
方法技巧
利用函数图象解不等式的步骤
(1)先将不等式转化为函数值的大小形式;(2)观察或计算函数图象的交点的坐标;(3)利用图象的位置关系,得到不等式的解集.
即时训练
6.(2024广东)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是( )
B
kx+b<0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴下方时对应点的横坐标
7.(2025东莞模拟)如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴,y轴交于A,B两点,若A(-2,0),B(0,1),则关于x的方程kx+b=0的解为
( )
A.x=-1 B.x=1
C.x=-2 D.x=2
C
8.开放性题 将直线y=3x-1向上平移m个单位长度,若平移后的直线经过第一、二、三象限,则m的值可以是　 　(写出一个即可).
全国视野 拓思维
2(答案不唯一,满足m>1即可)
谢谢观赏！(共18张PPT)
微专题一　反比例函数中的面积问题
模型一　一点一垂线
D
A.6 B.-6
C.12 D.-12
7
模型分析
过反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线,这点与垂足及另一坐标轴上一点(含原点)构成三角形,求这个三角形的面积.关键就是正确理解反比例函数图象上的一点的横、纵坐标的关系.
等量关系
模型二　一点两垂线
3
8
模型分析
过双曲线上任意一点,向两坐标轴作垂线,两条垂线与坐标轴围成矩形时求面积.理清反比例函数图象上的一点的横、纵坐标的关系是解决问题的关键.
等量关系
4
模型三　两点一垂线
-4
模型分析
反比例函数与一次函数图象的交点及过其中一个交点向x轴(或y轴)作垂线构成三角形时求面积.通过过另一个交点向x轴(或y轴)作垂线来解决.坐标轴所分的两个三角形面积的关系是解决问题的关键.
等量关系
A
模型四　两点两垂线
A.8 B.6 C.4 D.2
2
模型分析
反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作的两条垂线围成图形时求面积.两坐标轴将所围成图形分成的各图形的面积关系是解决问题的关键.
等量关系
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来y
A
C
B
0
%
y
A
P(m,n)
P(m,n)
0
A
光
0
%
y↑，y=安
P(m,n)
B
OA
X
◆y
A
0
B
C
C
B
0
%
A
Y年
M
A
0
X
B
--9
C
y
A
B
C
y◆
A
D
0
C
B
A
0
%
C
B(共33张PPT)
第13讲　二次函数的应用(5年4考)
知识梳理 夯基础
知识点一　二次函数与一元二次方程、不等式的关系
知识梳理
二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的　 　坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根 当b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点,方程ax2+bx+c=0有　 　的实数根
当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根
当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实数根
横
两个相等
二次函数与不等式 不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围
不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围
1.二次函数y=2x2-3x-c(c>0)的图象与x轴的交点情况是( )
A.有1个交点 B.有2个交点
C.无交点 D.无法确定
针对训练
B
2.[人教九上P47习题T5变式]二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示.
(1)方程-x2+bx+c=0的根为　 　;
(2)一元二次不等式-x2+bx+c>0的解集是　 　;
(3)一元二次不等式-x2+bx+c<0的解集是　 　.
x1=-1,x2=5
-1x<-1或x>5
知识点二　二次函数的实际应用
1.最值问题
在日常生活中,经常遇到求某种图形的最大面积、获取最大经济利润、怎样最节省开支等问题,利用二次函数的图象和性质,便可以解决这类问题,需要把这类问题转化为求二次函数的最值问题.解决该类问题的一般步骤如下:
(1)找:找出题目中的等量关系;
(2)列:列出二次函数解析式;
(3)求:利用配方法将解析式化为顶点式或利用公式法确定最值.
知识梳理
2.抛物线形问题
在实际生活中常遇到以下抛物线形问题:拱形桥洞、涵洞、隧道、拱形门、球类的运动路线、跳水运动员的跳水路线等,对此类问题要正确地建立模型,选择合理的位置建立平面直角坐标系,用待定系数法确定函数的解析式,进而解决问题.
3.如图(1)所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l处时,拱顶
(拱桥洞的最高点)离水面3 m,水面宽6 m.如图(2)所示,建立平面直角坐标系,则抛物线的解析式是( )
A
针对训练
10
重难突破 提能力
考点1　二次函数与方程、不等式的关系(易错点)(5年1考)
典例1 (2025中山模拟)[阅读材料]解一元二次不等式:x2-3x>0.
解:设x2-3x=0,解得x1=0,x2=3,则抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标为(0,0)和(3,0).画出二次函数y=x2-3x的大致图象(如图所示),由图象可知:当x<0或x>3时函数图象位于x轴上方,此时y>0,即x2-3x>0,则一元二次不等式x2-3x>0的解集为x<0或x>3.
通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题:
(1)请直接写出一元二次不等式x2-3x<0的解集;
解:(1)一元二次不等式x2-3x<0的解集为0(2)用类似的方法解一元二次不等式x2-2x-8≥0.
解:(2)设x2-2x-8=0,
解得x1=4,x2=-2,
则抛物线y=x2-2x-8与x轴的交点坐标为(4,0)和(-2,0),
画出二次函数y=x2-2x-8的大致图象,如图所示.
由图象可知,当x≤-2或x≥4时函数图象位于x轴及其上方,此时y≥0,
即x2-2x-8≥0,
∴一元二次不等式x2-2x-8≥0的解集为x≤-2或x≥4.
即时训练
1.(2025广州模拟)如图所示,抛物线y1与直线y2相交于点A和点B,点A,B的横坐标分别为-2和4,则当y1>y2时x的取值范围为( )
A.x<-2 B.x>4
C.-24
C
考点2　二次函数与实际生活中的最大(小)值问题(5年2考)
典例2 (2024广东T20改编)广东省全力实施“百县千镇万村高质量
发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售出100 t.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50 t.该果商如何定价才能使每天的“利润”最大 并求出其最大值.(题中“元”为人民币)
规律总结
应用二次函数模型解决实际问题的步骤
(1)根据题意确定二次函数的关系式;
(2)根据已知条件确定自变量的取值范围;
(3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定最大(小)值,注意二次函数的最大值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量的取值范围确定最值.
即时训练
2.(2025茂名模拟)为落实国家“乡村振兴战略”,切实提高农民的收入,某合作社将农户种植的无花果加工包装后进行销售,已知种植及加工无花果的综合成本为30元/千克,售价为50元/千克时,每天可出售2 000千克,经市场调查发现每降价1元,一天多售出250千克.
(1)如果每天的利润要比原来多5 000元,并使顾客得到更大的优惠,每千克售价为多少元
解:(1)设每千克降价x元,
∴(50-30-x)(2 000+250x)=(50-30)×2 000+5 000,
解得x=10或x=2,
∴售价为50-10=40(元)或50-2=48(元).
又∵使顾客得到更大的优惠,
∴每千克售价为40元.
(2)要使每天的利润取得最大值,每千克售价为多少元
解:(2)设每天的利润为w元,由题意,结合(1)可得,
w=(50-30-x)(2 000+250x)=-250x2+
3 000x+40 000=-250(x-6)2+49 000,
又-250<0,
∴当x=6时,每天的利润最大,最大值为49 000.
50-6=44(元).
∴要使每天的利润取得最大值,每千克售价为44元.
考点3　二次函数与抛物线形实际问题
典例3 如图所示,一位篮球运动员在与篮筐中心水平距离为4 m处起跳投篮时,球运行的高度y(单位:m)与运行的水平距离x(单位:m)之间满足关系式y=ax2+x+c,当球运行的水平距离为1.5 m时,球离地面高度为
3.3 m,球在空中达到最大高度后,准确落入篮筐内.已知篮筐中心与地面的距离为3.05 m.当球运行的水平距离为多少时,球在空中达到最大高度 最大高度为多少
方法技巧
解决抛物线形实际问题
(1)用待定系数法确定抛物线解析式;
(2)利用二次函数的图象与性质求解.
即时训练
3.(2025连云港)如图所示,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.若铅球掷出时离地面的高度OA为1.6 m,则铅球掷出的水平距离OB为
　 　m.
8
考点4　建立坐标系构建二次函数模型解决实际问题(5年1考)
典例4 (2025广东T18,7分)如图所示,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长
1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的解析式.
即时训练
4.[人教九上教材P51探究3改编]如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥,当水面宽4 m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m,若水面下降2.5 m时,则此时水面的宽度为　 　m.
6
5.如图所示是一座悬索桥侧面示意图.桥塔 AD 与桥塔BC均垂直于桥面FF′,缆索AB段与缆索AE段、缆索BE′段均呈抛物线形.缆索AB段所在的抛物线与缆索AE段所在的抛物线关于AD所在的直线对称,桥塔AD与桥塔BC之间的距离DC=100 m,AD=BC=17 m(桥塔的粗细忽略不计),缆索AB段的最低点P到FF′的距离PQ=2 m.请你在图中建立适当的坐标系,并求缆索AB段所在的抛物线的函数解析式.
解:(答案不唯一)如图所示,以点D为坐标原点,CD所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
∵AD=17 m,∴A(0,17).
又DC=100 m,
缆索AB段的最低点P到FF′的距离PQ=2 m,AD=BC,
∴抛物线的顶点P的坐标为(50,2).
故可设抛物线解析式为y=a(x-50)2+2.
全国视野 拓思维
6.(2025徐州)急刹车时,停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离,记作y m;反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离,记作d1 m;刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离,记作d2 m.已知y=d1+d2,d1与骑行速度成正比,d2与骑行速度的平方成正比.当骑行速度为13 km/h时,反应距离为2.6 m,刹车距离为1 m.
(1)若骑行速度为26 km/h,则d1=　 　m,d2=　 　m;
5.2
4
(2)设骑行速度为x km/h,求y关于x的函数解析式;
谢谢观赏！(共35张PPT)
第12讲　二次函数的图象与性质(5年12考)
知识梳理 夯基础
知识点一　二次函数的概念及解析式
1.一般地,形如　 　(a,b,c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
2.三种表达形式
一般式:　 　(a,b,c为常数,a≠0).
顶点式:　 　(a,h,k为常数,a≠0).
交点式:　 　(a,x1,x2为常数,a≠0).
知识梳理
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
1.若关于x的函数y=(a-2)x2-x是二次函数,则a的取值范围是　 　.
2.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,则y=　 　.
针对训练
a≠2
(x-2)2+1
知识点二　二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象是一条　 　.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
知识梳理
抛物线
a a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
小
大
增大
减小
减小
增大
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
a 决定抛物线开口方向及大小 方向 a>0,抛物线开口　
a<0,抛物线开口　
大小 |a|越大,抛物线开口　
|a|越小,抛物线开口　
向上
向下
越小
越大
y轴
左侧
右侧
原点
3.已知二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示.
(1)化为顶点式可得y=　 　;
(2)该抛物线的开口方向　 　,它的对称轴为　 　,它的顶点坐标为　 　;
(3)当x　 　时,y随x的增大而增大;
(4)当x=　 　时,y有最　 　值为　 　;
(5)该抛物线与x轴的交点坐标为　 　,
与y轴的交点坐标为　 　.
(x+1)2-4
向上
直线x=-1
直线x=-1
>-1
-1
小
-4
(-3,0)和(1,0)
(0,-3)
4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0),结合图象填空(选填“>”“<”或“=”).
(1)a　 　0,b　 　0,c　 　0;
(2)2a+b　 　0,2a-b　 　0,abc　 　0;
(3)b2-4ac　 　0;
(4)a+b+c　 　0,a-b+c　 　0;
(5)4a+2b+c　 　0,4a-2b+c　 　0;
(6)9a+3b+c　 　0,9a-3b+c　 　0.
<
>
>
=
<
<
>
>
=
>
<
=
<
知识点三　二次函数图象的平移
保持抛物线y=ax2的形状不变,使其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法
如下:
知识梳理
温馨提示　
点坐标与函数图象的平移规律:点坐标的平移规律“左减右加,上加下减”,函数图象的平移规律“左加右减,上加下减”,两者要区分开.
针对训练
5.已知二次函数y=2x2.
(1)把它的图象向左平移1个单位长度,就得到抛物线y=　 　;
(2)把它的图象向下平移1个单位长度,就得到抛物线y=　 　;
(3)把它的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,就得到抛物线y=　 　.
6.将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移　 　个单位长度,再向下平移　 　个单位长度,可得到抛物线y=2(x+1)2-1.
2(x+1)2
2x2-1
2(x-1)2+3
4
3
重难突破 提能力
考点1　二次函数的图象与性质(5年7考)
典例1 (2025中山模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为
(-1,4),与x轴其中一个交点的坐标为(1,0),则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向上
B.当x>-2时,y的值随x值的增大而减小
C.若M(x1,y),N(x2,y)是抛物线上不同的两点,则x1+x2=-1
D.图象与y轴的交点坐标为(0,3)
D
即时训练
1.(2024广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则( )
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
A
点(0,y1)在原点处,点(1,y2),(2,y3)都在y轴右侧,根据二次函数y=x2在y轴右侧的图象递增即可求解
2.下列关于抛物线y=x2+4x-5的说法正确的是( )
①开口方向向上;②对称轴是直线x=-4;③当x<-2时,y随x的增大而减小;④当x<-5或x>1时,y>0.
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
C
3.(2023广东)如图所示,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,
C,点B在y轴上,则ac的值为( )
A.-1 B.-2
C.-3 D.-4
B
考点2　二次函数图象的平移(5年1考)
典例2 (2025广东模拟)已知二次函数y=ax2-4x的图象经过点(-1,6).
(1)求a的值和该二次函数图象的顶点坐标.
解:(1)将(-1,6)代入二次函数y=ax2-4x,
得6=a×(-1)2-4×(-1),
解得a=2,
∴y=2x2-4x=2(x-1)2-2.
∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,-2).
(2)若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度,求新抛物线与y轴交点的坐标.
解:(2)将二次函数y=2(x-1)2-2的图象向右平移2个单位长度,则新抛物线的函数解析式为y=2(x-1-2)2-2=2(x-3)2-2.
令x=0,则y=2×(0-3)2-2=16,
∴新抛物线与y轴交点的坐标为(0,16).
即时训练
4.在平面直角坐标系中,如果抛物线y=-x2+2x-1经过平移可以与抛物线y=-x2互相重合,那么这个平移是( )
A.向上平移1个单位长度
B.向下平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度
C
y=2x2+4x
5.(2021广东)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为　 　.
考点3　二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
典例3 如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,与x轴负半轴的交点坐标为(x1,0),且-10,②b2>4ac,③4a+
2b+c<0,④3a+c<0.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
即时训练
6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.abc<0 B.4a-2b+c<0
C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m为实数)
C
B
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
考点4　确定二次函数的解析式(5年4考)
典例4 已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若函数图象经过(1,10),(-1,4),(-2,7)三点,求该函数的解析式;
(2)若函数图象的顶点坐标为(-1,4),且经过点M(2,-5),求该函数的解
析式;
解:(2)∵二次函数图象的顶点坐标为(-1,4).
∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0).
把(2,-5)代入,得-5=a(2+1)2+4,解得a=-1,
∴这个函数的解析式为y=-(x+1)2+4.
(3)若函数图象与x轴交于点A(-1,0),B(2,0),与y轴交于点C(0,4),求该函数的解析式.
解:(3)设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2)(a≠0),
将(0,4)代入,得4=-2a,解得a=-2,
∴y=-2(x+1)(x-2)=-2x2+2x+4.
∴二次函数的解析式为y=-2x2+2x+4.
方法点拨
确定二次函数的解析式
(1)已知抛物线上三个点的坐标可设一般式;
(2)已知顶点坐标或对称轴可设顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的交点坐标可设交点式.
即时训练
8.(2025广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点,则该二次函数的解析式可以是　 　(写出一个即可).
y=-x2+x+2(答案不唯一)
9.新定义题 一个二次函数的图象经过点(t,0),则称t的值是这个函数的“零点”.例如:二次函数y=a(x-3)(x+2)(a≠0),无论a取何值,二次函数的图象始终经过点(3,0)和(-2,0),所以3和-2是这个函数的“零点”.如果一个二次函数有且只有一个“零点”是-1,那么这个二次函数的解析式可以是　 　(写出一个符合要求的函数解析式即可).
y=(x+1)2(答案不唯一)
全国视野 拓思维
10.(2025南通)在平面直角坐标系中,五个点的坐标分别为A(-1,5),
B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若抛物线y=a(x-2)2+k(a>0)经过上述五个点中的三个点,则满足题意的a的值不可能为( )
C
11.运算能力 已知二次函数y=x2+2ax-3a.
(1)若函数图象经过点(2,5),解决下列问题:
①求该二次函数的解析式;
(1)解:①∵函数图象经过点(2,5),
∴4+4a-3a=5.∴a=1.
∴该二次函数的解析式为y=x2+2x-3.
②若将平面内一点A(1,n)向左平移3m(m>0)个单位长度,到达图象上的B点;若将点A向右平移m(m>0)个单位长度,则到达图象上的C点,求C点的坐标.
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