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(共31张PPT)
第22讲　正方形(5年5考)
知识梳理 夯基础
知识点一　正方形的性质与判定
知识梳理
性质 正方形的对边平行,四条边都　 　;
正方形的四个角都是　 　;
对角线相等且互相　 　,每条对角线平分一组对角
面积 S正=a2(a表示正方形的边长)
相等
直角
垂直平分
周长 C=4a(a表示正方形的边长)
对称性 正方形是　 　图形,也是轴对称图形,有　 条对称轴
判定 有一组邻边相等的　 　是正方形
对角线互相垂直的　 　是正方形
对角线相等的　 　是正方形
有一个角是直角的　 　是正方形
中心对称
4　
矩形
矩形
菱形
菱形
针对训练
1.如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.
(1)∠ABC=　 　°,∠AOB=　 　°,∠ADB=　 　°;
(2)若AB=4,则AC=　 　,正方形ABCD的周长为　 　,面积为　 　.
90
90
45
16
16
2.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,请添加一个条件:
　,使菱形ABCD成为正方形.
∠ABC=90°(答案不唯一)
知识点二　平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1.关系图
知识梳理
2.从边、角的关系看
3.从对角线的关系看
3.判断正误:
(1)有一个角是直角的平行四边形是正方形;( )
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形;( )
(3)有一组邻边相等的菱形是正方形;( )
(4)各边都相等的四边形是正方形.( )
针对训练
×
√
×
×
4.如图所示,只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去,使AB和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个正方形.判断的根据是
　 　.
有一组邻边相等的矩形是正方形
知识点三　中点四边形
1.任意四边形的中点四边形一定是　 　;对角线　 　的四边形的中点四边形是菱形;对角线　 　的四边形的中点四边形是矩形;对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是　 　.
2.中点四边形的面积等于原四边形面积的　 　.
知识梳理
平行四边形
相等
互相垂直
正方形
一半
5.[北师大九上P23做一做改编]如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.若AC=6,BD=8,则四边形EFGH的形状是　 　,面积是　 　.
针对训练
矩形
12
重难突破 提能力
考点1　正方形的性质与判定(5年5考)
典例1 在正方形ABCD中,点E是对角线BD上的一点,正方形的边长为2.如图所示,连接AE,若BA=BE,则BE的长为　 　,BD的长为　 　,∠AEB的度数为　 　.
2
67.5°
即时训练
1.如图所示,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,则点C的坐标是( )
A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3) D.(-3,-3)
C
2.(2024广州模拟)如图所示,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,作EF⊥AB于点F,连接DE,若BC=6,BF=2,则DE等于( )
A
3.[人教八下P67复习题T1变式]如图所示,以AD为边在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,则∠BED=　 　.
[变式] 以正方形ABCD的边AD为一边作等边三角形ADE,则∠BEC=
　 　.
45°
30°或150°
4.(2025佛山模拟)如图所示,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别是对角线
上的两点,过点E,F分别作AD,AB的平行线,则阴影部分的面积等于　 .
5.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,∴OE=OF.∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC.∴四边形AECF是正方形.
6.如图所示,在正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,且BE=DF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ABE≌△ADF.
思路点拨　(1)由正方形的性质得到AB=AD,∠ABC=∠ADF,根据SAS证明△ABE≌△ADF;　
(2)若AE=5,请求出EF的长.
思路点拨　 (2)证明△AEF是等腰直角三角形,可求出EF的长.
(2)解:∵△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.
∵∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠DAF+∠EAD=90°,
即∠EAF=90°.
∴△AEF是等腰直角三角形.
7.在正方形ABCD中,E是BC上一点,过点E作EF⊥AE.
(1)如图(1)所示,若EF交CD于点F,BE=3,CF=2,则正方形的边长为　 　.
图(1)
9
(2)如图(2)所示,若点E为BC的中点,EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F.求证:AE=EF.
图(2)
(2)证明:如图所示,取AB的中点H,连接EH.
∵∠AEF=90°,∴∠2+∠AEB=90°.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BCD=90°,AB=BC.
∴∠1+∠AEB=90°.∴∠1=∠2.
∵E是BC的中点,H是AB的中点,
∴BH=BE,AH=CE.∴∠BHE=45°.
∵CF是∠DCG的平分线且∠DCG=90°,
∴∠FCG=45°.∴∠AHE=∠ECF=135°.
∴△AHE≌△ECF(ASA).∴AE=EF.
考点2　平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
典例2 下列条件:①∠ABC=90°;②AB=BC;③AC=BD;④AC⊥BD.从中选择两个作为补充条件,使平行四边形ABCD成为正方形,下列四种选择方法中,你认为错误的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
B
即时训练
8.如图所示,在△ABC中,D是边AB上任意一点,E是BC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F,连接BF,CD.
(1)求证:四边形CDBF是平行四边形.
(1)证明:∵CF∥AB,∴∠ECF=∠EBD.
∵E是BC的中点,∴CE=BE.
在△CEF和△BED中,∠ECF=∠EBD,CE=BE,∠CEF=∠BED,
∴△CEF≌△BED(ASA).∴CF=BD.
又CF∥BD,∴四边形CDBF是平行四边形.
(2)若D为AB的中点.
①当AC⊥BC时,判断四边形CDBF的形状,并说明理由;
②当AC与BC满足　 　时,四边形CDBF是矩形;
③当AC与BC满足　 　时,四边形CDBF是正方形.
AC=BC
AC⊥BC且AC=BC
全国视野 拓思维
2
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微专题八　与四边形有关的常考模型
模型一　十字模型
类型 图示 模型特点 结论 变式图形及作法
正方形 十字模型 AE⊥BF △ABF≌△DAE 分别过点E,G作AB,
AD的垂线,得△NGF≌△MEA
矩形 十字模型 BD⊥CE △ABD∽△DEC 分别过点G,F作CD,AD的垂线,得△GMH∽△FNE
1.如图所示,在矩形ABCD中,点E是AD上一点,连接BE,过点A作BE的垂线交CD于点F,垂足为G,若5AB=3AD,BE=6,则AF的长为　 .
10
2.[人教八下新教材P77练习T3变式](2025德阳)在综合实践活动中,同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用,如图所示,点E,F处是它的两个门,且DE=CF,要修建两条直路AF,BE,AF与BE相交于点O(两个门E,F的大小忽略不计).
(1)请问这两条路是否等长 它们有什么位置关系 说明理由.
解:(1)两条路等长且互相垂直.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.
∵DE=CF,∴AD-DE=CD-CF.∴AE=DF.
在△BAE和△ADF中,BA=AD,∠BAE=∠D=90°,AE=DF,
∴△BAE≌△ADF(SAS).∴BE=AF,∠ABE=∠DAF.
∵∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°,∴∠BAO+∠ABE=90°.
在△AOB中,∠AOB=180°-(∠BAO+∠ABE)=90°,∴AF⊥BE.
∴道路AF与BE等长,且它们相互垂直.
(2)同学们测得AD=4 m,AE=3 m,根据实际需要,某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5 m长的直路,这条直路的一端在门F处,另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上,并且另一端P与点B处的距离不少于1.5 m,请问能否修建成这样的直路 若能,能修建几条 并说明理由.
模型二　半角模型
模型特点 一个大角包含一个小角,小角是大角的一半,二者有公共顶点且大角两边相等
图示及 证明 ①先确定两角顶点;
②绕公共顶点将大角和小角的一组邻边旋转一个大角,得到一对等角,一对等边和公共边,得两个三角形全等
结论 △DEF≌△DMF;EF=MF=CM+CF=AE+CF
3.如图所示,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,满足CE=DF,连接AF,DE,点G在AB边上,连接DG交AF于点H,使得∠DHF=45°,连接GE,若∠DAF=α,则∠BGE的度数为( )
A.90°-2α B.45°+α
C.4α D.3α+15°
A
4.旋转是几何图形中最基本的图形变换之一,利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的.
(1)如图(1)所示,四边形ABCD是正方形,点E,F分别在边BC和CD上,且∠EAF=45°,如图(2)所示,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,探究图中线段EF,BE,DF之间的数量关系.
解:(1)由旋转可得GB=DF,AF=AG,∠BAG=∠DAF,
∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°.
∴∠BAG+∠BAE=45°.∴∠GAE=∠EAF.
在△AGE和△AFE中,
∴△AGE≌△AFE(SAS).∴GE=EF.
∵GE=GB+BE=BE+DF,∴EF=BE+DF.
(2)如图(3)所示,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=120°,
∠EAF=60°,AE,AF与BC,CD边分别交于E,F两点.(1)中结论是否依然成立 若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
解:(2)结论EF=BE+DF依然成立.
证明如下:如图所示,将△ADF
绕点A顺时针旋转120°得到△ABM,
∴△ABM≌△ADF.
∴∠ABM=∠D=90°,∠MAB=∠FAD,
AM=AF,MB=DF.
∵∠ABE=90°,∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°.
∴M,B,E三点共线.
∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD∠EAF=60°.∴∠MAE=∠FAE.
又AE=AE,AM=AF,
∴△MAE≌△FAE(SAS).∴ME=EF.
∴EF=ME=BE+MB=BE+DF.
模型三　对角互补模型
模型 已知∠ABC+∠ADC=180°
辅助线 作法 作垂直 作旋转
结论 ①若AD=CD,则△AFD≌△CED,BD平分∠ABC; ②若AD≠CD,则△AFD∽△CED ①若AD=CD,则△ABD≌
△CED,BD平分∠ABC;②若AD≠CD,则△ABD∽△CED
5.如图所示,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为( )
C
6.如图所示,在四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120°,
AC=4,则四边形ABCD的面积为　 　.
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第五章　四边形
第20讲　平行四边形(5年6考)
知识梳理 夯基础
知识点一　平行四边形的定义、性质和判定
1.定义
两组对边分别　 　的四边形叫做平行四边形.
知识梳理
平行
2.平行四边形的性质和判定
要素 边 角 对角线
性质 对边　 对角　 对角线互相
　
判定 两组对边分别　 　的四边形是平行四边形(定义); 两组对边分别　 　的四边形是平行四边形; 一组对边　 　的四边形是平行四边形 两组对角分别 　 　的四边形是平行四边形 对角线互相
　 　的四边形是平行四边形
平行且相等
相等
平分
平行
相等
平行且相等
相等
平分
3.平行四边形的面积
(1)S平行四边形=底×高;
(2)平行四边形被两条对角线分成的四个三角形的面积　 　.
4.平行四边形中的几种常见面积关系
相等
　特殊(一条对角线) 一般(l过对称中心)
S1=S2 S1=S2
S1=S2=S3=S4
S1=S2
针对训练
1.如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O.
(1)若四边形ABCD是平行四边形,AB=4,AD=3,AC=6,BD=5,则CD=　 　,
BC=　 　,AO=　 　,BO=　 　,∠ADB=　 　,∠BAD=　 　;
(2)下列条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的是　 　.
①AB=CD,AB∥CD;②AO=CO,BO=DO;③AB∥CD,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC;⑤∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
4
3
3
2.5
∠CBD
∠BCD
①②③⑤
2.[人教八下P51习题T15改编]如图所示,某广场上有一个形状是平行四边形的花坛,分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花.如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法中错误的是( )
A.红花、白花种植面积一定相等
B.红花、蓝花种植面积一定相等
C.蓝花、黄花种植面积一定相等
D.紫花、橙花种植面积一定相等
B
知识点二　两条平行线之间的距离
知识梳理
定义 两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离
性质 两条平行线之间的距离处处相等
几何 语言 如图所示,a∥b,A,C,E是a上任意三点,AB⊥b于点B,CD⊥b于点D,EF⊥b于点F,则线段AB,CD,EF的长就是a,b之间的距离,且AB=CD=EF
3.如图所示,已知l1∥l2,点A,D在l1上,点B,C在l2上.
(1)若AB⊥l2,且AC=5,BC=4,则平行线l1和l2之间的距离为　 　;
(2)若AD=2BC,△ABC的面积为10,则△ADC面积为　 ;
(3)若直线l1与l2之间距离为2,∠ACB=30°,则AC长为　 　.
3
20
4
针对训练
知识点三　梯形
1.定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.如图所示.
知识梳理
2.面积公式:S梯形=(上底+下底)×高÷2.
3.等腰梯形是　 　图形,等腰梯形的两底角　 　.
轴对称
相等
针对训练
20
4.如图所示,四边形ABCD是等腰梯形,AB=5 cm,AD=8 cm,BC=2 cm,
∠CBE=115°.
(1)等腰梯形ABCD的面积是　 　cm2;
(2)等腰梯形ABCD的周长是　 　cm;
(3)∠BED的大小是　 　°.
20
65
重难突破 提能力
考点1　平行四边形的性质(5年4考)
典例1 如图所示,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AE和AF分别为边BC,CD上的高.
(1)若∠ABC=48°,则∠ADC=　 　,∠BCD=　 　;
(2)若BC=10,AC=8,BD=14,则△AOD的周长为　 　;
(3)若BC=20,AE=12,AF=16,则CD的长为　 　.
48°
132°
21
15
即时训练
1.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点,BE=3,EO=4,则 ABCD的周长为( )
A.14 B.13
C.28 D.19
C
2.如图所示, ABCD的顶点A,C分别在直线l1,l2上,l1∥l2,若∠1=32°,
∠B=66°,则∠2的度数为( )
A.32° B.34° C.36° D.44°
B
3.(2025湖北)如图所示,平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(-1,
2),则点C的坐标是( )
A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2)
C
4.(2024广州)如图所示,在 ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=　 　.
角平分线与平行线相交推理出等腰三角形
5
5.[北师大八下P136例1变式]如图所示,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证:∠1=∠2.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥CB.∴∠ADE=∠CBF.
∵DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴∠1=∠2.
考点2　平行四边形的判定(5年2考)
典例2 [人教八下P50T10变式]如图所示,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线,且点E,F分别在边BC,AD上.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若∠ADC=60°,DF=2AF=2,求△GDF的面积.
(2)解:如图所示,过点C作CH⊥AD于点H,则∠CHD=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∠DFC=∠BCF.
∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°=120°.
即时训练
6.如图所示,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,
AF∥DC.求证:四边形AFCD为平行四边形.
证明:∵E是AB的中点,∴AE=BE.
∵DF=BF,∴EF是△ABD的中位线.
∴EF∥AD,∴CF∥AD.
∵AF∥CD,∴四边形AFCD为平行四边形.
7.[北师大八下P144随堂练习变式]
(1)如图(1)所示,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AN⊥BD于点N,过点C作CM⊥BD于点M,连接AM,CN.求证:四边形ANCM为平行四边形.
图(1)　　
一题多解:(1)解法二:证明△ABN≌△CDM(AAS)，通过线段BO—BN=DO—DM→ON=OM，进而证明；
(2)解法二:通过三等分点得到线段相等，证明△ABE≌△CDF(SAS)，△AFD≌△CEB(SAS)，得到AE=CF，AF=CE，进而证明
证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC.
∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴∠ANO=∠CMO=90°.
(2)如图(2)所示,在 ABCD中,点E,F为BD的三等分点,连接CE,AE,CF,AF.求证:四边形AECF为平行四边形.
图(2)
证明:(2)如图所示,连接AC交BD于点O,
∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.
∵点E,F为BD的三等分点,∴BE=DF.
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
∴四边形AECF为平行四边形.
8.跨物理学科 阅读材料:物理学中“力的合成”遵循平行四边形法则,即F1和F2的合力是以这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所表示的力F,如图所示.解决问题:设两个共点的合力为F,现保持两力的夹角θ(0°<θ<90°)不变,使得其中一个力增大,则( )
A.合力F一定增大
B.合力F的大小可能不变
C.合力F可能增大,也可能减小
D.合力F一定减小
全国视野 拓思维
A
9.如图所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC=6,∠ABC=67.5°,P为AB边上一动点,以PA,PC为边作 PAQC,PQ,AC交于点O,则对角线PQ长度的最小值为　 　.
通过平行四边形对角线性质找到题干中隐含条件:PQ过AC中点,问题简化为求:AC中点到AB的距离
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第21讲　矩形与菱形(5年8考)
知识梳理 夯基础
知识点一　矩形的性质与判定
知识梳理
如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O
性 质 边 对边　 　且　 　
角 四个角都是　 　角
对角线 两条对角线互相　 　且　 　
对称性 矩形既是　 　对称图形,又是　 　对称图形,有　 　条对称轴
平行
相等
直
平分
相等
中心
轴
2
面积 S=ab(a,b分别表示矩形的长和宽)
周长 C=2(a+b)(a,b分别表示矩形的长和宽)
判 定 有一个角是　 角的平行四边形是矩形(定义)
对角线　 　的平行四边形是矩形
有三个角是　 　角的四边形是矩形
直
相等
直
针对训练
1.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.
(1)若AB=6,BC=8,则矩形的周长是　 　,面积是　 　,AC=　 　,
BO=　 　;
(2)若∠BOA=60°,AB=2,则∠ACB=　 　,AC=　 　,BC=　 .
28
48
10
5
30°
4
2.以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A.AB=CD,AD=BC,∠A=90°
B.OA=OB=OC=OD
C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD
D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD
D
知识点二　菱形的性质与判定
知识梳理
如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O
性质 边 对边　 　,四条边都　 　
角 对角　 　,邻角　 　
性质 对角线 对角线互相　 　,并且每一条对角线　 　一组对角
平行
相等
相等
互补
垂直平分
平分
底
BD
中心
2
相等
相等
垂直
3.如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O.
(1)若四边形ABCD是菱形,AB=4,∠BAD=60°.
①菱形的周长是　 　,∠BAC=　 　,BD=　 　;
②AC=　 　,菱形的面积是　 　;
③若BH⊥AD于点H,则BH的长是　 　.
16
针对训练
30°
4
(2)下列四个条件:
①AB∥CD;②AO=OC;③AB=AD;④AC平分∠DAB.
从中选取三个条件,可以判定四边形ABCD为菱形(O为对角线交点),则可以选择的条件序号是　 　(写出所有可能的情况).
①②③或①②④或①③④或②③④
重难突破 提能力
考点1　矩形的性质与判定(5年5考)
典例1 如图所示,在矩形ABCD中,点E是DC上一点,连接AE,BE,过点A作BE的平行线,过点B作AE的平行线,两条平行线交于点F,∠DAE=∠BEC.
(1)求证:四边形AFBE是矩形.
(1)证明:∵AF∥BE,BF∥AE,∴四边形AFBE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°.
∵∠DAE=∠BEC,∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠DAE=90°.∴∠AEB=180°-(∠AED+∠BEC)=90°.
∴四边形AFBE是矩形.
(2)连接EF,若∠DAE=30°,DE=1,求EF的长.
(2)解:∵∠DAE=30°,∠BAD=∠AEB=∠D=90°,DE=1,∴∠ABE=90°-∠BAE=∠DAE=30°.
∵AE=2DE=2,∴AB=2AE=4.
∵四边形AFBE是矩形,∴EF=AB=4.
∴EF的长为4.
即时训练
1.(2024成都)如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD
C
2.(2025广州模拟)如图所示,在矩形ABCD中,若AB=3,BD=5,BC=4DE,则线段CE的长为　 　.
3.(2025惠州模拟)如图所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P为AD上一动点,
PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F,则PE+PF的值为 .
4.已知,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O(AC>BD),点E,F分别是OA,OC上的动点,如图所示.若OE=OB,OF=OD,求证:四边形EBFD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD.
∵OE=OB,OF=OD,∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形,BD=EF.
∴四边形EBFD是矩形.
考点2　菱形的性质与判定(5年3考)
典例2 (2025广东T19,9分)如图所示,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点A,C分别作AE∥DC,CE∥AB,AE与CE相交于点E.现有以下命题:
命题1:若连接BE交CA于点F,则S△CFB=2S△CEF.
命题2:若连接ED,则ED⊥AC.
命题3:若连接ED,则ED=BC.
任选两个命题,先判断真假,再证明或举反例.
命题2:如图②所示,连接ED.
∵CE∥AB,AE∥CD,∴四边形ADCE是平行四边形.……………………6分
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴AD=CD=DB.………………………7分
∴平行四边形ADCE是菱形.……………………………………………8分
∴DE⊥AC.………………………………………………………………9分
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5.(2025江门模拟)如图所示,在菱形ABCD中,AC=8,DB=6,过点D作DE⊥AB,垂足为E,则DE的长为( )
B
6.菱形的边长为5,则它的周长为　 　.
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7.(2024广东)如图所示,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为　 　.
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8.[人教八下P58练习T3变式]如图(1)所示,将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起,得到四边形ABCD.
(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
解:(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:
作CH⊥AB于点H,作CG⊥AD于点G(图略),则CH=CG,
∵两个纸条都为矩形,∴AB∥CD,AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.
∵S ABCD=AB·CH=AD·CG,CH=CG,∴AB=AD.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)已知矩形纸条的宽度为2 cm,将矩形纸条旋转至如图(2)所示的位置时,四边形ABCD的面积为8 cm2,求此时直线AD,CD所夹锐角∠1的度数.
解:(2)作AM⊥CD于点M(图略),则AM=2 cm,
∵S菱形ABCD=CD·AM=8 cm2,∴CD=4 cm.
由(1),得AD=CD,∴AD=4 cm.
全国视野 拓思维
D
10.几何直观 如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点F是CD的中点,点E为直线BC下方一点,且以BC为斜边在矩形的外部作Rt△BEC,则EF的最大值为　 　.
取BC中点O,连接OE,OF,根据矩形的性质求OC,CF的长,根据勾股定理求OF的长,根据直角三角形的性质求OE的长,根据三角形三边关系求得当点O,点E,点F共线时,EF有最大值,即EF=OE+OF.
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