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(共32张PPT)
第2讲　二次根式(5年4考)
知识梳理 夯基础
知识点一　二次根式及相关概念
知识梳理
二次根式 形如　　(a≥0)的式子叫做二次根式
最简二次根式 被开方数不含　 　,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式
同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,如果它们的被开方数　 　,那么这几个二次根式是同类二次根式
分母
相同
1.下列式子中,一定是二次根式的为( )
针对训练
C
①④
4
知识点二　二次根式的性质
知识梳理
≥
a
|a|
a
-a
方法　
平方在根号外,直接去根号;平方在根号内,加上绝对值再讨论.
0
4.(1)判断正误:
针对训练
√
×
√
×
√
×
3
2
知识点三　二次根式的运算
知识梳理
最简二次根式
加减 先把各个二次根式化成　 　,再将同类二次根式分别合并.有括号时,要先去括号
混合 运算 实数的运算顺序、运算法则、运算律及乘法公式等在二次根式的运算中同样适用
6.计算:
针对训练
3
7.[人教八下P15习题T3变式]计算:
知识点四　二次根式的估算
知识梳理
针对训练
B
2(答案不唯一)
重难突破 提能力
考点1　二次根式有意义的条件
x≥-1且x≠3
即时训练
D
考点2　二次根式的性质(5年1考)
B
即时训练
D
A.2 023 B.2 024
C.2 025 D.2 026
考点3　二次根式的化简与运算(5年3考)
典例3 计算:
即时训练
B
D
2
利用平方差公式计算更简便
考点4　二次根式的估算
A
即时训练
B
全国视野 拓思维
-1 013
先求出前几个数的值,观察这几个值的规律,分n是奇数还是偶数两种情况下an的解析式
109
11.[人教八下P20复习题T10变式]观察下列各式:
(3)探究:你能用字母表示其中的规律吗 并给出证明(用仅含a的式子证明).
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第3讲　代数式、整式与因式分解(5年4考)
知识梳理 夯基础
知识点一　列代数式及代数式求值
1.列代数式
2.代数式求值
(1)直接代入法.
(2)整体代入法
①观察已知条件和所求代数式的关系;
②将所求代数式变形为与已知代数式成倍分关系;
③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值.[整体思想]
知识梳理
1.某公园的成人票价是10元,儿童票价是4元.某旅行团有a名成人和b名儿童.
(1)旅行团的门票费用总和为　 　元;
(2)①当a=8,b=6时,共需　 　元的门票费;
②当5a+2b=24时,共需　 　元的门票费.
针对训练
(10a+4b)
104
48
知识点二　整式的相关概念
1.整式
知识梳理
积
数字因数
和
高
2.同类项
所含　 　相同,并且相同字母的　 　也相同的项叫做同类项,几个　 　项也是同类项.
字母
指数
常数
2.下列单项式中,是ab3的同类项的是( )
A.3ab3 B.2a2b3
C.-a2b2 D.a3b
针对训练
A
C
4.写出一个系数是2,含两个字母,次数是5的单项式:　 　.
2x4y(答案不唯一)
合并同 类项 把　 　相加减,字母和字母的指数　 　　
去(添) 括号 括号前面是“+”号,去(添)括号都　 　符号;括号前面是“-”号,去(添)括号都要　 　符号
知识点三　整式的运算
1.加减运算
知识梳理
不变
不改变
改变
系数
2.幂的运算
同底数 幂的乘法 同底数幂相乘,底数不变,指数　 　.
即am·an=　 　(a≠0)
同底数 幂的除法 同底数幂相除,底数不变,指数　 　.
即am÷an=　 　(a≠0)
幂的 乘方 幂的乘方,底数不变,指数　 　.
即(am)n=　 　(a≠0)
积的 乘方 积的乘方等于积中的每个因式分别　 　后幂的积.即(ab)m=　 　(ab≠0)
相加
am+n
相减
am-n
相乘
amn
乘方
ambm
3.乘法运算
单项式 与单项 式相乘 把它们的　 　、　 　分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的　 　作为积的一个因式
单项式 与多项 式相乘 用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即m(a+b)=　 　+　 　
系数
同底数幂
指数
ma
mb
多项式 与多项 式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即(m+n)(a+b)=ma+　 　+na+　 　
完全平 方公式 (a±b)2=　 　
平方差 公式 (a+b)(a-b)=　 　
mb
nb
a2±2ab+b2
a2-b2
4.除法运算
单项式 除以单 项式 单项式除以单项式,把　 　和　 　分别相除,作为　 　的因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的　 　作为商的一个因式
多项式 除以单 项式 多项式除以单项式,把这个多项式的　 　分别除以这个单项式,然后把所得的商　 　
系数
同底数幂
商
指数
每一项
相加
5.下列式子计算正确的是( )
A.3a+4a=7a2 B.4a-3a=2
C.3a2-2a=a D.-a2b+ba2=0
6.去括号或添括号:
(1)a-2(a-3b)=　 　;
(2)-3x2+6x+2=-3(　 　)+2.
针对训练
D
-a+6b
x2-2x
7.[人教八上P104习题T1变式]下列计算正确的是( )
A.(-m)7÷(-m)2=-m5
B.a6·a2=a12
C.(3xy2)2=6x2y4
D.(a2)3=a5
8.下列计算正确的是( )
A.a2·a3=a6 B.-(-2a2)3=-6a6
C.a4÷a=a3 D.3a+2a=5a2
A
C
9.下列计算正确的是( )
A.3a3·2a2=6a6
B.a(b+3)=ab+3a
C.(a+b)(a+2b)=a2+2ab+2b2
D.(a-2)2=a2-4
10.下列计算正确的是( )
A.(x+y)(x-y)=x2+y2 B.(m+2n)2=m2+4n2
C.(2x+y)(2x-y)=2x2-y2 D.(3m-2n)2=9m2-12mn+4n2
B
D
11.下列计算正确的是( )
A.2m3÷m2=2
B.4a3b÷2a2=2ab
C.(6a3b4+2a2b2)÷2a=3ab2+2ab2
D.(am+bm)÷m=a-b
B
12.计算:
(1)6a2÷(-3a)=　 　;
(2)(-2a2b)3÷4a3b3=　 　;
(3)(8x2y-4xy2)÷4xy=　 　;
(4)(6a3-10a2+2a)÷2a=　 　.
-2a
-2a3
2x-y
3a2-5a+1
知识点四　因式分解
知识梳理
1.定义:把一个多项式化成几个整式　 　的形式,叫做因式分解.
2.方法
(1)　 　;
(2)运用公式法:
平方差公式:a2-b2=　 　;
完全平方公式:a2±2ab+b2=　 　.
乘积
提公因式法
(a+b)(a-b)
(a±b)2
3.因式分解的一般步骤
13.下列各式属于因式分解的是( )
A.a(x+y)=ax+ay
B.x2-4x+4=x(x-4)
C.x2y-x2=x2(y-1)
D.x2-3x-1=x(x-3)-1
针对训练
C
14.[人教八上P125复习题T7变式]分解因式:
(1)m2-2m=　 　;
(2)3a(x-y)+6b(y-x)=　 　;
(3)a2-9=　 　;
(4)8x3-2xy2=　 　;
(5)x2-8xy+16y2=　 　;
(6)ax2+2axy+ay2=　 　.
15.[人教八上P120习题T9]已知4y2+my+9是完全平方式,则m的值是
　 　.
m(m-2)
3(x-y)(a-2b)
(a+3)(a-3)
2x(2x+y)(2x-y)
(x-4y)2
a(x+y)2
±12
重难突破 提能力
考点1　列代数式及代数式求值
典例1 整体代入求值 已知x=5-y,xy=2,计算3x+3y-4xy的值为　 　.
7
将3x+3y-4xy变形为与已知条件含有相同部分的代数式,然后整体代入求值
即时训练
1.(2025深圳模拟)铜钱是我国的早期货币,外圆内方的构造彰显了数学之美.如图所示的铜钱外部的圆半径为a,方形边长为b,下列表示铜钱阴影部分的面积的式子是( )
A.2π(a-b) B.πa2-b2
C.π(b2-a2) D.2π(b-a)
B
2.整体代入求值 (2024广州)若a2-2a-5=0,则2a2-4a+1=　 　.
11
整体代入求值
3.某品牌洗衣机的标价为每台a元,打8折出售,则售价为每台　 　元.
0.8a
4.跨化学学科 (2025深圳模拟)数学知识广泛应用于化学领域,是研究化学的重要工具.比如在学习化学式时,甲烷化学式为CH4,乙烷化学式为C2H6,丙烷化学式为C3H8,按此规律,当碳原子的数目为n(n为正整数)时,氢原子的数目是　 　.
2n+2
考点2　整式的相关概念(5年1考)
典例2 (广东中考)如果单项式3xmy与-5x3yn是同类项,那么m+n=　 　.
4
即时训练
5.多项式3x|m|y3-(m+1)x+2是四次三项式,n是最高次项的系数,则mn的值为( )
A.1 B.-1
C.3 D.-3
A
考点3　整式的运算(5年1考)
典例4 设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所示,要拼一个边长为a+b的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形,则需要C类纸片的张数为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
C
即时训练
7.(2024广东)下列计算正确的是( )
A.a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4
C.-2a+5a=7a D.(a2)5=a10
8.已知3×9m÷27=81,则m的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
D
C
9.计算:
(1)5a2+2a-1-4(3-8a+2a2);　　　　　　　　
解:(1)5a2+2a-1-4(3-8a+2a2)
=5a2+2a-1-12+32a-8a2
=-3a2+34a-13.
(2)4(x+1)2-(2x+5)(2x-5).
解:(2)4(x+1)2-(2x+5)(2x-5)
=4(x2+2x+1)-(4x2-25)
=4x2+8x+4-4x2+25
=8x+29.
11.(2025海珠模拟)已知2x2+2x-1=x,求代数式(3x+2)(3x-2)-(x-2)2
的值.
解:∵2x2+2x-1=x,∴2x2+x=1.
(3x+2)(3x-2)-(x-2)2
=9x2-4-x2+4x-4
=8x2+4x-8
=4(2x2+x)-8
=4×1-8
=4-8
=-4.
考点4　因式分解(5年2考)
典例5 因式分解:
(1)(y+2x)2-(x+2y)2;　　　　　　　　　　　
解:(1)(y+2x)2-(x+2y)2
=[(y+2x)+(x+2y)][(y+2x)-(x+2y)]
=(3x+3y)(x-y)
=3(x+y)(x-y).
(2)4x3-4x2+x.
解:(2)4x3-4x2+x
=x(4x2-4x+1)
=x(2x-1)2.
即时训练
12.(2025广东)因式分解:a2b+ab2=　 　.
13.(2023广东)因式分解:x2-1=　 　.
14.(2025北京)分解因式:7m2-28=　 　.
ab(a+b)
(x+1)(x-1)
7(m+2)(m-2)
15.跨物理学科 (2025广东模拟)如图所示,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为U,则U=IR1+IR2+IR3,当R1=10.3,
R2=51.8,R3=37.9,I=2.2时,U的值为　 　.　
220
全国视野 拓思维
16.对正整数n,记n! =1×2×3×…×n,则1! +2! +3! +…+10! 的末尾数为( )
A.0 B.1 C.3 D.5
1!=1,2!=1×2=2,3!=1×2×3=6,4!=1×2×3×4=24,且5!,…,10!的数中都含有2与5的积,即5!,…,10!的末尾数都是0
C
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第一章　数与式
第1讲　实　数 (5年13考)
第一部分　考点精准解读
知识梳理 夯基础
知识点一　正负数的意义及实数的分类
知识梳理
1.用正数、负数表示相反意义的量
一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正,并在表示这个量的前面放上“+”;把与它意义相反的量规定为负,并在表示这个量的前面放上“-”.
2.实数的分类
(1)按定义分类
正整数
0
负分数
循环
无限不循环
(2)按大小分类
正有理数
0
负无理数
1.[人教七上P4练习T3变式]如果水位升高3 m,水位变化记作+3 m,那么水位变化-2 m表示　 　,那么这里水位升高0 m的含义是
　 　.
针对训练
水位下降2 m
水位无变化
(1)整数:　 　;
(2)分数:　 　;
(3)正数:　 　;
(4)正有理数:　 　;
(5)无理数:　 　;
(6)非负数:　 　.
2.将下列实数前的序号填入相应的横线上.
②④⑦⑧⑨
①⑥
①②③⑤⑩
①②
③⑤⑩
①②③⑤⑨⑩
知识点二　实数的相关概念
1.数轴
(1)三要素(如图所示);
知识梳理
(2)实数与数轴上的点　 　;
(3)用数轴上的点表示无理数.
一一对应
名称 概念 性质
相反数 只有　 　不同的两个数叫做互为相反数 a,b互为相反数 a+b=　 　;
0的相反数是　 　
2.相反数、绝对值、倒数
符号
0
0
距离
a
0
-a
倒数 乘积为　 　的两个数互为倒数 a,b互为倒数 ab=　 　;
　 　没有倒数,倒数等于它本身的数是　 　
1
1
0
±1
3.[人教七上P9练习T1变式]如图所示,数轴上有A,B,C,D,E五个点.
(1)点E表示的数是　 　,点D表示的数是　 　,点B表示的数是　 　;
(2)点B与点C表示的两数互为　 　;
(3)点B与点D之间的距离是　 　.
针对训练
-3
4
-2
相反数
6
4.如果a=-a,那么表示数a的点在数轴上的位置是　 　.
5.[人教八下P27练习T1变式]如图所示,数轴上点A表示的数是　 　.

6.[人教七上新教材P14练习T3变式]如果|a|=|-3|,那么a=　 　;如果m是负数,且|m|=8,那么m=　 　.
原点
±3
-8
7.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,求2(a+b)+cd的值.
解:∵a,b互为相反数,c,d互为倒数,
∴a+b=0,cd=1.
∴2(a+b)+cd=0+1=1.
知识点三　科学记数法
1.表示形式:a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.
2.n的确定
(1)当原数的绝对值≥10时,n为原数的整数位数减　 　;
(2)当0<原数的绝对值<1时,n为负整数且绝对值等于原数左起第1个非0数字前　 　0的个数(包括小数点前的0).
知识梳理
1
所有
8.用科学记数法表示下面的数:
(1)4 750 000=　 　;
(2)3.1万=　 　;
(3)-0.004=　 　.
9.写出用科学记数法表示下面数的原数:
(1)5.18×103=　 　;
(2)3.12×10-5=　 　;
(3)-2.25×106=　 　.
针对训练
4.75×106
3.1×104
-4×10-3
5 180
0.000 031 2
-2 250 000
知识点四　近似数与精确度
1.近似数:与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数,如:π取3.14,身高约165 cm,这里说的3.14和165都是近似数.
2.精确度:近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示,一个近似数四舍五入到哪一位就说这个数精确到哪一位.
知识梳理
10.用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)1.814≈　 　(精确到0.1);
(2)3.796≈　 　(精确到百分位);　
(3)8.054 64≈　 　(保留小数点后两位).
针对训练
1.8
3.80
8.05
性质 比较法 　 　>0>负数,两个正数比较大小,绝对值大的数比较大;两个负数比较大小,绝对值大的数反而　 　
数轴 比较法 在数轴上,右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数　
知识点五　实数的大小比较
知识梳理
正数
小
大
a>b
<
=
>
=
<
2 025
针对训练
12.[人教七下P57习题T6变式]比较大小:
>
>
>
>
>
知识点六　实数的运算
1.四则运算法则
知识梳理
四则运算 法则
加法 同号两数相加,取　 　的符号,并把　 　相加;异号两数相加,取　 　的加数的符号,并用较大的绝对值　 　较小的绝对值;互为相反数的两个数相加,和为　 　
相同
绝对值
绝对值较大
减去
0
减法 减去一个数,等于加上这个数的　
乘法 两数相乘,同号得　 　,异号得　 　,并把它们的绝对值　 　;零乘任何数都得　 　　
除法 除以一个不为0的数,等于乘这个数的　
相反数
正
负
相乘
0
倒数
2.常考运算及法则
1
-1
1
3.平方根、算术平方根与立方根
0
负数
0
正
负
0
13.[人教七上P51复习题T5变式]
计算:
(1)-11+(-13)=　 　;
(2)-12+4=　 　;
(3)-3-(-7)=　 　;
(4)-5-65=　 　;
(5)-1×(-8)=　 　;
针对训练
-24
-8
4
-70
8
(6)2×(-18)=　 　;
(7)0×2 025=　 　;
-36
0
-8
8
7
9
14.32可表示为( )
A.3×2 B.2×2×2
C.3×3 D.3+3
15.[人教八上P145练习T1变式]填空:
(1)40=　 　,(-4)0=　 　;
(2)3-2=　　,(-3)-2=　　;
(3)b0=　 　,b-2=　　(b≠0);
(4)(-1)2 024=　 　,(-1)2 025=　 　.　
C
1
1
1
1
-1
16.填空:
π-3　
(2)如果a<0,则|a|=　 　.
-a
18.概念辨析 下列说法不正确的是( )
A
3
±2
-2
-64
重难突破 提能力
考点1　正负数的意义及实数的相关概念(5年3考)
典例1 若m,n互为倒数,且满足m+mn=3,则n的值为( )
B
即时训练
1.(2025广东)某品牌乒乓球产品质量参数是2.74 g±0.02 g,如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么低于标准质量
0.02 g记作( )
A.-0.02 g B.+0.02 g
C.-0.04 g D.+0.04 g
A
2.(2025广州)下列四个选项中,负无理数是( )
A
考点2　科学记数法(5年4考)
典例2 (2025广东)依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024-2026年)》,预计2026年广东省低空经济规模将超过3 000亿元.数据3 000亿用科学记数法表示为( )
A.3×109 B.3×1010
C.30×1010 D.3×1011
D
即时训练
3.2025年4月19日,全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑.本次比赛全程约21 km,这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约25万次精密关节运动.将数据“25万”用科学记数法表示为( )
A.2.5×105 B.2.5×104
C.25×104 D.0.25×106
A
4.(2025河南)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为( )
A.0.74×10-4 B.7.4×10-4
C.7.4×10-5 D.74×10-6
C
考点3　实数的大小比较 (5年1考)
典例3 实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( )
A.a>-1 B.a+b=0
C.a-b>0 D.|a|>|b|
D
气体 氦气 氢气 氮气 氧气
液化温度/℃ -269 -253 -196 -183
即时训练
5.(2025深圳模拟)几种气体的液化温度(标准大气压)如表:
A
其中液化温度最低的气体是( )
A.氦气 B.氢气
C.氮气 D.氧气
6.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a,-a,b,-b的大小关系为　 　(用“<”连接).
-a7.开放性题 写一个比-1大的数:　 　.
8.写出一个小于4的正无理数:　 　.
0(答案不唯一)
b考点4　实数的运算(5年5考)
典例4 计算:
即时训练
10.(2025广东)计算20-2 sin 30°的结果是　 　.
0
13.(2025南充)如图所示,把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周,圆上点A到达点A′,点A′对应的数是2,则滚动前点A对应的数是
( )
A.2-2π B.π-2
C.5-2π D.2-π
全国视野 拓思维
D
谢谢观赏！(共22张PPT)
第4讲　分　式(5年4考)
知识梳理 夯基础
知识点一　分式的相关概念与性质
1.分式的概念:
知识梳理
字母
整式
2.与分式有关的条件:
(1)分式有意义的条件是　 　;
(2)分式无意义的条件是　 　;
(3)分式值为零的条件是　 　.
分母不为0
分母为0
分子为0且分母不为0
注意辨析　
a0和a-p都是运算,它们有意义的条件都是底数不为零.
3.分式的基本性质
0
约分 把一个分式的分子与分母的　 　约去,不改变分式的值,叫做分式的约分
最简 分式 分子和分母没有　 　的分式
通分 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式　 　的同分母的分式,叫做分式的通分
最简 公分母 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母
公因式
公因式
相等
针对训练
3
x≠4　
x=2
3.下列变形正确的是( )
C
D
D
(x-2)(x+3)2
知识点二　分式的运算
知识梳理
分式的 混合 运算 在分式的混合运算中,应先算　 　,再把除法化为　 　,进行　 　化简,最后进行　 　运算.有括号先算
　 　里面的,结果化为最简分式或整式
乘方
乘法
约分
加减
括号
易错警示　
7.计算:
针对训练
6
m
重难突破 提能力
考点1　分式有意义、无意义、值为0的条件
典例1 填空:
-1
x≠0
-4或-2或0或2
任意实数
即时训练
B
1,0,-2　
考点2　分式的运算(5年4考)
即时训练
1
(1)该同学的做法从第　 　步开始出现错误,正确的计算结果是
　 ;
二
全国视野 拓思维
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