资源简介

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第18讲　相似三角形(5年9考)
知识梳理 夯基础
知识点一　比例线段
1.线段的比:两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
2.比例线段:四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称　 　.
知识梳理
比例线段
bc
5.平行线分线段成比例
(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段　 　;　
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段　 　.
成比例
成比例
针对训练
D
2.a,b,c,d是成比例线段,其中a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则线段d的长为
　 　.
4 cm
3.如图所示,直线l1∥l2∥l3,直线AB分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DE分
别交l1,l2,l3于点D,E,F.若AB=3,BC=5,DE=4,则EF=　 　.
4.已知线段AB=4,点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),则线段AP的长为
　 　.
知识点二　相似三角形的性质与判定
1.相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角　 　,对应边　 　;
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于
　 　;
(3)相似三角形周长的比等于　 　,面积的比等于相似比的　 　.
知识梳理
相等
成比例
相似比
相似比
平方
2.相似三角形的判定
判定1:三边　 　的两个三角形相似.
判定2:两边　 　且夹角　 　的两个三角形相似.
判定3:两角分别　 　的两个三角形相似.
判定4:平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与
　 　相似.
判定5:若两个直角三角形的斜边和一条　 　对应成比例,则这两个直角三角形相似.
成比例
成比例
相等
相等
原三角形
直角边
注意　
相似多边形的对应角相等,对应边成比例,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
5.已知△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′分别是它们的对应高,若AD=4,
A′D′=2,则AB与A′B′的长度比是　 　,△ABC与△A′B′C′的周长比是　 　,面积比是　 　.
6.如图所示,AD,BC相交于点O,下列条件:
针对训练
2∶1
2∶1
4∶1
①③④⑤
知识点三　位似图形
1.定义:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于　 　,对应边互相平行(或在同一条直线上),那么这样的两个图形叫做位似图
形,这个点叫做　 　,此时的相似比又叫位似比.
知识梳理
一点
位似中心
2.性质:(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比　 　相似比;
(2)位似图形的周长比等于　 　;面积比等于　 　;
(3)在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为　 　或　 　.
等于
相似比
相似比的平方
(kx,ky)
(-kx,-ky)
针对训练
1∶3
7.(2025广东)如图所示,把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似比是　 　.
8.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC与△A′B′C′位似,位似中心是原点O.已知BC∶B′C′=1∶2,则B(2,0)的对应点B′的坐标是( )
A.(3,0) B.(4,0)
C.(6,0) D.(8,0)
B
重难突破 提能力
考点1　平行线分线段成比例
典例1 如图所示,直线AD,BC相交于点O,AB∥EF∥CD,AO=2,OF=1,FD=2.
(2)若BO=1.5,则CE的长为　 　.
1.5
即时训练
1.(2023广东)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种0.618法应用了( )
A.黄金分割数 B.平均数 C.众数 D.中位数
2.如图所示,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F,若AB=3,BC=6,DF=6,则DE的长等于　 　.
A
2
考点2　相似三角形的性质与判定(5年9考)
典例2 (2024广州)如图所示,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
解题策略
相似三角形的判定思路:已知两个直角三角形,(1)找一对锐角相等;(2)找两边对应成比例.
即时训练
4.(2023广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图所示),则图中阴影部分的面积为　 　.
通过△ABF∽△ADE,△ACK∽△ADE,求出BF和CK的值,然后求梯形面积
15
5.(2025中山模拟)如图所示,在△ABC中,点D在边AB上,AD=4,BD=5,
AC=6,△ABC的角平分线AE交CD于点F.
(1)求证:AC2=AD·AB.
(1)证明:∵AD=4,BD=5,
∴AB=AD+BD=4+5=9.
∴AC2=62=36,AB·AD=9×4=36.
∴AC2=AD·AB.
(2)求证:△DAF∽△CAE.
(3)若AF=4,求AE的长度.
考点3　位似
B
A.(2,-3) B.(2,-3)或(-2,3)
C.(-2,3) D.(2,-3)或(-2,-3)
即时训练
6.如图所示,在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),
B(-4,0),O(0,0).
(1)以点O为位似中心,在y轴右侧将△ABO缩小为原来的一半得到△A′B′O,在图中画出△A′B′O.
①点B′的坐标为　 　,OB′的长为　 　;
②△A′B′O与△ABO的周长比为　 　,面积比为　 　;
(2,0)
2
1∶2
1∶4
解:(1)如图所示,△A′B′O即为所求.
(2)以点O为位似中心,将△ABO缩小为原来的一半,此时点B的对应点的坐标为　 　.
(-2,0)或(2,0)
7.(2025连云港节选)一块直角三角形木板,它的一条直角边BC长2 m,面积为1.5 m2.甲、乙两人分别按图(1)、图(2)用它设计一个正方形桌面,请说明哪个正方形面积较大.
全国视野 拓思维
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微专题六　相似三角形的常考模型(5年7考)
类型一　A字型
1.如图所示,无法保证△ADE与△ABC相似的条件是( )
B
3.如图所示,在△ABC中,D是边AB上一点.
(1)当∠ACD=∠B时,
①求证:△ABC∽△ACD;
②若AD=1,BD=3,求AC的长;
(1)①证明:∵∠A=∠A,∠B=∠ACD,∴△ABC∽△ACD.
类型解读
(1)A字型
如图(1)所示,已知DE∥BC.
(2)反A字型
如图(2)所示,已知∠AED=∠C.
(3)反A字型(共边共角)
图(3)
类型二　8字型
4.如图所示,在 ABCD中,E是AB的中点,EC与BD相交于点F,则EF与CF的比是( )
A.2∶1 B.1∶3 C.1∶2 D.3∶1
C
(1)△OEB∽△ODC;
(2)AE·AB=AD·AC.
类型解读
特征:有一组隐含的等角(即对顶角相等).
(1)X字型
如图(1)所示,已知AB∥CD.
(2)反X字型
如图(2)所示,已知∠A=∠D.
类型三　一线三等角型
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC=6,D是AC的中点,E是BC上一点,BE=2.5,
∠AED=∠B,则CE的长为　 　.
7.2
7.如图所示,已知∠B=∠C=90°,AE⊥DE,点E在BC上.
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(1)证明:在△ABE中,
∵∠B=90°,∴∠A+∠BEA=90°.
∵AE⊥DE,
∴∠DEC+∠BEA=90°.
∴∠DEC=∠A.
∵∠B=∠C=90°,
∴△ABE∽△ECD.
(2)若AB=4,BE=2,CE=6,求线段CD的长.
类型解读
特征:两个三角形的一条边在一条直线上,并且有一个顶点重合.
钝角三角形 锐角三角形 直角三角形 等边三角形 等腰三角形
(1)一线三垂直型
如图(1)所示,已知∠B=∠ACE=∠D=90°.
结论:①△ABC∽△CDE;②AB·DE=BC·CD;③当点C为BD的中点时,
△ABC∽△CDE∽△ACE.
(2)一线三等角型
如图(2)所示,已知∠B=∠ACE=∠D=α.
结论:①△ABC∽△CDE;②AB·DE=BC·CD;③当点C为BD的中点时,
△ABC∽△CDE∽△ACE.
类型四　“手拉手”模型
8.如图所示,已知∠DAB=∠EAC,∠ADE=∠ABC.求证:
(1)△ADE∽△ABC;
证明:(1)∵∠DAB=∠EAC,
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC.
∵∠ADE=∠ABC,∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC.
类型解读
“手拉手”模型——相似
条件:如图(1)所示,在△AOB中,CD∥AB,将△OCD旋转至如图(2)所示的位置,旋转角∠AOC=∠BOD,旋转角的对边AC,BD称为“拉手线”.
结论:如图(2)所示,△OCD∽△OAB △AOC∽△BOD,且延长AC交BD于点E,必有∠BEC=∠BOA.
难点:复杂图形中寻找“手拉手”模型.
突破口:①找旋转角;②找“拉手线”;③“手拉手”构造相似三角形.
类型五　十字型
9.如图所示,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,AF⊥EG.若 AB=5,AE=DG=1,求BF的长.
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=5,∠ABC=∠BAD=90°.
∵AE=DG=1,∴AG=4.
∵AF⊥EG,
∴∠BAF+∠AEG=90°=∠BAF+∠AFB.
∴∠AEG=∠AFB.
∴△GAE∽△ABF.
类型解读
如图所示,在矩形ABCD中,若BD⊥CE于点G,则△CDG∽△DBA∽△DEG∽
△BCG∽△BDC∽△CED.
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微专题五　与中点有关的解题方法(5年1考)
方法一　构造中位线
C
延长BC到点F,使CF=CA,连接AF
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是　 　.
1.2
3.如图所示,在△ABC中,D为AC的中点,过点D作DE⊥AC交CB的延长线于点E,交AB于点F,若BF=3,F是DE的中点,则AF的长是　 　.
9
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=6,点D是BC的中点,点E在AB上,
∠BED=30°,则DE的长是　 　.
6
方法二　构造中线
5.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,点P是BD的中点,若CP=4,则AD的长为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
B
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,E为BC的中点,AD⊥BD于点D,∠BAD=20°.若BC=2BD,则∠BAC的度数为　 　.
40°
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,AB=8,D为AB边的中点,E为BC延长线上一点,连接DE,若∠B=2∠E,则CE的长为　 　.
4
方法三　构造倍长中线
情形1倍长中线 情形2倍长类中线
已知条件 在△ABC中,AD为BC边上的中线 已知条件 在△ABC中,D为BC的中点,
E为AB上一点,连接DE
图形 图形
辅助线 作法一:延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE; 作法二:过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E 辅助线 作法一:延长ED到点F,使得DF=ED,连接CF;
作法二:过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F
结论 △ACD≌△EBD 结论 △BDE≌△CDF
8.如图所示,在△ABC中,点D是边BC的中点,且AB=6,AD=5,AC=8,则△ABC的面积为( )
A.48 B.30
C.24 D.15
C
9.如图所示,已知AB=12,AD=5,BC=10,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,若E是
CD的中点,则AE的长是　 　.
延长AE交BC于点F
延长ED至点G,使DG=ED,连接FG,CG
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第16讲　全等三角形 (5年5考)
知识梳理 夯基础
知识点一　全等三角形及其性质
1.概念:能够完全　 　的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边　 　,对应角　 　;
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)　 　、周长　 　、面积　 　.
知识梳理
重合
相等
相等
相等
相等
相等
1.如图所示,将△ABC向右平移得到△DEF,则
(1)△ABC≌　 　;
(2)若∠B=60°,∠C=80°,则∠D=　 　;
(3)若△DEF的周长是20,DE=8,BC=5,则AC=　 　;
(4)若△ABC的面积是15,EF边上的高是6,则BC=　 　.
针对训练
△DEF
40°
7
5
知识点二　全等三角形的判定
知识梳理
已知相等条件 图形 是否全等 判定依据
三边 是 　 　
两 角 一 边 两角 夹边 是 ASA
两角 对边 是 　 　
SSS
AAS
HL
两 边 一 角 两边 夹角 是 SAS
两边 对角 直角三角形 是 　 　
斜三角形 不一定 无
三角 不一定 无
重点必记　
证明两个三角形全等时,对应字母要写在对应位置上.
2.开放性题 如图所示,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AB∥DE,有下列条件:①AC=DF;②∠A=∠D;③BE=CF;④AC∥DF.请从中选择一个条件,使△ABC≌△DEF,并说明理由.
针对训练
解:∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF.
(任选一个即可)选②.
∵AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠DEF,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
选③.
∵BE=CF,∴BC=EF.
又AB=DE,∠B=∠DEF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
选④.
∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠F.
又AB=DE,∠B=∠DEF,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
重难突破 提能力
考点　全等三角形的判定和性质(5年5考)
典例 (2025广州)如图所示,BA=BE,∠1=∠2,BC=BD.求证:△ABC≌△EBD.
即时训练
1.(2022广东T18,8分)如图所示,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,
PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.
2.(2025广州模拟)如图所示,在△ABC中,D为BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD.求证:AC∥BE.
归纳总结
题干中有“中点”想“等边”;有“角平分线”想“公共边”或“等角”(出现“轴对称”想“公共边”或“等角”);有“平行线”想“等角”(同位角或内错角);有“⊥”(或“直角三角形”或“互余”)想“90°”.
3.如图所示,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AF=
DE,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.试猜想筝形的对角线AC与BD有什么位置关系 并证明你的猜想.
全国视野 拓思维
5.(2025河南)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点,连接DE,则DE的长为( )
B
6.如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为( )
C
等腰直角三角形+斜边的中点,考虑连接AD,构造等腰三角形“三线合一”的基本图形
不规则图形,可通过等量代换转化成规则图形
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微专题七　解直角三角形实际应用常考模型(5年3考)
模型一　背靠背型
1.如图所示,某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动,此时无人机在高出地面30 m的点D处,操控者(身高不计)站在点A处,无人机测得点A的俯角为30°,测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°,操控者和教学楼BC的距离为60 m,则教学楼BC的高度是　 　.
2.某班同学在一次综合实践课上,测量校园内一棵树的高度.如图所示,测角仪在A处测得树顶D的仰角为45°,在C处测得树顶D的仰角为37°(点A,B,C在同一条水平线上),已知测角仪高度AE=CF=1.6 m,AC=28 m,求树BD的高度(结果保留小数点后一位.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈
0.80,tan 37°≈0.75).
解:如图所示,连接EF,交BD于点M,则EF⊥BD,
AE=BM=CF=1.6 m.
在Rt△DEM中,
∠DEM=45°,
∴EM=DM.
设DM=x m,则EM=AB=x m,
FM=BC=AC-AB=(28-x) m.
解得x≈12.经检验,x=12是原方程的根,
即DM≈12 m.
∴DB≈12+1.6=13.6(m).
因此,树BD的高度约为13.6 m.
模型解读
背靠背型指图中有两个有一条公共边的直角三角形,其中一个直角三角形在另一个直角三角形的外部,或通过作高线,构造出这样的两个直角三角形,常利用公共边建立两个直角三角形的联系,运用锐角三角函数关系进行求解.
模型展示
解题思路:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,构造Rt△ABD和Rt△ACD.
模型展示
解题思路:如图所示,过点A作AE⊥BC于点E,构造Rt△ABE,Rt△ACE和矩形ADCE.
模型展示
解题思路:如图所示,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,构造Rt△ABE,Rt△CDF和矩形AEFD.
模型二　母子型
49
模型解读
母子型指图中有两个有一条公共边的直角三角形,其中一个直角三角形在另一个直角三角形的内部,或通过作高线,构造出这样的两个直角三角形,常利用公共边建立两个直角三角形的联系,运用锐角三角函数关系进行求解,题目中直角三角形与矩形结合时注意矩形的对边相等
模型展示
解题思路:如图所示,过点B作BC⊥AD交AD的延长线于点C,构造Rt△ABC和Rt△BCD.
解题拓展
如图(1)所示,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC.
如图(2)所示,AE=CF,AC=EF,BC+AE=BF.
如图(3)所示,EC-BE=BC.
模型三　拥抱型
6.某数学小组为了测量某主楼的高度,进行了如下操作:如图所示,用一架无人机在楼基A处起飞,沿直线飞行120 m至点B,在此处测得楼基A的俯角为60°,再将无人机沿水平方向向右飞行30 m至点C,在此处测得楼顶D的俯角为30°.
(1)填空:∠EBA=　 　°,∠ECD=　 °.
60
30
模型解读
拥抱型指图中有两个有一条公共边或有一个公共顶点的直角三角形,常在两个直角三角形中利用锐角三角函数分别求解得到线段长,再利用线段和差关系进行求解.
模型展示
解题思路:如图所示,直接利用锐角三角函数求边的长度解决问题.
模型展示
解题思路:如图所示,过点C作CF⊥AB于点F,作CG⊥DE于点G,构造Rt△AFC,
Rt△CDG和矩形FBEG.
模型展示
解题思路:如图所示,过点A作AG⊥DE于点G,构造Rt△ADG和矩形ABEG.
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第四章　三角形
第14讲　线、角、相交线与平行线 (5年6考)
知识梳理 夯基础
知识点一　直线、射线、线段
知识梳理
直线的基本事实 两点确定　 　直线
线段的基本事实 两点之间,　 　最短
两点间的距离 连接两点间的线段的　 　,叫做这两点的距离
一条
线段
长度
线段的和差 如图所示,在线段AC上取一点B,则有AB+BC=AC,AB=AC-BC,
BC=AC-AB
线段的中点 如图所示,点M把线段AB分成相等的两条线段,则有AM=
　 　=　 　AB.类似地,还有线段的三等分点、四等分点等
BM
重点必记　
点、线、面、体之间的关系为点动成线、线动成面、面动成体.
1.用数学知识解释下列生活、生产现象.
(1)固定窗帘架只需固定其中的两点:　 　.
(2)把一条弯曲的公路改成直道,可以缩短路程:　 　.
两点确定一条直线
两点之间,线段最短
针对训练
2.A,B,C三点在同一直线上,线段AB=4 cm,BC=6 cm,那么线段AC的长为
( )
A.2 cm
B.10 cm
C.2 cm或10 cm
D.以上答案都不对
C
3.如图所示,C为线段AB上一点,D为线段BC的中点,AB=20,AD=14,则AC的长为　 　.
8
知识点二　角及角平分线
1.角度的换算
1周角=　 　,1平角=　 　,1°=　 　,1′=　 　.
2.余角
(1)定义:如果两个角的和等于　 　,那么这两个角互余;
(2)性质:同角(或等角)的余角　 　.
知识梳理
360°
180°
60′
60″
90°
相等
3.补角
(1)定义:如果两个角的和等于　 　,那么这两个角互补;
(2)性质:同角(或等角)的补角　 　.
180°
相等
4.角的平分线
定义 从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线
性质 角的平分线上的点到角两边的距离　
判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在
　 　上
相等
角的平分线
4.如图所示,点O在直线BD上,OC⊥OA,OE⊥BD,∠1=28°.
(1)∠1=　 　′=　 　″;
(2)∠1的余角是　 　,∠2的余角是　 　;∠BOC的补角是
　 　;
(3)∠1　 　∠2,理由是　 　.
1 680
针对训练
100 800
∠BOC
∠BOC
∠COD,∠AOE
=
同角的余角相等
5.如图所示,∠AOB=70°,点P是射线OC上一点.
(1)若OC平分∠AOB,则∠AOC=　 　;
(2)PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,若OC平分∠AOB,PD=2,则PE=　 　;
(3)PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,若PD=PE,则OC　 ∠AOB.
35°
2
平分
知识点三　相交线与平行线
1.相交线
知识梳理
相等
对顶角 特征 有公共顶点,角的两边互为反向延长线
性质 对顶角　
邻补角 有公共顶点,有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角
垂线段
垂线 性质1 在同一平面内,过一点有且只有　 　条直线与已知直线垂直
性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,
　 　最短
点到直线 的距离 直线外一点到这条直线的　 　的长度
一
垂线段
三线八角 同位角:∠1和∠5,∠4和∠8,∠2和∠6,∠3和∠7;
内错角:∠3和∠5,∠4和∠6;
同旁内角:∠3和∠6,∠4和∠5
2.线段的垂直平分线
定义 经过线段　 　点并且垂直于这条线段的直线
性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　
判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的　 　上
相等
垂直平分线
中
3.平行线的性质与判定
(1)经过直线外一点,　 　一条直线与这条直线平行.
(2)如果b∥a,c∥a,那么　 　.
有且只有
b∥c
(3)性质与判定
平行
平行
平行
6.如图所示,直线a,b相交于点O,如果∠1+∠2=60°,那么∠1是
　 　°.
针对训练
30
7.如图所示,在直线l外一点P与直线l上各点的连线中,PA=6,PO=5,PB=
5.5,OC=4,则点P到直线l的距离为( )
A.3 B.4
C.5 D.5.5
C
8.如图所示,DE是△ABC边AC的垂直平分线,若BC=9,AD=4,则BD=　 　.
5
9.(2025佛山模拟)如图所示,若a∥b,则∠1等于　 　°.
144
10.点P是任意一点,过点P画一条直线与BC平行,则这样的直线( )
A.有且只有一条
B.有两条
C.不存在
D.有一条或不存在
A
11.如图所示,直线a,b被直线c,d所截,则下列条件不能判定直线c∥d的是( )
A.∠1=∠2
B.∠3=∠4
C.∠1+∠5=180°
D.∠2=∠4
A
知识点四　命题与定理
1.命题
判断一件事情的语句叫做命题,它包括题设和结论两部分,正确的命题叫
　 　命题,错误的命题叫　 　命题.
2.互逆命题
两个命题中,第一个命题的题设是第二个命题的结论,第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫互逆命题.
真
知识梳理
假
3.判断真命题需要推理证明,判断假命题只需举出一个　 　.
4.反证法
从命题结论的反面出发,引出与已知条件、定义、公理、定理相矛盾的结果,从而证明命题成立.
反例
12.下列命题:①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③同位角相等;④两直线平行,同旁内角互补.
(1)其中真命题是　 　(填序号);
(2)命题①的题设是　 　,结论是　 　;
(3)命题①和②互为　 　;
(4)写出命题③的逆命题,如果　 　 ,那么　 　,此逆命题是　 　命题.
①④
针对训练
两个角是对顶角
这两个角相等
逆命题
两个角相等
这两个角是同位角
假
重难突破 提能力
考点1　利用相交线、平行线求角度(5年4考)
典例1 (2024广东) 如图所示,一把直尺、两个含30°角的三角尺拼接在一起,则∠ACE的度数为( )
A.120° B.90°
C.60° D.30°
C
即时训练
1.(2023广东)如图所示,街道AB与CD平行,拐角∠ABC=137°,则拐角∠BCD等于( )
A.43° B.53° C.107° D.137°
D
2.(2025深圳)如图所示为小颖在试鞋镜前的光路图,入射光线AO经平面镜后反射入眼,若CB∥OA,∠CBO=122°,∠BON=90°,则入射角∠AON的度数为( )
A.22° B.32° C.35° D.122°
B
3.如图所示,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为( )
A.29° B.32° C.45° D.58°
B
4.(2025广州)如图所示,直线AB,CD相交于点O,若∠1=36°,则∠2的度数为　 　°.
144
考点2　角的平分线和线段的垂直平分线(5年2考)
典例2 如图所示,在△ABC中,∠A=90°,BC的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接CD.
(1)若∠B=30°,则∠ACD=　 　;
(2)若CD平分∠ACB,AB=3,则AD=　 　.
30°
1
由线段的垂直平分线的性质可得BD=CD
由角平分线的性质可得AD=DE
即时训练
5.(2025连云港)如图所示,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AB边的垂直平分线交AC于点D,
△BDC的周长是16,则AB的长是　 　.
10
7.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥BC于点E,若AB=5,BC=7,S△ABC=12,则DE的长为　 　.
2
由BD平分∠ABC可知△ABD的边AB上的高等于△BDC的边BC上的高,利用三角形的面积公式列方程求解
全国视野 拓思维
8.跨物理学科 (2025扬州)如图所示,平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后,折射光线BE,DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°,
∠CDF=150°,则∠EGF的度数是( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
C
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第17讲　等腰三角形、等边三角形、直角三角形(5年13考)
知识梳理 夯基础
知识点一　等腰三角形
1.等腰三角形
知识梳理
定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的边叫做　 　,另一边叫做　 　
性质 等腰三角形的两个底角　 　(简写成“等边对　 　”)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互
　 　(简写成“三线合一”)
等腰三角形是轴对称图形,顶角的平分线所在的直线是　
腰
底
相等
等角
重合
对称轴
2.等边三角形
定义 三条边都相等的三角形是等边三角形
性质 等边三角形的三条边都　
三个内角都相等,并且每个角都等于　 　
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴
等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合
相等
60°
60°
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=6.
(1)若∠BAC=50°,则∠B=　 　°;
(2)若AD平分∠BAC,则∠ADC=　 　°,BD=　 　;
(3)若∠C=60°,则△ABC是　 　三角形,△ABC的周长为　 　,面积为　 　.
针对训练
65
90
3
等边
18
2.串题练透考点 如图所示,△ABC是等边三角形,AD⊥BC于点D.延长AB到点E,连接DE,AC=4.
(1)∠CAD的度数为　 　;
(2)若BD=BE.
①AE的长为　 　;
②∠ADE的度数为　 　;
(3)若F是AC的中点,连接DF,则△AFD是　 　三角形,△CFD是　 　三角形;
(4)△ABC的面积是　 　.
30°
6
120°
等腰
等边
知识点二　直角三角形
知识梳理
定义 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
性质 直角三角形的两锐角　
两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即　 　
30°角所对的直角边等于斜边的　
斜边上的中线等于斜边的　
互余
a2+b2=c2
一半
一半
90°
互余
a2+b2=c2
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.
(1)∠B=　 　,AB=　 　cm,AC=　 　cm;
(2)若点D是AB的中点,则CD=　 　cm;
(3)若CE⊥AB,则CE=　 　cm,BE=　 　cm.
针对训练
60°
4
2
1
4.下列选项中,不能使△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶3
A
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A+∠B=∠C
重难突破 提能力
考点1　等腰三角形(5年5考)
典例1 [北师大八下P5习题T6变式] 如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,BD=CE,连接AD,AE.求证:AD=AE.
证明:法一　∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵BD=CE,∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE.
法二　过点A作AM⊥BC,交BC于点M(图略),
∵AB=AC,AM⊥BC,∴BM=CM.
∵BD=CE,∴BM-BD=CM-CE,即DM=EM.
又AM⊥BC,
∴AD=AE(线段垂直平分线的性质).
即时训练
1.(2025深圳模拟)如图所示为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图,已知∠ABO=60°,OC=OD,AB∥CD,则∠BOD的大小为( )
A.150° B.140° C.130° D.120°
D
2.(2025清远模拟)如图(1)所示,将边长为4的等边三角形ABC沿其BC边上的高AD剪开,再把△ADC向左平移得到△A′D′C,当D′是BD的中点时,如图(2)所示,两个三角形重叠部分面积为　 　.
由等边三角形的性质和平移的性质,求出△EBC的边长及面积,重叠部分面积=S△EBC-S△MBD′-S△NDC
3.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点,且AD=CE.
(1)求证:CD=BE;
(2)若BE,CD相交于点Q,求证:∠BQD=60°.
证明:(2)由(1),得△ACD≌△CBE.∴∠ACD=∠CBE.
∴∠BQD=∠CBE+∠BCD=∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°.
考点2　直角三角形(5年8考)
(1)求AB的长;
(2)求△ABD的面积.
即时训练
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD⊥AB,AB=6,则AD=
　 　.
4.5
1
6.(2024广州一模)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠ADC=60°,
∠B=30°,若CD=3 cm,则BD=　 　cm.
6
7.(2021广东T20,6分)如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,作BC的垂直平分线交AC于点D,延长AC至点E,使CE=AB.
(1)若AE=1,求△ABD的周长;
规范解答　
解:(1)如图所示,连接BD.设BC垂直平分线交BC于点F,……1分
∵DF为BC的垂直平分线,
∴BD=CD,C△ABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC.………………2分
∴AB=CE.
∴C△ABD=AC+CE=AE=1.…………………………………………3分
规范解答　
8.数学活动课上,同学们以“黄金三角形”为主题展开探究活动.
全国视野 拓思维
【动手操作】 老师展示了一张邮票,同学们发现邮票中五角星的五个角都是36°,并制作了相同五角星如图(1)所示,∠A的度数为36°,且AD=AB=1,于是猜测△ABD是黄金三角形.
【解决问题】(1)∠CBD=　 　°;
36
(2)求证:△ABD是黄金三角形;
(3)如图(2)所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=18°,BC=1,求AB的长.
(3)解:如图所示,在△ABC内部作∠ACD=∠A,
∴∠BDC=∠ACD+∠A=36°,CD=AD.
∵∠ACB=90°,∠A=18°,∴∠B=90°-18°=72°.
∴∠BCD=180°-72°-36°=72°=∠B.
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微专题四　全等三角形的常考模型 (5年5考)
类型一　平移模型
模型特征 沿一直线平移可得两个三角形重合
模型展示
解题思路 ①加(减)重合部分,得某一对应边相等;②利用平行线性质找对应角相等
1.如图所示,点C是线段AB的中点,∠B=∠ACD,AD∥CE.求证:
△ACD≌△CBE.
证明:∵点C是AB的中点,∴AC=CB.
∵AD∥CE,∴∠A=∠BCE.
在△ACD和△CBE中,∠A=∠BCE,
AC=CB,∠ACD=∠B,
∴△ACD≌△CBE(ASA).
2.如图所示,已知点E,C在线段BF上,AB=DE,BE=CF,∠B=∠DEF,求证:
AC∥DF.
证明:∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC与△DEF中,AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴∠ACB=∠DFE.∴AC∥DF.
类型二　翻折模型
模型特征 所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合
模型展示
解题思路 ①找公共角、垂直、对顶角等条件得对应角相等;②找公共边、中点、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
3.如图所示,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F.
(1)∠EDB与∠FDB相等吗 请说明理由.
解:(1)∠EDB与∠FDB相等.理由如下:
∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠BED=∠BFD=90°.
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠EBD=∠FBD.
在△BDE和△BDF中,∠DBE=∠DBF,∠BED=∠BFD,BD=BD,
∴△BDE≌△BDF(AAS).∴∠EDB=∠FDB.
(2)若△ABC的面积为70,AB=16,DE=5,求BC的长.
类型三　旋转模型
模型特征 沿一顶点旋转(或旋转后再平移)可得到两个三角形重合
模型展示
解题思路 ①共顶点:加(减)共顶点的角的公共角部分得一组对应角相等;②不共顶点:加(减)公共线段得一组对应边相等;③利用平行线的性质找对应角相等
4.如图所示,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于点F,若∠1=∠2,
∠E=∠C,AE=AC,求证:△ABC≌△ADE.
证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE,AC=AE,∠C=∠E,
∴△ABC≌△ADE(ASA).
5.如图所示,点B,F,C,E在一条直线上,AC=DF,AC∥FD,∠A=∠D.
(1)求证:△ABC ≌△DEF.
(1)证明:∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.
在△ABC与△DEF中,∠ACB=∠DFE,AC=DF,∠A=∠D,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)若BE=10,FC=4,求CE的长度.
(2)解:由(1),知△ABC≌△DEF,
∴BC=EF.∴BF+FC=FC+CE.
∴BF=CE.
∴BE=FC+2CE,
即10=4+2CE.∴CE=3.
类型四　一线三等角模型
模型特征 一线上有三个角相等
模型展示
解题思路 由外角的性质可得一组角相等,再结合一角和一边相等证全等
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=
∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.求证:DE=BD+CE.
证明:∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,
∴∠BAD+∠CAE=180°-α,∠DBA+∠BAD=180°-α.
∴∠DBA=∠CAE.
在△ABD和△CAE中,∠BDA=∠AEC,∠ABD=∠CAE,AB=CA,
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴BD=AE,CE=DA.
∴DE=AE+DA=BD+CE.
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第19讲　锐角三角函数(5年10考)
知识梳理 夯基础
知识点一　锐角三角函数
1.锐角三角函数的概念
知识梳理
2.特殊角的三角函数值
1
针对训练
1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,则
sin A=　 　;sin B=　 　;

cos A=　 　;cos B=　 　.
2.计算:
(1)cos 45°+sin 60°=　　 ;
(2)tan 60°+cos 30°=　 　;
(3)tan 30°sin 60°=　 　.
等边
知识点二　解直角三角形
1.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
2.直角三角形中的边角关系(如图所示)
(1)三边之间的关系:a2+b2=　 　.
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=　 　.
知识梳理
c2
90°
3.解直角三角形的一般方法
针对训练
A
C
5.[人教九下P77习题T1改编]在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,由下列条件解直角三角形:
知识点三　解直角三角形的应用
知识梳理
仰角、 俯角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫做　 　,视线在水平线下方的角叫做　 　
仰角
俯角
坡度、 坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比),用字母i表示; 坡面与水平线的夹角α叫坡角. i=tan α=　　
方向角 指北或指南的方向与目标方向所成的小于90°的角.图中OA的方向角为北偏东50°,OC的方向角为南偏西15°
针对训练
13.8
8.如图所示,一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10 km到B处,再从B处向正西方向行驶30 km到C处,此时这艘船与A处的距离是　 　km.
重难突破 提能力
考点1　锐角三角函数及其应用(5年7考)
典例1 (2025广东)如图所示,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点,连接DE,AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是( )
过点G作GM⊥BC于点M,根据矩形的性质及已知条件得出△ABF和△GEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形性质和正切函数的定义即可得出tan∠GCF的值
B
即时训练
1.(2025深圳)如图所示为人行天桥的示意图,若高BC长为10 m,斜道AC长为30 m,则sin A的值为( )
D
10
过点D作DH⊥AB,假设AC=12k,AD=13k根据三角函数和角平分线的性质得出DH=CD=5k,再利用面积法求解
3.如图所示,在△ABC中,AB=2,∠B=60°,∠C=45°,求BC和AC的长.
考点2　解直角三角形的实际应用(5年3考)
典例2 (2023广东T18,7分) 2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站.如图所示的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC=BC=10 m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离(结果精确到0.1 m.参考数据:
sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192).
规范解答　
解:如图所示,连接AB,过点C作AB垂线交于点D,…………1分
∵AC=BC=10 m,
∴△ABC为等腰三角形.……………………………………2分
∵CD⊥AB,
∴AD=AC·sin∠ACD=10×sin 50°.……………………5分
∴AB=2AD=2×10×sin 50°=15.32≈15.3(m).………6分
答:A,B两点间的距离约为15.3 m.………………………7分
即时训练
4.(2024广东T18,7分)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图所示是矩形PQMN充电站的平面示意图,矩形ABCD是其中一个停车位.经测量,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,CE=1.6 m,GH⊥CD,GH是另一个车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.
(1)求PQ的长;
规范解答　
解:(1)由题意,得AB=5.4 m,∠ABQ=60°.
∵四边形PQMN为矩形,∴∠Q=90°.
∵四边形ABCD为矩形,CE=1.6 m,
∴∠ABC=∠DCB=∠BCE=90°.
∴∠CBE=180°-90°-60°=30°.
(2)该充电站有20个停车位,求PN的长.
规范解答　
5.(2024广州)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图所示,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17 m,BD=10 m.
(1)求CD的长;
解:(1)如图所示,由题意,得AC⊥CD,BE∥CD,
∴∠EBD=∠BDC=36.87°.
在Rt△BCD中,BD=10 m,
∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8(m).∴CD的长约为8 m.
(2)若模拟装置从A点以每秒2 m的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.(参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈
0.80,tan 36.87°≈0.75)
(1)若点G到AD的垂直距离为75.0 cm,∠DCG=60°,求他的腿的长度;
7.几何直观 将如图(1)所示的七巧板,拼成如图(2)所示的四边形ABCD,连
接AC,则tan∠CAB=　　 .
全国视野 拓思维
观察七巧板拼图,可知四边形ABCD是平行四边形,由平行四边形对角线互相平分及正切函数的定义获解
谢谢观赏！(共33张PPT)
第15讲　三角形的有关概念和性质 (5年4考)
知识梳理 夯基础
知识点一　三角形的分类
知识梳理
直角
等边
1.已知△ABC.
(1)若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则△ABC按角分是　 　三角形;
(2)△ABC的周长是14,三边之比是3∶3∶1,则△ABC按边分是　 　三角形.
针对训练
直角
等腰
知识点二　三角形的有关性质
1.三角形的三边关系定理
三角形的两边之和　 　第三边,三角形的两边之差　 　第三边.
温馨提示　
只需要判断两条较短线段的长度之和是否大于最长线段,即可判断三条线段能否构成一个三角形.
知识梳理
大于
小于
2.三角形具有稳定性.
3.与三角形的角有关的定理
(1)内角和定理:三角形三个内角的和等于　 　;
(2)外角和等于　 　;
(3)内外角关系:三角形的一个外角等于与它　 　的两个内角的和,并且大于其中任何一个与它　 　的内角.
180°
360°
不相邻
不相邻
2.(1)下列长度的三条线段能组成三角形的有　 　(填序号);
①3,4,8;②5,6,11;③5,6,10.
(2)一个三角形最多有　 　个直角、　 　个钝角;直角三角形的外角　 　(选填“可能”或“不可能”)是锐角.
③
针对训练
1
1
不可能
3.如图所示,点D是△ABC的边AC上一点,点O是BD上一点,连接CO.
(1)若∠1=25°,∠2=20°,∠BOC=　 　°;
(2)若∠4=25°,∠A=60°,则∠3=　 　°;
(3)∠BOC　 　∠3　 　∠A(选填“>”“<”或“=”).
135
85
>
>
知识点三　三角形中的重要线段
知识梳理
4.如图所示,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是( )
A.BA=2BF
针对训练
C
C.AE=BE
D.CD⊥AB
5.如图所示,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE等于( )
D
知识点四　多边形
知识梳理
多边形 的定义 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做
多边形
多边形 的性质 内角和 n边形内角和为　 　
外角和 任意多边形的外角和为　 　
对角线 从n边形的一个顶点出发可以画　 　条对角线,一
共可以画　 　条对角线
(n-2)×180°
360°
(n-3)
正多 边形 定义 各边　 　,各角　 　的多边形叫做正多边形
性质 正n边形的每一个内角的度数都是　 　,每一个外角的度数都是　　
正n边形是轴对称图形,有n条对称轴;正偶数边形又是中心对称图形
相等
相等
6.(2025云南)一个六边形的内角和等于( )
A.360° B.540°
C.720° D.900°
7.从n边形的一个顶点出发作对角线,可以把这个n边形分成9个三角形,则n等于( )
A.9 B.10 C.11 D.12
C
针对训练
C
8.如图所示,已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°,那么∠5的度数为( )
A.70° B.80°
C.90° D.100°
B
9.(2025长沙)如图所示,在五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=110°,
∠D=105°,则∠A+∠E=　 　.
205°
重难突破 提能力
考点1　三角形的三边关系(5年1考)
典例1 (1)一个等腰三角形的两边的边长分别是2 cm和5 cm,则第三条边的边长是　 　;
(2)已知一个等腰三角形的两边长分别为5 cm,7 cm,则第三条边的边长是
　 　,该三角形的周长是　 　.
5 cm
5 cm或7 cm
17 cm或19 cm
解题策略
当等腰三角形的腰长与底边长不确定时,需要分类讨论.注意要用三边关系来判断能否构成三角形,进而再去求周长等.
即时训练
1.(2022广东)下列图形中有稳定性的是( )
A.三角形 B.平行四边形 C.长方形 D.正方形
2.如图所示是折叠凳的侧面示意图,若AC=BC=18 cm,则折叠凳的宽AB可能为( )
A.70 cm B.55 cm
C.40 cm D.25 cm
A
D
7
3.已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c=
　 　.
考点2　三角形中的角度计算
典例2 如图所示为商场某品牌椅子的侧面示意图,∠DEF=120°,DE与地面AB平行,∠ABD=50°,则∠ACB等于( )
A.70° B.65° C.60° D.50°
A
即时训练
4.(2025东莞模拟)利用课后服务时间,同学们在操场上进行实地测量.如图所示,在A处测得建筑物C在南偏西60°的方向上,在B处测得建筑物C在南偏西20°的方向上.在建筑物C处测得A,B两处的视角∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.60° D.80°
B
5.(2025中山模拟)将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内,其中∠C=∠DBE=90°,∠A=45°,∠E=30°.若AB∥DE,则∠CBD的度数为
( )
A.10° B.15° C.20° D.25°
B
6.(2025珠海模拟)如图所示,直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上,
∠C=90°,若∠1=20°,∠2=70°,则∠B=　 　.
40°
考点3　三角形中的重要线段(5年3考)
典例3 (2025广东)如图所示,点D,E,F分别是△ABC各边上的中点,∠A=
70°,则∠EDF等于( )
A.20° B.40°
C.70° D.110°
C
7.(2025佛山模拟)如图所示,BD是△ABC的中线,E,F分别是BD,BC的中
点,连接EF.若AD=4,则EF的长为( )
B
8.(2025深圳模拟)如图所示,在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的中点,且AB=6 cm,AC=8 cm,则四边形ADEF的周长等于　 　cm.
14
9.如图所示是一块面积为10的三角形纸板,点D,E,F分别是线段AF,BD,
CE的中点,则阴影部分的面积为　 　.
考点4　多边形
典例4 如图所示,八边形ABCDEFGH中,HA,ED的延长线交于点O,若∠1,
∠2,∠3,∠4的外角和等于200°,则∠AOD的度数为( )
A.20° B.25°
C.30° D.35°
A
即时训练
10.(2025广州模拟)如图所示,过正五边形ABCDE的顶点A作射线AF,若AF∥CD,则∠FAE的度数为( )
A.36° B.45°
C.54° D.72°
A
过点E作EG∥AF,根据多边形的内角和,求出∠AED,∠CDE的度数,再根据平行线的性质求出∠FAE的度数
全国视野 拓思维
11.如图所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,AE是它的中线,AB=5,AC=3,
BC=7,则ED的长为( )
C
由“角平分线上的点到角两边的距离相等”,结合面积的不同表示方法得到BD与CD的比值,进而求得ED的长
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