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第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
第1课时 二次根式的概念
教学设计
课题 19.1第1课时 二次根式的概念 授课人
教学目标 1.理解二次根式的概念，能够识别二次根式. 2.掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中被开方数的取值范围. 3.经历从平方根到二次根式的抽象过程，体会从具体到抽象的数学思想.
教学重点 二次根式的概念及二次根式有意义的条件.
教学难点 熟练求较复杂二次根式有意义的条件.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 问题1 什么叫作平方根？ 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 ＝a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根． 问题2 什么叫作算术平方根？ 正数 a 有两个平方根，其中正的平方根叫作 a 的算术平方根．正数 a 的算术平方根记为． 通过回顾旧知为学习新知作好准备.
探究新知 1.二次根式的定义 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为 m． （2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 ． (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时离地面的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 ． 你发现这些结果有哪些共同特征？ ， ，，它们表示一些正数的算术平方根． 我们知道，一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0． 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号．二次根式也是代数式. 1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； 2．“”中一般把根指数 2 省略，写成“”． （链接例1） 2.二次根式有意义的条件 只有在满足条件 a≥0 时才叫二次根式．即 a≥0 是 为二次根式的前提条件． 1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即： 有意义 a≥0． 2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即： 无意义 a＜0． （链接例2、针对练习） 求使式子有意义的字母取值范围： 　　（1）二次根式型： 被开方数≥0 　　（2）分式型： 分母≠0 　　（3）零指数幂型：a0＝1 底数≠0 3.求二次根式的值 （链接例3） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解二次根式的定义及其特征.通过观察和讨论，帮助学生发现二次根式的性质，并掌握其应用.
典例精析 【例1】 指出下列哪些是二次根式. （1）； √ （2）； （3）； （4）； √ （5）（a≥2）； √ （6）（a＜b）． 【方法总结】二次根式 必须含有二次根号“”； 被开方数 a≥0 ； 被开方数 a 可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式子． 【例2（教材P2例题）】 当 x 满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 【解】由 x－2≥0， 得 x≥2． 所以当 x≥2 时，在实数范围内有意义． 思考 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x≥0. 【针对练习】当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 【解】（1）由 a－1≥0， 得 a≥1． 所以当 a≥1 时，在实数范围内有意义． （2）由≥0 且 3－a≠0 ，得 a＜3． 所以当 a＜3 时，在实数范围内有意义． （3）因为不论 a 为何值，≥0 恒成立， 所以 a 取任意实数，在实数范围内都有意义． （4）由 x－4≥0，得 x≥4． 由 x－6≠0，得 x≠6． 当 x≥4 且 x≠6 时，在实数范围内有意义． 【例3】 （1）当时，二次根式的值为 ； （2）当时，二次根式的值是 ． 【解】（1）当时， ． （2）当时，． 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1．下列各式：，，，（a＞0），其中是二次根式的有（　B　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如果是二次根式，则 x 的取值范围是（　D　） A．x≠－5 B．x≥－5 C．x＜－5 D．x＞－5 3.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【解】（1）由 a－7≥0，得 a≥7． 当 a≥7 时，在实数范围内有意义． （2）由 2a＋3≥0，得 a≥． 当 a≥时，在实数范围内有意义． （3）由 －a≥0，得 a≤0． 当 a≤0 时，在实数范围内有意义． （4）由 5－a≥0，得 a≤5． 当 a≤5 时，在实数范围内有意义． 4.要画一个面积为18 cm^2 的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？ 【解】设长为3x cm，宽为2x cm， ∴3x﹒2x=18， ∴6x =18, 解得x=. ∴3x=3,2x=2. 答：长为3cm，宽为2 cm． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 小结： 1．二次根式的定义 2．二次根式有意义的条件 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 19.1第1课时 二次根式的概念 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号．二次根式也是代数式. 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的实际应用
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