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第十九章 二次根式
19.1 二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
教学设计
课题 19.1第2课时 二次根式的性质 授课人
教学目标 1.理解二次根式的非负性，正确区分(a≥0)和(a≥0)，能运用二次根式的性质计算和化简. 2.通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力.
教学重点 掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算.
教学难点 二次根式基本性质的应用.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 上一课时我们学习了二次根式及其相关知识，你还记得二次根式的概念吗？被开方数需要满足什么条件？ 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号． 被开方数大于或等于零. 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 1.≥0（a≥0） 思考：二次根式 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么 的取值范围是什么？ 当 a＞0 的时候， 表示 a 的算术平方根，则 ＞0； 当 a＝0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 ＝0. 当 a≥0 时， 是非负数，即 ≥0. （链接例1、针对练习） 2.（） =a（a≥0） 利用下图，你能推测 和 a 有什么关系吗？ 能得到 根据算术平方根的意义填空，并说出得到的结论及依据． （1）2＝ 3 ； （2）2＝ 0.5 ； （3）＝ ； （4）2＝ 0 ． 一般地，二次根式有下面的性质： （）2＝a（a≥0）. 因为 （a≥0）表示 a 的算术平方根， 所以将 a 的算术平方根平方，得（）2＝a. （链接例2） 3.=a（a≥0） 填空： ______； ______；______；______． 根据算术平方根的意义，可以得到 2； 0.1；；0． 一般地， 思考 当a为任意实数时，都有意义.如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？ 填空： 2 ， 2 ； 　　 5 ， 5 ； 　　 0 ， 0 ． 请比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？ 当 a≥0 时， a ；当 a＜0 时 ， a ． 可以得到 . 一般地，二次根式有下面的性质： 根据算术平方根的意义，无论 a 是正数、0 或负数， a2 的算术平方根可以记为 ． 当 a≥0 时，＝a；当 a＜0 时，＝－a． 而当 a≥0 时， |a|＝a；当 a＜0 时，|a|＝－a． 所以 ＝|a|． （链接例3、例4） 与 的异同 通过由特殊到一般，帮助学生总结出二次根式的性质，培养学生观察，归纳总结的能力.
典例精析 【例1】若，求a-b+c的值. 【解】由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 【针对练习】 已知y =,求3x+2y的算术平方根. 【解】由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 【例2（教材P4例题）】 计算： （1）＝ 1.5 ; （2）＝ 22×＝4×5＝20 . 【方法总结】（1）利用二次根式的性质：（）2＝a（a≥0）. （2）同时利用二次根式的性质和(ab)2＝a2b2. 【例3】 化简： （1）； （2） ； （3）； （4）. 【解】（1）==4； （2）==5； （3）==||=. （4）=|3.14|=3.14. 【方法总结】 注意 ＝|a|，而3.14＜π，要注意a的正负性. 【例4】 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简: . 【解】由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. 【方法总结】 注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号. 在实际的化简计算中再次区别和，让学生深刻理解二次根式的性质，并熟练的运用二次根式解决问题.针对典例所讲，让学生再次深刻理解二次根式的性质，熟练的运用二次根式进行化简计算.
随堂检测 1．下列计算正确的是(　A　) A．－()2＝－6 B．()2＝9 C．()2＝±16 D． 2．把 4 写成一个正数的平方的形式是(　B　) A. B. C. D. 3.化简： （1）＝ 9 ; （2）＝ 4 ; （3） - ; （4） 32 . 4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+ 的结果是 1 . 5．计算： （1） （2） 【解】（1） （2） 6.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长． 【解】由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1. 本节课的学习，你有哪些收获？ 二次根式的性质 (双重非负性) 2. 如何利用二次根式性质化简计算？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 19.1.2 二次根式的性质 1.≥0（≥0） 2.（） =（≥0） 3.=（≥0） 二次根式有下面的性质：
教学反思(共22张PPT)
19.1 二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
1．理解 (a≥0)是一个非负数．（重点）
2．理解二次根式的性质( )2＝a(a≥0)和（重点）
3．会运用二次根式的性质进行有关计算和化简．（难点）
被开方数大于或等于零.
上一课时我们学习了二次根式及其相关知识，你还记得二次根式的概念吗？被开方数需要满足什么条件？
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式，“ ”称为二次根号．
思考：二次根式 中被开方数 a 的取值范围是 a≥0，那么 的取值范围是什么？
当 a＞0 的时候， 表示 a 的算术平方根，则 ＞0；
当 a＝0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 ＝0.
当 a≥0 时， 是非负数，即 ≥0.
例1 若，求a-b+c的值.
解：
由题意可知
所以a-2=0b-3=0c-4=0
解得a=2b=3c=4.
所以a-b+c=2-3+4=3.
方法总结 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
解：由题意得
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
的值为5．
已知y =,求的值.
利用下图，你能推测 和 a 有什么关系吗？
面积 a
.
能得到
（3）＝ ； （4）2＝_____．
（1）2＝_____； （2）2＝_____；
根据算术平方根的意义填空，并说出得到的结论及依据．
0
3
0.5
因为 （a≥0）表示 a 的算术平方根，
所以将 a 的算术平方根平方，得（）2＝a.
一般地，二次根式有下面的性质：
（）2＝a（a≥0）.
例2 计算：
（1）＝ ;
（2）＝ .
1.5
（1）利用二次根式的性质：（）2＝a（a≥0）.
（2）同时利用二次根式的性质和(ab)2＝a2b2.
22×＝4×5＝20
填空：
______； ______；______；______．
根据算术平方根的意义，可以得到
2； 0.1；；0．
一般地，
－a
2
2
5
5
0
0
a
可以得到 .
填空：______， _______；
　　 _____， _______；
　　　______， _______．
请比较左右两边的式子，议一议：与有什么关系？
当 a≥0 时，______；当 a＜0 时 ，______．
思考 当a为任意实数时，都有意义.如果上式中的a为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
一般地，二次根式有下面的性质：
根据算术平方根的意义，无论 a 是正数、0 或负数， a2 的算术平方根可以记为 ．
当 a≥0 时，＝a；当 a＜0 时，＝－a．
而当 a≥0 时， |a|＝a；当 a＜0 时，|a|＝－a．
所以 ＝|a|．
例3 化简：
（1）； （2） ；
（3）； （4）.
解：（1）==4；
注意 ＝|a|，而3.14＜π，要注意a的正负性.
（2）==5；
（3）==||=.
（4）=|3.14|=3.14.
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
.
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，
∴原式=|a|-|b|+|a-b|
=-a-b-（a-b）
=-2a.
a
b
注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.
与 的异同
比较对象
不同点 意义
取值
结果
相同点 非负数 a 的
算术平方根的平方
实数 a 的平方的算术平方根
a 是非负数
a 是任意实数
两者都是非负数，且当 a≥0 时，
1．下列计算正确的是(　　)
A．－()2＝－6 B．()2＝9
C．()2＝±16 D．
A
B
2．把 4 写成一个正数的平方的形式是(　　)
A. B.
C. D.
3.化简：
（1）（） ＝ ； （2）＝ ；
（3） ； （4） .
9
4
32
-1
0
1
2
a
4. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a-2|+
的结果是 .
1
5．计算：
（1）．
（2）．
解：（1）．
（2）
．
6.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
二次根式的性质
（）2＝a（a≥0）
≥0（a≥0）

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