资源简介

第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
教学设计
课题 20.1第1课时 勾股定理 授课人
教学目标 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理. 2.会用勾股定理进行简单的计算. 3.经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力问题解决.
教学重点 掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
教学难点 了解利用拼图验证勾股定理的方法.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 1.认识勾股定理 1.如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A，B，C的面积之间有什么关系？D，E，F呢？ 观察：（数格子法） 正方形A中含有 9 个小正方形， 即A的面积是 9 ． 正方形B中含有 9 个小正方形， 即B的面积是 9 ． 正方形C中含有 18 个小正方形， 即C的面积是 18 ． 9＋9＝18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 正方形D中含有 4 个小正方形， 即D的面积是 4 ． 正方形E中含有 4 个小正方形， 即E的面积是 4 ． 正方形F中含有 8 个小正方形， 即F的面积是 8 ． 4＋4＝8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 2.对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关系？你又是如何计算的呢？ 正方形C的面积可以怎么计算呢？ 提示：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积. 方法一： 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC＝×4×3×4＋1×1＝25 方法二： 把C“补” 成边长为7的正方形 SC＝7×7－×4×3×4＝25 观察： 正方形A中含有 16 个小正方形， 即A的面积是 16 ． 正方形B中含有 9 个小正方形， 即B的面积是 9 ． 正方形C中含有 25 个小正方形， 即C的面积是 25 ． 16＋9＝25，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 我国古代把直角三角形中 较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名． （在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理） 证明勾股定理的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽的证法. “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，右图是弦图的示意图． 弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，尝试验证：a2＋b2＝c2． 尝试验证：a2＋b2＝c2 证明：S大正方形 ＝S小正方形＋4S直角三角形 c2 ＝(b－a)2＋4·． 化简得：c2 ＝a2＋b2． 这就证明了勾股定理． 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．与上面的方法类似，根据这一图形，尝试证明勾股定理． 证明：S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形 (b＋a)2 ＝ c2＋4·． 化简得：c2 ＝a2＋b2． 2.利用勾股定理进行计算 （链接例1、例2） 在本环节引导学生进行尝试性学习，充分相信学生的能力，学生在尝试活动中自己解决教师提出的一些问题，充分发挥学生的主体地位，帮助学生提升分析推理能力和归纳总结能力.同时渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间和空间，培养学生探索问题和类比迁移的能力.
典例精析 【例1（教材P25例题）】 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 【解】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB=10. （2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，从而DE2＝DF2-EF2＝172＋152＝64，所以DE=8. 【方法总结】首先分清斜边和直角边，然后利用“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”即可求出未知边的长． 【例2】在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 【解】（1）设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52，解得x=，∴a=. (2)∵b=15，∠A=30°,∴c=2a. 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，解得x=5，∴a=5，c=10. 【方法总结】通过三个直角三角形，明确已知的正方形边长和未知的正方形边长之间的关系，从而得到所求正方形的边长，即可得到所求正方形的面积． 通过例题讲解，加深学生对勾股定理的理解，并学会应用.
随堂检测 1.下列说法中,正确的是 （ C ） A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2 D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2 2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 36cm2 . 3.在△ABC中，∠C=90°. （1）若a=15，b=8，则c= 17 . （2）若c=13，b=12，则a= 5 . 4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为 74或24 . 5.求斜边长17 cm，一条直角边长15 cm的直角三角形的面积． 【解】∵三角形是直角三角形， ∴BC2 ＝AB2－AC2 ＝172－152 ＝64， ∴BC＝8． ∴S△ABC＝×AC×BC＝×15×8＝60（cm2）． 6．如图，求等腰△ABC的面积． 【解】作AD⊥BC. ∵△ABC是等腰三角形， ∴BD＝DC＝3 cm， 在直角三角形ABD中，AD2＝AB2－BD2＝16， ∴AD＝4 cm． ∴S△ABC＝×AD×BC＝×4×6＝12（cm2）． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 （1）本节课你有哪些收获？（2）还有没解决的问题吗？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 20.1第1课时 勾股定理 1.认识勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 2.利用勾股定理进行计算
教学反思(共27张PPT)
第二十章 勾股定理
A，B，C的面积有什么关系？
在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周牌算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五.后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系——两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理.
直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.
20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理
1．经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想．
3．尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性．（难点）
2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题．（重点）
直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
1.如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A，B，C的面积之间有什么关系？D，E，F呢？
A
C
B
D
F
E
图①
图②
A
C
B
图①
正方形A中含有___个小正方形，
即A的面积是____．
正方形B中含有___个小正方形，
即B的面积是___．
正方形C中含有___个小正方形，
即C的面积是____．
观察：
9
9
9
9
18
18
9＋9＝18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方．
数格子法
D
F
E
图②
正方形D中含有___个小正方形，
即D的面积是____．
正方形E中含有___个小正方形，
即E的面积是___．
正方形F中含有___个小正方形，
即F的面积是___．
4
4
4
4
8
8
4＋4＝8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方．
观察：
2.对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关系？你又是如何计算的呢？
A
C
B
图①
正方形C的面积可以怎么计算呢？
提示：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.
A
C
B
图①
方法一：
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
SC＝×4×3×4＋1×1＝25
方法二：
把C“补” 成边长为7的正方形
SC＝7×7－×4×3×4＝25
正方形A中含有___个小正方形，
即A的面积是___．
正方形B中含有___个小正方形，
即B的面积是___．
正方形C中含有___个小正方形，
即C的面积是____．
16
16
9
9
25
25
16＋9＝25，满足两直角边的平方和等于斜边的平方．
观察：
A
C
B
图①
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
A
B
C
a
b
c
勾
股
弦
我国古代把直角三角形中
较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，
斜边称为弦，
“勾股定理”因此而得名．
（在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理）
“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，右图是弦图的示意图．
弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，尝试验证：
a2＋b2＝c2．
c
b
a
黄实
朱实
弦图
证明勾股定理的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽的证法.
尝试验证：a2＋b2＝c2．
化简得：c2 ＝a2＋b2．
S大正方形 ＝S小正方形＋4S直角三角形
c2 ＝(b－a)2＋4·．
这就证明了勾股定理．
证明：
c
b
a
黄实
朱实
弦图
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．与上面的方法类似，根据这一图形，尝试证明勾股定理．
化简得：c2 ＝a2＋b2．
S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形
(b＋a)2 ＝ c2＋4·．
证明：
c
b
a
a
b
a
a
b
c
c
c
b
C
B
A
6
8
F
E
D
15
17
(1)
(2)
例1　如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.
解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB=10.
（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，从而DE2＝DF2-EF2＝172＋152＝64，所以DE=8.
方法总结 首先分清斜边和直角边，然后利用“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”即可求出未知边的长．
例2　在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;
（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.
解：
(1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得
x2+(2x)2=52，
解得
(2)∵b=15，∠A=30°,
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得
(2x)2-x2=152，
解得
方法总结 通过三个直角三角形，明确已知的正方形边长和未知的正方形边长之间的关系，从而得到所求正方形的边长，即可得到所求正方形的面积．
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
8 cm
10 cm
36 cm
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
17
5
74或24
5．求斜边长17 cm，一条直角边长15 cm的直角三角形的面积．
15
17
A
C
B
解：∵三角形是直角三角形，
∴BC2 ＝AB2－AC2
＝172－152
＝64，
∴BC＝8．
∴S△ABC＝×AC×BC＝×15×8＝60（cm2）．
D
C
B
A
5 cm
5 cm
6 cm
6．如图，求等腰△ABC的面积．
解：作AD⊥BC.
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD＝DC＝3 cm，
在直角三角形ABD中，AD2＝AB2－BD2＝16，
∴AD＝4 cm．
∴S△ABC＝×AD×BC＝×4×6＝12（cm2）．
勾股定理
证明
定理
a2+b2=c2
赵爽弦图

展开更多......

收起↑