资源简介

第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第2课时 勾股定理的应用
教学设计
课题 20.1第2课时 勾股定理的应用 授课人
教学目标 1.能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题. 2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件. 3.培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情.
教学重点 熟练运用勾股定理求直角三角形的边长.
教学难点 会用勾股定理解决简单实际问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
新课导入 印度的数学家婆神迦罗在他的著作《丽拉瓦提》中提出这样一个问题： 波平如镜一湖面，半尺高处出红莲． 婷婷多姿湖中立，突遭狂风吹一边． 离开原处两尺远，花贴湖边似睡莲． 请你动动脑筋看，湖水在此多深浅． 这节课我们就来学习用勾股定理来解决这一实际问题． 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 勾股定理的实际应用 上面的问题可以归结为：如图，AC 长为 0.5 尺，BC 长为 2 尺，OA＝OB，求 OC 长为几尺．请你解答这个问题． 解：OA＝OB＝OC＋0.5， 在 Rt△OBC 中，根据勾股定理， OB2＝OC2＋BC2， 即 (OC＋0.5)2＝OC2＋22， 解得OC＝3.75． 所以 OC 长为 3.75 尺． 应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型． （链接例1、例2） 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路. 通过解答真实情景中的问题，帮助学生找准新旧知识的连接点，从而让学生进一步理解勾股定理，学会应用勾股定理解决实际问题.
典例精析 【例1（教材P26例题）】 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么 【解析】1.可以看出木板横着或竖着都不能从门框通过，只能试试斜着能否通过. 2.门框对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过. 【解】连接AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5 AC= 2.24 因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过. 【例2（教材P26例题）】如图，一架 2.5 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 BO 为 0.7 m. 如果梯子的底端 B 沿墙外移 0.8 m，那么梯子顶端 A 也下滑 0.8 m 吗 解：在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得 OA2=AB2-OB2=2.52 -0.72 =5.76，∴OA=2.4. 在 Rt△COD 中，根据勾股定理得 OC2=CD2-OD2=2.52-(0.7+0.8)2=4，∴OC=2. ∴AC=OA-OC=2.4-2=0.4. ∴ 当梯子的底端沿墙外移 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑 0.4 m. 通过例题讲解让学生学会应用勾股定理解决问题.
随堂检测 1．有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　B　） A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m 2．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1 m，当他把绳子下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为__12__m． 3.有一个水池，截面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 【解】设水深为 x 尺，则这根芦苇的高为 (x+1) 尺，根据题意和勾股定理可列方程： x2+52 = (x+1)2，解得 x = 12. 12+1=13. 答：水深为12尺，则这根芦苇的高为 13尺. 4.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. (1)求这条“径路”的长； (2)他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？ 【解】(1) 如图，在Rt△ ABC 中，根据勾股定理得 AB=（米）.∴这条“径路”的长为5米. (2) 他们仅仅少走了(3 + 4 - 5)×2 = 4(步). 5.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅楼8 m（车尾AE距住宅楼墙面CD）处，升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17 m，云梯底部距地面的高AE＝1.5 m，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？ 【解】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°. 根据勾股定理，得BC2＝172－82＝152（m）， ∴BC＝15 m． ∴BD＝15＋1.5＝16.5（m）. 答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5 m． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 小结： 1．勾股定理的应用 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 20.1第2课时 勾股定理的应用 勾股定理的实际应用 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
教学反思(共15张PPT)
20.1 勾股定理及其应用
第2课时 勾股定理的应用
1．能够利用勾股定理计算直角三角形的边长，解决涉及距离、高度等的简单应用问题．（重点）
2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，培养数学建模的初步能力．（难点）
波平如镜一湖面，半尺高处出红莲．
婷婷多姿湖中立，突遭狂风吹一边．
离开原处两尺远，花贴湖边似睡莲．
请你动动脑筋看，湖水在此多深浅．
这节课我们就来学习用勾股定理来解决这一实际问题．
印度的数学家婆神迦罗在他的著作《丽拉瓦提》中提出这样一个问题：
上面的问题可以归结为：如图，AC 长为 0.5 尺，BC 长为 2 尺，OA＝OB，求 OC 长为几尺．请你解答这个问题．
A
C
O
B
解：OA＝OB＝OC＋0.5，
在 Rt△OBC 中，根据勾股定理，
OB2＝OC2＋BC2，
即 (OC＋0.5)2＝OC2＋22，
解得OC＝3.75．
所以 OC 长为 3.75 尺．
应用勾股定理解决实际问题，关键是将实际问题转化为直角三角形模型．
2 m
1 m
A
B
D
C
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
可以看出木板横着或竖着都不能从门框通过，只能试试斜着能否通过.
门框对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
求对角线的长
若木板长小于AC 长，则通过；
反之，不行
抽象成数学问题
解决实际问题
实际问题：
木板能否从门框通过？
几何问题：
利用______，
求______的长
勾股定理
对角线AC
2 m
1 m
A
B
D
C
2 m
1 m
A
B
D
C
解：连接AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，
所以木板能从门框内通过.
2 m
1 m
A
B
D
C
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
A
B
D
C
O
解：在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得
OA2=AB2-OB2=2.52 -0.72 =5.76，
∴OA=2.4.
在 Rt△COD 中，根据勾股定理得
OC2=CD2-OD2=2.52-(0.7+0.8)2=4，
∴ 当梯子的底端沿墙外移 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑0.8 m，而是下滑 0.4 m.
例2 如图，一架 2.5 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 BO 为 0.7 m. 如果梯子的底端 B 沿墙外移 0.8 m，那么梯子顶端 A 也下滑 0.8 m 吗
∴OC=2.
∴AC=OA-OC=2.4-2=0.4.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
1．有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）
A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
2．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1 m，当他把绳子下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为_____m．
B
12
3.有一个水池，截面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
解：设水深为 x 尺，则这根芦苇的高为 (x+1) 尺，根据题意和勾股定理可列方程：
x2+52 = (x+1)2，解得 x = 12.
12+1=13.
答：水深为12尺，则这根芦苇的高为 13尺.
C
A
B
4.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
(1)求这条“径路”的长；
(2)他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
\
别踩我，我怕疼!
解：(1) 如图，在Rt△ ABC 中，根据勾股定理得
AB=（米）.∴这条“径路”的长为5米.
(2) 他们仅仅少走了(3 + 4 - 5)×2 = 4(步).
5.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距住宅楼8 m（车尾AE距住宅楼墙面CD）处，升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17 m，云梯底部距地面的高AE＝1.5 m，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？
解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.
根据勾股定理，得BC2＝172－82＝152（m），
∴BC＝15 m．
∴BD＝15＋1.5＝16.5（m）.
答：发生火灾的住户窗口距离地面16.5 m．
勾股定理的应用
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
构建
运用
解决

展开更多......

收起↑