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人教版（2024）版数学7年级上册
第一章 有理数
1.2.4 绝对值
第 1 页：课题导入 —— 数轴上的 “距离” 问题
情境思考（配数轴示意图）：
数轴上表示 3 的点到原点的距离是多少？表示 - 3 的点到原点的距离是多少？
表示 2.5 和 - 2.5 的点到原点的距离相等吗？是多少？
原点到它本身的距离是多少？
核心发现：
数轴上一个点到原点的距离，只与点的位置有关，与方向无关（正数、负数到原点的距离都是非负数）
导入课题：
我们把数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的 绝对值，今天学习绝对值的概念、性质和应用。
第 2 页：绝对值的定义与表示方法
核心定义：
几何定义：数轴上表示数 a 的点与原点的距离，叫作数 a 的绝对值，记作 | a|（读作 “a 的绝对值”）
示例：|3 | 表示 3 到原点的距离，结果为 3；|-3 | 表示 - 3 到原点的距离，结果为 3
代数定义（文字描述）：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0 的绝对值是 0。
符号表示（数学表达式）：
**\(
|a| = \begin{cases}
a & (a > 0) \\
0 & (a = 0) \\
-a & (a < 0)
\end{cases}
\)
关键提醒：
绝对值符号 “| |” 是 “距离” 的象征，结果一定是非负数（≥0）
理解 “-a”：当 a 为负数时，-a 是正数（如 a=-5，-a=5）
第 3 页：绝对值的核心性质（配示例）
性质 1：非负性 —— 任何数的绝对值都是非负数
表示：|a| ≥ 0（对任意有理数 a 都成立）
示例：|5|=5>0，|-3.2|=3.2>0，|0|=0
拓展：若 | a| + |b| = 0，则 a=0 且 b=0（两个非负数的和为 0，只能各自为 0）
性质 2：互为相反数的两个数的绝对值相等
表示：|a| = |-a|
示例：|7|=|-7|=7，| -2/3 | = |2/3| = 2/3
性质 3：绝对值的绝对值等于本身
表示：||a|| = |a|
示例：||-5||=|5|=5，||3.6||=|3.6|=3.6
性质 4：正数和 0 的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
简化记忆：“同号得本身，异号得相反，零的绝对值是零”
第 4 页：绝对值的计算与化简（典型示例）
类型 1：直接求一个数的绝对值
示例：
|8| = 8（正数的绝对值是本身）
|-1.5| = 1.5（负数的绝对值是相反数）
|0| = 0（零的绝对值是零）
| + 3/4 | = 3/4（正号可省略，结果为本身）
类型 2：含字母的绝对值化简（需判断字母正负）
示例：
若 a > 0，则 | a| = a（如 a=6，|6|=6）
若 a <0，则 | a| = -a（如 a=-4，|-4|=4=-(-4)）
若 a=0，则 | a|=0
类型 3：含绝对值符号的混合化简
示例：
| -3 | + | 5 | = 3 + 5 = 8
| -6 | - | -2 | = 6 - 2 = 4
| 2 - 7 | = | -5 | = 5（先算括号内，再求绝对值）
第 5 页：利用绝对值比较有理数的大小
核心法则（结合数轴 “左小右大”）：
正数 > 0 > 负数（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数）
两个正数比较：绝对值大的数大（如 | 5| > |3|，则 5 > 3）
两个负数比较：绝对值大的数反而小（如 |-6|=6，|-4|=4，6>4，则 - 6 < -4）
比较步骤（以两个负数为例）：
求两个数的绝对值；
比较绝对值的大小；
根据 “绝对值大的负数小” 得出结论。
示例：
比较 - 7 和 - 2：| -7 | =7，| -2 | =2，7>2 → -7 < -2
比较 - 3.1 和 - 2.9：| -3.1 | =3.1，| -2.9 | =2.9，3.1>2.9 → -3.1 < -2.9
排序：-5, 3, -2, 0 → 先求绝对值：| -5 |=5，| -2 |=2 → 大小关系：-5 < -2 < 0 < 3
第 6 页：典型例题解析
例题 1：求下列各数的绝对值
| -10 | = ______ | + 3/5 | = ______ | 0 | = ______
| -2.8 | = ______ | 12 - 9 | = ______ | - (-4) | = ______（提示：先化简 -(-4)=4，再求绝对值）
例题 2：化简下列各式
若 x > 0，则 | x| = ______ 若 x < 0，则 | x| = ______
| 3 - π | = ______（提示：π≈3.14，3 - π < 0，绝对值是它的相反数）
| a - 2 |（分情况讨论：①a > 2；②a = 2；③a < 2）
例题 3：比较下列各组数的大小
-8 和 -5 2. 0 和 -3.2 3. -1/2 和 -1/3 4. 2.5 和 -3
例题 4：已知 | a|=5，|b|=3，且 a < b，求 a、b 的值（提示：a=±5，b=±3，结合 a < b 筛选）
第 7 页：知识拓展 —— 绝对值的实际应用
应用场景 1：表示距离
问题：数轴上点 A 表示的数是 - 3，点 B 表示的数是 4，求 A、B 两点之间的距离？
解答：|4 - (-3)| = |7| =7（两点间距离 = 右边数 - 左边数的绝对值）
应用场景 2：实际问题中的 “误差”
问题：某零件的标准长度是 5cm，实际生产的零件长度为 5.02cm 或 4.98cm，误差不超过 0.03cm 为合格，判断这两个零件是否合格？
解答：|5.02 - 5|=0.02cm ≤0.03cm（合格）；|4.98 -5|=0.02cm ≤0.03cm（合格）
应用场景 3：判断数的正负
问题：若 | a| = -a，判断 a 的正负性？
解答：由绝对值定义，当 a ≤0 时，|a|=-a → a 是非正数（0 或负数）
第 8 页：课堂小结（思维导图式）
核心概念：
几何定义：数轴上点到原点的距离
代数定义：正数→本身，负数→相反数，0→0
核心性质：非负性（|a|≥0）、互为相反数的绝对值相等（|a|=|-a|）
关键应用：
求绝对值（按数的正负分类计算）
比较大小（两个负数看绝对值，大的反而小）
实际应用（距离、误差等）
易错提醒：
两个负数比较时，易忽略 “绝对值大的反而小”
含字母的绝对值化简需分情况讨论（判断字母正负）
1. 知道绝对值的概念及表示法，体会绝对值
的几何意义.
2.会求一个已知数的绝对值.
-1 和 1，-2 和 2，-3 和 3，…
我们知道，互为相反数的两个数（除 0 以外）只有符号不同. 这两个数的相同部分在数轴上表示什么？
10 和 -10 互为相反数，在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 你发现了什么？
0
10
-10
10
10
A
B
O
（1）点 A，B关于原点对称；
（2）点 A，B与原点的距离相同，都是 10.
10 和 -10 互为相反数，在数轴上分别用点 A，B 表示这两个数. 你发现了什么？
0
10
-10
10
10
A
B
O
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 |a|.
因为距离不可能是负数，所以一个数的绝对值不会是负数，最小值是 0.
即 | a | 0.
非负性
一个数的绝对值与这个数有什么关系？借助数轴多取几个数试一试、看能不能发现规律.
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
-4
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.
（1）若 a > 0，则 | a | = a；
（2）若 a = 0，则 | a | = 0；
（3）若 a < 0，则 | a | = －a.
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
-4
例 4 （1）分别写出 1， -0.5 和 的绝对值；
【教材P13】
| 1 | = 1；
0
1
2
-1
-2
距离为1
距离为0.5
距离为
|-0.5| = 0.5；
（2）因为在点 A，B，C，D 中，点 C 离原点最近，所以在有理数 a，b，c，d 中，c 的绝对值最小.
（2）如图，数轴上的点 A，B，C，D 分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？
0
1
2
3
-1
-2
-3
4
-4
A
B
C
D
表示 +7 的点与原点的距离是______；
即：+7 的绝对值是______，记作__________；
表示 -2.8 的点与原点的距离是________；
即：-2.8 的绝对值是______，记作___________；
表示 0 的点与原点的距离是________；
即：0 的绝对值是______，记作_________.
7
7
| +7 | = 7
2.8
2.8
| -2.8 | = 2.8
0
0
| 0 | = 0
归 纳
求一个数的绝对值的方法：
求一个数的绝对值
正数
0
负数
等于它本身
等于它的相反数
1. 写出下列各数的绝对值.
【教材P14】
8，-3.9， ，100，7.5，0，-(-13)，-(+18).
解：|8| = 8，|-3.9| = 3.9，| | = ，|100| = 100，
|7.5| = 7.5，|0| = 0，|-(-13)| = 13，|-(+18)| = 18.
2. 判断题.
（1）绝对值是它本身的数是正数；
（2）当 a ≠ 0 时，| a | 总是大于 0；
（3）绝对值小于 2 的整数是 1 和 -1.
×
√
×
3. 如果 |a| = |-2|，那么 a =_________；
如果 m 是负数，且 |m| = 10，那么 m =______.
-2 或 2
-10
4. 化简下列各数：
+|-3.5|，-|+ |，-|-11|，|+(-15)|，|-(-7)|，|-(+9)|.
解：+|-3.5| = 3.5，-|+ | = - ，-|-11| = -11，
|+(-15)| = 15，|-(-7)| = 7，|-(+9)| = 9.
1. 数，，， 在数轴上对应点的位置如
图所示，这四个数中绝对值最小的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 母题教材P14练习 若，则 的值为
( )
B
A. B. 或 C. D.
返回
3. 给出下面四种说法：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；
②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；
③若，则 ；
④如果，那么 .
其中正确的是( )
A
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
返回
4. 下列各组数中，互为相反数的是( )
D
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【点拨】A.因为， ，所以
，故本选项错误；B.因为 ，
，所以 ，故本选项错误；C.
，故本选项错误；D.因为 ，
所以与 互为相反数，故本选项正确.故选D.
返回
5. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝
对值越小表示信号越强（单位： ），则下列信号最强的
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 |a|.
（1）若 a > 0，则 | a | = a；
（2）若 a = 0，则 | a | = 0；
（3）若 a < 0，则 | a | =－a.
谢谢观看！

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