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人教版（2024）版数学7年级上册
第二章 有理数的运算
2.1.1.2有理数的加法运算律
2.1.1.2 有理数的加法运算律
有理数的加法运算律
七年级数学 · 上册
核心内容：交换律与结合律的理解及应用
学习目标
1. 理解：有理数加法交换律和结合律的含义，验证其在有理数范围内的适用性
2. 掌握：运用运算律简化有理数加法运算的方法（凑0、凑整、同号结合）
3. 提升：培养运算优化意识和符号处理能力，为后续运算奠定基础
情境导入：生活中的“加法顺序”
小明周末帮妈妈跑腿，有两种收支情况：
情况一：先买文具花3元（记为-3），再卖旧报纸赚5元（记为+5）
列式：(-3) + (+5) = ？
结果：2元
情况二：先卖报纸赚5元（记为+5），再买文具花3元（记为-3）
列式：(+5) + (-3) = ？
结果：2元
思考：两种顺序的总结果相同，这说明什么？
探究一：有理数加法交换律
猜想：交换两个加数的位置，和不变？
分组验证：计算下列各组算式，对比结果
组别
第一式
第二式
结果是否相等？
实例验证：计算两组算式
第一组：[(-2) + (+3)] + (-4)
步骤：先算括号内 (-2+3)=1，再算1+(-4)=-3
结果：-3
第二组：(-2) + [(+3) + (-4)]
步骤：先算括号内 3+(-4)=-1，再算-2+(-1)=-3
结果：-3
自主验证：任选三个有理数（含正负数、小数/分数），如a=-1，b=2.5，c=-3，验证[(a+b)+c]与[a+(b+c)]是否相等
结论：有理数加法结合律
文字描述：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
字母表示：(a + b) + c = a + (b + c)（a、b、c为任意有理数）
核心应用：用运算律简化计算
核心思路：通过交换和结合，将复杂计算转化为简单计算，常用技巧有三种
1. 技巧一：相反数凑0（和为0，简化计算）
示例：(-5) + (+7) + 5 = [(-5) + 5] + 7 = 0 + 7 = 7
2. 技巧二：同符号凑整（先算同号数，减少符号混淆）
示例：(-12) + (+8) + (-7) + (+3) = [(-12) + (-7)] + [(+8) + (+3)] = (-19) + 11 = -8
3. 技巧三：同分母/同小数凑整（小数或分数优先结合）
示例：(-0.5) + 3.25 + 2.75 + (-5.5) = [(-0.5) + (-5.5)] + [(3.25) + 2.75] = (-6) + 6 = 0
口诀：交换位置和不变，结合凑整更简便；符号先定莫忘记，细心计算是关键
典例解析：规范解题步骤
例题：计算 (-1/3) + (+2/5) + (+4/3) + (-1/5)
分析：含分数，优先结合同分母和相反数
解题过程：
原式 = [(-1/3) + (+4/3)] + [(+2/5) + (-1/5)] （加法交换律和结合律）
　　 = (3/3) + (1/5) （同分母分数相加）
　　 = 1 + 1/5 （化简整数）
　　 = 6/5 （最终结果）
易错点：不要漏写括号，符号与数字要同步移动
分层练习：巩固提升
基础题（必做）
1. (-8) + 10 + 2 + (-1)
2. (-3) + (-4) + (+6) + (+7)
3. 提示：运用“同号结合”或“凑整”技巧
提升题（选做）
1. 记录本周零花钱收支（收入为正，支出为负），用运算律计算总收支
2. 计算 1.7 + (-6.2) + (-1.8) + 2.3
3. 提示：小数优先凑整，结合生活实际应用
中考链接：真题感知
1. （2024·长沙）计算 |-3| + (-3) = ______ （答案：0）
2. （2024·成都）数轴上点A从2出发，先右移5个单位，再左移3个单位，终点对应的数是 ______ （答案：4）
3. （2024·重庆）计算 (-1.6) + 4.8 + (-3.2) = ______ （答案：0）
课堂总结
1. 核心知识
- 交换律：a + b = b + a
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 适用范围：所有有理数（正数、负数、0）
2. 核心技巧：凑0（相反数）、凑整（同符号/同分母）、定符号（优先处理）
作业布置
- 必做：课本对应练习题（用运算律简化步骤）
- 选做：完成提升题中“零花钱收支”计算
- 预习：有理数减法法则
谢谢观看！
祝大家运算准确，思维高效！
1.能叙述有理数加法运算律.
2.会运用加法运算律进行有理数加法简便运算.
我们以前学过加法交换律、结合律，在有理数的加法中它们还适用吗？
课堂导入
（1）比较以上各组两个算式的结果有什么关系？每组两个算式有什么特征？
解：（1）①30＋(－20) =10，(－20)＋30=10；
② (－5)＋(－13) =－18，(－13)＋(－5)=－18；
③(－37)＋16=－21，16＋(－37)=－21.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
探究 计算：①30＋(－20) ，(－20)＋30；
② (－5)＋(－13) ，(－13)＋(－5)；
③(－37)＋16，16＋(－37).
（1）比较以上各组两个算式的结果有什么关系？每组两个算式有什么特征？
解：（1）以上各组两个算式的结果相同.每组两个算式的第二个算式是由第一个算式交换两个加数的位置得到的.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
探究 计算：①30＋(－20) ，(－20)＋30；
② (－5)＋(－13) ，(－13)＋(－5)；
③(－37)＋16，16＋(－37).
（2）小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗？
解：（2）小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
探究 计算：①30＋(－20) ，(－20)＋30；
② (－5)＋(－13) ，(－13)＋(－5)；
③(－37)＋16，16＋(－37).
（3）请你再换几个加数，试一试，看一看所得的结果如何？
解：（3）换几个加数，例：3＋(－2) =1，(－2)＋3 =1；
(－1)＋(－2)= －3，(－2)＋(－1)= －3；(－14)＋4=－10，
4＋(－14)=－10.以上各组两个算式的结果相同.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
探究 计算：①30＋(－20) ，(－20)＋30；
② (－5)＋(－13) ，(－13)＋(－5)；
③(－37)＋16，16＋(－37).
你能用精炼的语言表述这一结论吗？你能把该规律用字母表示吗？
加法交换律： a+b=b+a.
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试.
[8＋ (－5)]＋(－4) ，8＋[(－5) ＋(－4)].
探究
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
解：[8＋ (－5)]＋(－4) =－1,8＋[(－5) ＋(－4)]=－1,两次所得的和相同.
换几个加数，例：[(－3)＋ 4]＋5 =6，(－3)＋ (4＋5) =6，
[3＋(－8)]＋(－2) =－7，3＋[(－8)＋(－2)] =－7.
从上述计算中，你能得出什么结论？
[8＋ (－5)]＋(－4) ，8＋[(－5) ＋(－4)].
探究
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
例1 计算： (1)8+(－6)+(－8) ； (2)16+(－25)+24+(－35).
怎样使计算简化的？根据是什么？
(1)中，把互为相反数的一对数结合起来相加，(2)中，把正数和负数分别相加，从而使计算简化，这样做既利用了加法交换律，又利用了加法结合律.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
解：(1) 8+(－6)+(－8)
=[8+(－8)]+(－6)
=0+(－6)
=－6；
(2) 16+(－25)+24+(－35)
=(16+24)+[(－25)+(－35)]
=40+(－60)
=－20.
例2 10袋小麦称后记录(单位：kg) 如图所示.10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
50.5 50.5 50.8 49.5 50.6
50.7 49.2 49.4 50.9 50.4
解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5.
再计算总计超过多少千克：
502.5－50×10 ＝ 2.5.
例2 10袋小麦称后记录(单位：kg) 如图所示.10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
50.5 50.5 50.8 49.5 50.6
50.7 49.2 49.4 50.9 50.4
解法2：把每袋小麦超过50 kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数.
10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，－0.5，+0.6，+0.7，－0.8，－0.6，+0.9，+0.4.
例2 10袋小麦称后记录(单位：kg) 如图所示.10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以50 kg为质量标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
0.5+0.5+0.8+（－0.5）+0.6+0.7+（－0.8）+（－0.6）+0.9+0.4
= [0.5+(－0.5)]+[0.8+(－0.8)]+[0.6+(－0.6)]+ (0.5＋0.7＋0.9＋0.4)
= 2.5.
50×10+2.5=502.5.
答：10袋小麦一共502.5 kg，总计超过2.5 kg.
比较两种解法，解法2中使用了哪些运算律？
解法2把互为相反数的一对数结合起来相加，可以使计算简化.这种解法利用了加法交换律和加法结合律.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
比较两种解法，解法2中使用了哪些运算律？
跟踪训练 某学习小组五位同学某次数学测试成绩（分）为83、76、94、88、74，该班全体同学测试的平均分为80分，问这五位同学的平均分超出全班平均分多少分？用两种方法解答.
解法一：先计算这5位同学的平均分是多少分：
（83＋76＋94＋88＋74）÷5 ＝ 83.
再计算超过平均分多少分：
83－80 ＝ 3.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
解法二：每位同学的分数超过平均分的记为正数，低于平均分的记为负数，则5位同学的分数对应的数分别为：+3，－4，+14，+8，－6.
[( +3)+(－4)+(+14)+(+8) +(－6)]÷5 ＝ 3.
答：这五位同学的平均分超出全班平均分3分.
跟踪训练 某学习小组五位同学某次数学测试成绩（分）为83、76、94、88、74，该班全体同学测试的平均分为80分，问这五位同学的平均分超出全班平均分多少分？用两种方法解答.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
有理数的加法运算的常用方法：
（1）正负数归类法；
（2）相反数结合法；
（3）凑整数；
（4）同分母分数结合法.
知识点 有理数加法的交换律和结合律
新知探究
知识点1 有理数加法运算律
1.（1）加法交换律： ______.
例：______ .
（2）加法结合律： ___________.
例：_______ _______］.
2.小磊解题时，将式子 先变形为
，再计算结果，小磊运用了( )
B
A.加法交换律 B.加法交换律和加法结合律
C.加法结合律 D.以上均不正确
3.下列式子中，正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
4.（16分）［教材 例2变式］用适当的方法计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
知识点2 利用有理数加法运算律解决实际问题
5.某公交车上原有22人,经过2个站点时的上下车情况如下（上车为正,下
车为负）:, ,则经过这2个站点后车上还有____人.
19
6.某食品店5天的盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：260元、
元、元、110元、 元，则这5天的总盈亏情况是___________.
盈利326元
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
加法交换律：a+b=b+a.
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
课堂小结
有理数加法的交换律和结合律
谢谢观看！

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