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人教版（2024）版数学7年级上册
第二章 有理数的运算
2.1.2.2有理数的加减混合运算
2.1.2.2 有理数的加减混合运算
有理数的加减混合运算
七年级数学 · 上册
核心内容：统一成加法运算及简化技巧
学习目标
1. 掌握：将有理数加减混合运算统一成加法运算的方法
2. 运用：结合加法运算律简化混合运算，提升运算效率
3. 理解：“代数和”的概念，能规范书写运算表达式
旧知回顾：有理数减法法则——a - b = a + (-b)（减去一个数等于加它的相反数）
情境导入：收支中的混合运算
小明一周零花钱收支情况如下（收入为正，支出为负）：
周一：+20元（家长给的零花钱）；周二：-5元（买文具）；周三：-3元（买零食）；周四：+15元（卖废品）；周五：-8元（乘公交）
思考：如何计算小明这五天的零花钱总收支？列出算式并尝试计算。
算式：20 - 5 - 3 + 15 - 8 这就是有理数的加减混合运算，如何快速计算？
探究一：混合运算的“统一”法则
有理数加减混合运算的核心思路：将减法全部转化为加法，使算式成为“代数和”的形式
1. 转化依据
有理数减法法则：a - b = a + (-b)，即所有减法都可转化为“加相反数”
2. 转化示例
原混合算式
第一步：减法转加法（标相反数）
第二步：省略加号和括号（代数和）
20 - 5 - 3 + 15 - 8
20 + (-5) + (-3) + 15 + (-8)
20 - 5 - 3 + 15 - 8（可直接读作“20减5减3加15减8”）
(-12) + 8 - (-7) - 13
(-12) + 8 + 7 + (-13)
-12 + 8 + 7 - 13（读作“负12加8加7减13”）
0 - (-6) - (+4) + (-2)
0 + 6 + (-4) + (-2)
0 + 6 - 4 - 2（读作“0加6减4减2”）
注意：转化后“+”号可省略，但每个数的符号必须保留（符号与数是一个整体）
探究二：混合运算的“四步走”与优化技巧
1. 基本运算步骤
1. 统一转化：将所有减法转化为加法，写成代数和形式
2. 灵活结合：运用加法交换律和结合律，将易计算的数结合
3. 分组计算：按结合后的分组分别计算，得出每组结果
4. 最终求和：将各组结果相加，得到最终答案
2. 核心优化技巧（结合律应用）
技巧1：同号结合法
将所有正数结合，所有负数结合，减少符号混淆
示例：-12 + 8 + 7 - 13 = (+8+7) + (-12-13) = 15 - 25 = -10
技巧2：凑整结合法
将和为整数、整十数的数结合，简化计算
示例：1.7 + (-6.2) + (-1.8) + 2.3 = (1.7+2.3) + (-6.2-1.8) = 4 - 8 = -4
技巧3：相反数结合法
将和为0的相反数结合，直接消去
示例：-5 + 3 + 5 - 2 = (-5+5) + (3-2) = 0 + 1 = 1
技巧4：同分母结合法
分数运算中，将同分母或易通分的分数结合
示例：-1/3 + 2/5 + 4/3 - 1/5 = (-1/3+4/3) + (2/5-1/5) = 1 + 1/5 = 6/5
典例解析：规范解题过程
题型1：整数类混合运算
例：计算 (-18) - (-5) + (+7) - (+11)
解题步骤：
①统一转化：(-18) + 5 + 7 + (-11) （减法转加法，减数变相反数）
②灵活结合：[(-18) + (-11)] + (5 + 7) （同号结合）
③分组计算：(-29) + 12 （分别计算两组和）
④最终求和：-17 （异号相加，取绝对值大的符号）
题型2：小数与分数混合运算
例：计算 2.5 - (-1/2) + (-3.2) - 1/5
解题步骤：
①统一形式：将分数化为小数（或反之），2.5 + 0.5 + (-3.2) + (-0.2)
②凑整结合：(2.5 + 0.5) + [(-3.2) + (-0.2)] = 3 + (-3.4)
③最终结果：-0.4
口诀：减法先转加法算，符号跟着数字走；同号凑整相反数，合理结合省时间
实际应用：混合运算解决生活问题
1. 问题1：行程问题一机器人从原点出发，沿直线移动，每次移动情况如下（向东为正）：+5米、-3米、+10米、-8米、-6米，机器人最终位置距离原点多远？在原点的哪一侧？解：5 - 3 + 10 - 8 - 6 = (5+10) + (-3-8-6) = 15 - 17 = -2（米）答：距离原点2米，在原点西侧。
2. 问题2：收支问题某商店一周收支情况如下（收入为正）：+1200元、-800元、-300元、+1500元、-500元、+2000元、-1000元，该商店这周盈利多少元？解：1200 - 800 - 300 + 1500 - 500 + 2000 - 1000　　 = (1200+1500+2000) + (-800-300-500-1000)　　 = 4700 - 2600 = 2100（元）答：该商店这周盈利2100元。
易错点警示：避开运算“陷阱”
易错类型
错误示例
规避方法
符号遗漏
计算 5 - 8 + 3 时，错算为 5 - (8+3) = -6
明确每个数的符号，将“-”看作数的负号，而非运算符号
结合错误
计算 -12 + 5 - 7 时，错算为 (-12+5) - (-7) = 0
结合时只改变运算顺序，不改变数的符号和运算符号
小数分数混淆
计算 0.5 - 1/3 时，错算为 0.5 - 0.3 = 0.2
统一化为小数（精确）或分数（准确）后再计算
分层练习：巩固提升
基础题（必做）
1. (-7) + 5 - (-3) - 1
2. 12 - (-18) + (-7) - 15
3. 0 - 21 + 3 - (-16) - (+8)
4. 提示：先统一成加法，再用同号结合法计算
提升题（选做）
1. 计算：-1.5 + 2.3 - 0.5 + (-0.3) + 1
2. 计算：(-1/4) + 5/6 + 2/3 - 1/2
3. 一潜水员从水面下6米处下潜4米，又上浮10米，此时潜水员位置在水面何处？
中考链接：真题感知
1. （2024·郑州）计算 2 - (-3) + (-1) 的结果是（ ）A. 4 B. 0 C. -2 D. -4 （答案：A）
2. （2024·杭州）计算 (-5) + 3 - (-2) - 1 = ______ （答案：-1）
3. （2024·南京）某公交车上原有15人，经过3个站点时人数变化如下（上车为正）：-2人、+5人、-3人，此时车上有______人（答案：15）
课堂总结
1. 核心转化：加减混合运算 → 加法代数和（a - b + c = a + (-b) + c）
2. 运算技巧：同号结合、凑整结合、相反数结合、同分母结合
3. 关键原则：符号优先（每个数的符号都要保留）、分步计算（先结合再求和）
作业布置
- 必做：课本对应练习题（标注转化过程和结合方法）
- 选做：记录自己一周的“情绪值”（开心为正，难过为负），计算周平均情绪值
- 预习：有理数的乘法法则
谢谢观看！
祝大家运算高效，思路严谨！
1. 学会把有理数加减法的算式统一成只有加法
的算式.
2. 能正确熟练地进行有理数的加减混合运算.
1. 有理数的加法法则.
2. 有理数的加法运算律.
同号两个数相加；
异号两个数相加；
一个数与 0 相加.
加法交换律： a + b = b + a
加法结合律: (a + b)+ c = a +(b + c)
3. 有理数的减法法则.
4. 小学加减法混合运算的顺序是怎样的？
a - b = a +(-b)
从左到右依次计算， 如果有括号则先计算括号里的内容.
新知探索
例 5 计算 (-20)+(+3)-(-5)-(+7).
小明是这样做的
原式 = -17-(-5)-(+7)
= -12 -(+7)
= -19
你还有其他的方法吗？
分析：这个算式中既有加法，也有减法，可以先根据有理数减法法则，把减法转化为加法.
这个算式可以改写为
(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
然后再进行有理数的加法运算.
例 5 计算 (-20)+(+3)-(-5)-(+7).
解： (-20)+(+3)-(-5)-(+7)
例 5 计算 (-20)+(+3)-(-5)-(+7).
=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
=[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5)]
= (-27) +(+8)
= -19.
减法法则
加法交换律、结合律
归 纳
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.
a + b - c = a + b +(-c)
算式 (-20)+(+3)+(+5)+(-7)是 -20，+3，+5，-7 这四个数的和.
为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为
-20 + 3 + 5 - 7
这个算式可以读作“负 20、正 3、正 5、负 7 的和”，或读作“负 20 加 3 加 5 减 7”.
解： (-20)+(+3)-(-5)-(+7)
例 5 计算 (-20)+(+3)-(-5)-(+7).
= -20 + 3 + 5 - 7
= -20 - 7 + 3 + 5
= -27 + 8
= -19.
例 题
例 6 计算 14–25 + 12 - 17.
解： 14–25 + 12 - 17
= 14 + 12–25 - 17
= 26 - 42
= - 16.
及时巩固
把(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+(+3)先改写成省略括号和加号的形式，再计算.
解：(+9)-(+10)+(-2)-(-8)+(+3)
= 9+(-10)+(-2)+(+8)+ 3
= 9 - 10-2 + 8 + 3
= 9 + 8 + 3 - 10 - 2
= 8
知识点睛
简化符号的规律 同号得正 异号得负
一般形式
+(+a) = +a，
-(-a) = +a
+(-a) = -a，
-(+a) = -a
有理数加减法混合运算的符号简写方法：
1. 一个数前面有偶数个“－”号，结果为正；
2. 一个数前面有奇数个“－”号，结果为负；
3. 0 前面无论有几个“－”号，结果都为 0.
探 究
在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b. 对于下列各组数 a，b .
a = 2，b = 6；a = 0，b = 6；a = 2，b = -6；a = -2，b = -6.
（1）观察点 A，B 在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
4
6
8
4
在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b. 对于下列各组数 a，b .
a = 2，b = 6；a = 0，b = 6；a = 2，b = -6；a = -2，b = -6.
探 究
（2）利用有理数的运算，你能用含有 a，b 的算式表示上述各组点 A，B 之间的距离吗？
|2-6| = 4
|0-6| = 6
|2-(-6)| = 8
|(-2)-(-6)| = 4
数轴上两点之间的距离：
在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b，则点 A，B 之间的距离为 | a－b |.
知识点睛
【教材P34】
1. 计算：
（1）1-4+3-0.5； （2）-2.4 + 3.5-4.6 + 3.5；
解：1-4+3-0.5
= -4-0.5 + 1 + 3
= -4.5 + 4
= -0.5；
-2.4 + 3.5-4.6+3.5
= -2.4-4.6 + 3.5 + 3.5
= -7 + 7
= 0；
【教材P34】
1. 计算：
（3）(-7)-(+5)+(-4)-(-10)；（4） .
(-7)-(+5)+(-4)-(-10)
= -7-5 - 4 + 10
= -16 + 10
= -6；
2. 将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算：
（1）(-52)-(+37)+(-19)-(-24)；
（2） .
（1）原式 = -52-37-19+24 = -108 +24 = -84；
（2）原式 = = = .
1. 计算：
【教材P34，习题2.2】
（1）(-10)+(+6)； （2）(+12)+(-4)；
（5）(-0.9)+(-2.7)； （6）(-2.1)+(+3.9)；
（3）(-5)+(-7)； （4）(+6.2)+(-9.3)；
-4
8
-12
-3.1
-3.6
1.8
（7） ； （8） ； （9） .
2. 计算：
（1）(-8)+ 10 + 2 +(-1)；
（2）5 +(-6)+ 3 + 9 +(-4)+(-7)；
（3）(-0.8)+ 1.2 +(-0.7)+(-2.1)+ 0.8 + 3.5；
（4） .
3
0
1.9
3. 计算：
（1）(-8)-8； （2）(-8)-(-8)； （3）8-(-8)；
（4）8-8； （5）0-6； （6）0-(-6)；
（7）16-47； （8）(-3.8)-(+7)； （9）(-5.9)-(-6.1).
-16
0
16
0
-6
6
-31
-10.8
0.2
4. 计算：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ；
（7） ； （8） .
1
-8
【教材P35】
5. 计算：
（1）-4.2+5.7-8.4+10； （2） ；
（3）12-(-18)+(-7)-15； （4）4.7-(-8.9)-7.5+(-6)；
（5） ；
（6） .
3.1
8
0.1
0
综合运用
6. 如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差多少米？
解：8848.86－(－432)
= 8848.86 + 432
= 9280.86
答：两处高度相差 9280.86 m.
-432m
7. 某地一天早晨的气温是-7℃，中午上升了 11 ℃，半夜又下降了 9 ℃，半夜的气温是多少摄氏度？
解：－7 + 11－9 = －5
答：半夜的气温是 －5℃.
8. 某食品店一星期中各天的盈亏情况如下（记盈余为正）：
432 元，-12.5 元，-10.5 元，327 元，-87 元，536.5 元，698 元.
食品店这一星期总的盈亏情况如何？
解：432 +(－12.5) + (－10.5) + 327 + (－87) + 536.5 + 698 = 1883.5
答：食品店这一星期总盈利 1883.5 元.
9. 有 8 筐白菜，以每筐 25 kg 为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：kg）如下：
1.5，-3，2，-0.5，1，-2，-2，-2.5.
这 8 筐白菜一共多少千克？
解：1.5 +(－3) + 2 + (－0.5) + 1 + (－2) + (－2)+ (－2.5) = －5.5.
25×8 + (－5.5) = 194.5.
答：这 8 筐白菜一共 194.5 kg.
【教材P36】
10. 某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所示，哪天的温差最大？哪天的温差最小？
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温℃ 10 12 11 9 7 5 7
最低气温℃ 2 1 0 -1 -4 -5 -5
解：从星期一至星期日各天的温差分别为
10－2 = 8（℃），12－1 = 11（℃），11－0 = 11（℃），
9－(－1) = 10（℃），7－(－4) = 11（℃），5－(－5) = 10（℃），
7－(－5) = 12（℃）.
8 < 10 < 11 < 12
答：星期日的温差最大，星期一的温差最小.
拓广探索
11. 填空题.
（1）_____+11 = 27； （2）7+______= 4；
（3）(-9)+____= 9； （4）12+_______= 0；
（5）(-8)+______= -15； （6）_____+(-13)= -6.
16
(－3)
18
(－12)
(－7)
7
12. 计算下列各式的值：
(-2)+(-2)，
(-2)+(-2)+(-2)，
(-2)+(-2)+(-2) +(-2) ，
(-2)+(-2)+(-2) +(-2) +(-2).
猜想下列各式的值：
(-2)×2， (-2)×3， (-2)×4， (-2)×5.
你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？
－4
－6
－8
－10
－4
－6
－8
－10
法则：负数乘正数，积为负数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
13. 某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护. 某天早晨他们从 A 地出发，晚上最终到达 B 地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下：
+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
（1）B 地在 A 地的哪个方向？它们相距多少千米？
（2）如果汽车行驶 1 km 平均耗油 a L，那么这天汽车共耗油多少升？
解：（1）(+18) + (－9) + (+7) + (－14) + (－6) + (+13) + (－6) + (－8) = －5.
答：B 地在 A 地的正南方向，它们相距 5 km.
（2）|+18| + |－9| + |+7| + |－14| + |－6| + |+13| + |－6| +
|－8| = 81，81×a = 81a.
答：这天汽车共耗油 81a L.
谢谢观看！

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