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人教版（2024）版数学7年级上册
第二章 有理数的运算
2.2.1.1有理数的乘法
2.2.1.1 有理数的乘法
有理数的乘法
七年级数学 · 上册
核心内容：乘法法则、符号规律及基础运算
学习目标
1. 理解：有理数乘法法则的推导过程，掌握“符号优先”原则
2. 掌握：正负数、零与有理数相乘的计算方法，准确率达90%以上
3. 应用：运用乘法解决简单实际问题，建立运算逻辑
旧知衔接：小学乘法意义——求几个相同加数的和的简便运算（如3×4=3+3+3+3）；有理数加减法则——先定符号，再算绝对值
情境导入：温度变化中的乘法
某城市冬季气温变化规律：每小时下降2℃，记为-2℃。已知当前气温为0℃，回答下列问题：
问题1：1小时后气温是多少？2小时后呢？3小时后呢？
列式：1小时后：0 + (-2) = -2℃
2小时后：(-2) + (-2) = -4℃
3小时后：(-2) + (-2) + (-2) = -6℃
问题2：能否用更简便的方法表示“3个-2相加”？
思考：小学中“3个2相加”可表示为2×3，那么“3个-2相加”呢？
猜想：(-2)×3 = ？ 结果是多少？
探究一：正数×负数、负数×正数的规律
结合乘法的“相同加数和”意义，推导下列算式结果：
1. 负数×正数
(-2)×3：表示3个-2相加 → (-2)+(-2)+(-2) = -6
(-3)×2：表示2个-3相加 → (-3)+(-3) = -6
(-1)×5：表示5个-1相加 → -5
规律：负数×正数 = 负数，积的绝对值 = 两个数绝对值的积
2. 正数×负数（结合乘法交换律）
小学中乘法交换律a×b = b×a，有理数中是否适用？
3×(-2)：根据交换律 = (-2)×3 = -6
5×(-4) = (-4)×5 = -20
规律：正数×负数 = 负数，积的绝对值 = 两个数绝对值的积
结论1：异号两数相乘得负，绝对值相乘
探究二：负数×负数、零×有理数的规律
1. 负数×负数（结合生活情境延伸）
回到温度问题：若每小时“上升2℃”记为+2℃，当前气温0℃，“2小时前”记为-2，那么2小时前的气温是多少？
逻辑推导：1小时前气温：0 - 2 = -2℃；2小时前气温：-2 - 2 = -4℃？ 不对，换乘法视角：
每小时上升2℃（+2），2小时前（-2），气温变化为(+2)×(-2) = -4？ 但实际应为：当前0℃，2小时前比现在低4℃，即-4℃，符合异号得负。
再看：(-2)×(-3)，结合前面规律推导：
已知(-2)×3 = -6，(-2)×2 = -4，(-2)×1 = -2，(-2)×0 = 0，那么(-2)×(-1) = 2，(-2)×(-2) = 4，(-2)×(-3) = 6
规律：负数×负数 = 正数，积的绝对值 = 两个数绝对值的积
2. 零与有理数相乘
0×5 = 0（小学知识）；0×(-3) = 0（3个0相加或交换律）；(-4)×0 = 0
规律：0与任何有理数相乘都得0
结论2：同号两数相乘得正，绝对值相乘；0乘任何数得0
核心总结：有理数乘法法则
有理数乘法运算“三步走”：
1. 定符号：判断两个乘数的符号，确定积的符号
同号（正×正、负×负）→ 积为正
2. 异号（正×负、负×正）→ 积为负
3. 有一个乘数为0 → 积为0
4. 算绝对值：计算两个乘数绝对值的乘积
5. 写结果：将第一步确定的符号与第二步计算的绝对值组合，得到最终积
乘数符号组合
积的符号
示例
正×正
正
任何数×0
0
(-7)×0 = 0
典例解析：规范解题步骤
题型1：整数类乘法（基础）
例1：计算 (-6)×(-8)
解：①定符号：负×负 = 正 ②算绝对值：6×8 = 48 ③写结果：+48 = 48
题型2：含零的乘法
例2：计算 (-9)×0×7
解：任何数×0都得0，故结果为0
题型3：小数与分数乘法
例3：计算 (-0.5)×(-4) ； (-1/3)×(-6)
解：①(-0.5)×(-4)：负×负=正，0.5×4=2 → 结果2
②(-1/3)×(-6)：负×负=正，(1/3)×6=2 → 结果2
题型4：易错题纠错
错例：(-3)×(-2) = -6 纠错：同号得正，应为6
易错提醒：先定符号再算绝对值，不要混淆符号规律；多个数相乘时，只要有一个0，积就为0
实际应用：乘法解决生活问题
1. 问题1：行程问题一潜水员在水下作业，每分钟下潜3米（记为-3米/分），5分钟后下潜的总深度是多少？解：(-3)×5 = -15（米） 答：总深度是水下15米。
2. 问题2：产量问题某工厂每月亏损2万元（记为-2万元），那么-3个月（即3个月前）的盈利情况如何？解：(-2)×(-3) = 6（万元） 答：3个月前每月盈利6万元。
3. 问题3：温度问题某地区海拔每升高100米，气温下降0.6℃（记为-0.6℃），海拔升高500米时，气温变化是多少？解：500÷100 = 5，(-0.6)×5 = -3（℃） 答：气温下降3℃。
分层练习：巩固提升
基础题（必做）
1. (-5)×(-7) = ？
2. 8×(-9) = ？
3. (-10)×0×(-1) = ？
4. (-0.2)×(-5) = ？
提升题（选做）
1. 计算：(-1/4)×(-8)×(-2) = ？
2. 某超市每天进货成本为-1000元，一周（7天）的总成本是多少？
3. 若a是正数，b是负数，判断a×b、(-a)×b的符号。
中考链接：真题感知
1. （2024·济南）计算 (-2)×3 的结果是（ ）A. 6 B. -6 C. 1 D. -1 （答案：B）
2. （2024·广州）下列计算正确的是（ ）A. (-3)×(-4) = -12 B. 5×(-2) = 10 C. (-6)×0 = 0 D. (-1)×(-1) = -1 （答案：C）
3. （2024·青岛）某数与-3的积是6，则这个数是______ （答案：-2）
课堂总结
1. 核心法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；0乘任何数得0
2. 运算步骤：定符号 → 算绝对值 → 写结果
3. 关键思想：将有理数乘法转化为“符号判断”和“小学乘法”，体现转化思想
作业布置
- 必做：课本对应练习题（标注“定符号、算绝对值”步骤）
- 选做：编一道用有理数乘法解决的生活问题，并写出解答过程
- 预习：有理数的乘法运算律
谢谢观看！
祝大家运算精准，逻辑清晰！
1.能叙述有理数乘法的法则.
2.能熟练地运用法则进行有理数乘法的运算.
引入负数后，在有理数范围内，乘法有哪几种情况？
正数 0 负数
正数
0
负数
正数×正数
正数×0
正数×负数
0×正数
0×0
0×负数
负数×正数
负数×0
负数×负数
分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？
（1）3 × 3 = 9，
3 × 2 = 6，
3 × 1 = 3，
3 × 0 = 0；
可以发现，对于（1）中的算式，随着后一乘数逐次
递减 1，积逐次递减 3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×(-1)= -3，
3×(-2)= ____，
3×(-3)= ____.
-6
-9
（2）3×3 = 9，
2×3 = 6，
1×3 = 3，
0×3 = 0.
对于（2）中的算式，随着前一乘数逐次递减 1，积逐次递减 3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
(-1)×3 = ____，
(-2)×3 = ____，
(-3)×3 = ____.
-3
-6
-9
3×3 = 9，
3×2 = 6，
3×1 = 3，
3×0 = 0；
3×3 = 9，
2×3 = 6，
1×3 = 3，
0×3 = 0.
3×(-1)= -3，
3×(-2)= ____，
3×(-3)= ____.
-6
-9
(-1)×3 = ____，
(-2)×3 = ____，
(-3)×3 = ____.
-3
-6
-9
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；
负数乘正数，积也为负数；积的绝对值等于各乘数绝对值的积．
思 考
利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？
(-3)×3 = ____，
(-3)×2 = ____，
(-3)×1 = ____，
(-3)×0 = ____.
-9
-6
-3
0
可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减 1，积逐次增加 3.
按照上述规律，下面的空格应各填什么数？从中可以归纳出什么结论？
(-3)×(-1) = ____，
(-3)×(-2) = ____，
(-3)×(-3) = ____.
3
6
9
负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
归 纳
有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
（2）任何数与 0 相乘，都得 0.
设 a，b 为正有理数，c 为任意有理数，则
(+a)×(+b) = +(a×b)，
(-a)×(-b) = +(a×b)，
(-a)×(+b) = -(a×b)，
(+a)×(-b) = -(a×b)，
c×0 = 0，0×c = 0.
两个有理数相乘，积是一个有理数.
例 题
【教材P39】
例 1 计算：
（1）8×(-1)； （2） ；（3） .
解：（1）8×(-1) = -(8×1) = -8；
（2） ；
（3） .
知识点睛
有理数乘法的运算步骤：
（1）确定积的符号；
（2）确定积的绝对值.
和 互为倒数.
乘积是 1 的两个数互为倒数.
特别提醒：
（1）倒数是两个数之间的一种关系，单独的一个数不能称其为倒数.
（2）0 没有倒数. 倒数等于它本身的数只有 1，-1.
类 型 不同点 相同点
概念 表示 性质 判定 倒 数
相 反 数 乘积是 1 的两个数互为倒数
只有符号不同的两个数互为相反数
a（a ≠ 0）的倒数是
a 的相反数是 －a
若 a，b 互为倒数，则 a·b =1
若a，b 互为相反数，则 a+b = 0
若 a·b = 1， 则 a，b 互为倒数
若 a+b = 0， 则 a，b 互为相反数
都是成对出现
例 2　用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高 1 km 气温的变化量为 -6 ℃. 登高 3 km 后，气温有什么变化？
解：（－6）×3 =－18.
答：登高 3 km 后，气温下降 18 ℃.
例 题
【教材P40】
1. 计算：
（1）6×(-9)； （2）(-4)×6； （3）(-6)×(-1)；
（4）(-6)×0； （5）(-4)× ；（6） .
-54
-24
6
0
-1
2. 商店降价销售某种商品，每件降 5 元，售出 60 件. 与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？
解：-5×60 = -300
答：销售额下降 300 元.
3. 写出下列各数的倒数：
解：其倒数依次为
1. ［2025济宁月考］时光见证信仰，岁月磨砺初心.2025年，
我们迎来了祖国母亲76周年华诞，数字76的相反数的倒数是
( )
D
A. 76 B. C. D.
返回
2. 若的运算结果为正数，则 内的数字可以为
( )
D
A. 2 B. 1 C. 0 D.
返回
3. 与 互为倒数的是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】因为，所以与 互
为倒数的是.A.；B.；C. ；
D. .故选D.
返回
4. 下列说法：
①小于 的数的倒数大于其本身；
②大于1的数的倒数小于其本身；
的倒数是0；
④互为相反数的两数相乘，积一定为负；
⑤两个有理数的积的绝对值等于这两个有理数的绝对值的积.
其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
5.［2025北京东城区期中］若，互为倒数，， 互为相反
数，，则 的值为_______.
3或
返回
6. 按如图程序计算，如果输入的数是 ，那
么输出的数是______.
7.在数，1，，5， 中任取两个数相乘，其中最大的
积是____，最小的积是_____.
15
【点拨】在数，1，，5， 中任取两个数相乘，其中
最大的积为正数，即 ，最小的积为负数，
即 .
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同 0 相乘，都得 0.
有理数乘法的步骤：
两个有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值．
谢谢观看！

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