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人教版（2024）版数学7年级上册
第二章 有理数的运算
2.2.1.2有理数的乘法运算律
知道有理数乘法的运算律，并会运用运算律简化乘法运算.
2.2.1.2 有理数的乘法运算律
有理数的乘法运算律
七年级数学 · 上册
核心内容：交换律、结合律与分配律的应用
学习目标
1. 理解：有理数乘法交换律、结合律、分配律的含义及适用性
2. 掌握：运用运算律简化有理数乘法及混合运算的方法
3. 提升：培养运算优化意识，提高复杂算式的计算效率
旧知回顾：1. 有理数乘法法则——同号得正，异号得负，绝对值相乘；2. 小学乘法运算律——交换律a×b=b×a，结合律(a×b)×c=a×(b×c)，分配律a×(b+c)=a×b+a×c
情境导入：哪种算法更简便？
计算仓库货物总重量：有3堆货物，每堆包含2箱重-5kg（破损减重）的箱子和4箱重10kg的箱子，如何快速计算总重量？
方法一：先算每堆重量，再算总重量
每堆重量：2×(-5) + 2×10 = -10 + 20 = 10(kg)
总重量：3×10 = 30(kg)
方法二：先分类算总箱数，再算重量
总破损箱数：3×2=6，总正常箱数：3×4=12
总重量：6×(-5) + 12×10 = -30 + 120 = 90(kg)？ 不对！
思考：方法二错误原因是什么？若用乘法运算律，是否有更简便的正确算法？
探究一：交换律与结合律的验证
猜想：小学乘法运算律在有理数范围内是否依然适用？通过计算验证：
1. 乘法交换律
组别
a×b
b×a
结果是否相等？
1
(-3)×4
4×(-3)
是（均为-12）
2
(-5)×(-6)
(-6)×(-5)
是（均为30）
3
0.5×(-8)
(-8)×0.5
是（均为-4）
结论：乘法交换律——文字：两个数相乘，交换因数的位置，积不变；字母：a×b = b×a（a、b为任意有理数）
2. 乘法结合律
组别
(a×b)×c
a×(b×c)
结果是否相等？
1
[(-2)×3]×(-4)
(-2)×[3×(-4)]
是（均为24）
2
(5×(-1))×(-2)
5×[(-1)×(-2)]
是（均为10）
结论：乘法结合律——文字：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变；字母：(a×b)×c = a×(b×c)（a、b、c为任意有理数）
探究二：乘法分配律的应用价值
分配律是简化“乘加混合运算”的核心工具，先验证适用性，再学应用技巧。
1. 分配律验证
计算：(-4)×(3 + (-5))
步骤：先算括号内 3 + (-5) = -2，再算(-4)×(-2) = 8
结果：8
计算：(-4)×3 + (-4)×(-5)
步骤：分别计算 (-4)×3=-12，(-4)×(-5)=20，再相加-12+20=8
结果：8
结论：乘法分配律——文字：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加；字母：a×(b + c) = a×b + a×c（逆用：a×b + a×c = a×(b + c)）
2. 分配律拓展（易错点）
当括号内为减法时，分配律依然适用，注意符号变化：
示例：(-5)×(4 - 6) = (-5)×4 - (-5)×6 = -20 + 30 = 10
易错提醒：分配律要“分配到每一项”，不能漏乘；括号内是负数时，要带着符号一起乘
核心应用：三大运算律的简化技巧
1. 技巧一：交换律+结合律——凑整凑1凑0当算式中有多个因数时，优先结合能凑成整数、1或0的因数，简化计算示例1（凑整）：(-125)×(-8)×(-3) = [(-125)×(-8)]×(-3) = 1000×(-3) = -3000示例2（凑1）：0.25×(-4)×(-7) = [0.25×(-4)]×(-7) = (-1)×(-7) = 7示例3（凑0）：(1/3)×(-9)×0×5 = 0（有0直接得0）
2. 技巧二：分配律正用——去括号简化当括号外的数与括号内各数相乘易计算时，用分配律拆括号示例：(-6)×(1/2 - 1/3 + 2) = (-6)×1/2 - (-6)×1/3 + (-6)×2 = -3 + 2 - 12 = -13
3. 技巧三：分配律逆用——合并同类项当算式中有相同因数时，逆用分配律合并，减少重复计算示例：7×(-5) + 7×(-3) - 7×2 = 7×[(-5) + (-3) - 2] = 7×(-10) = -70
典例解析：规范解题过程
题型1：多个因数相乘（交换律+结合律）
例1：计算 (-2)×(-3)×(-4)×(-5)
解：原式 = [(-2)×(-5)]×[(-3)×(-4)] （交换律+结合律，凑整）
　　 = 10×12 = 120 （同号得正，绝对值相乘）
题型2：乘加混合运算（分配律逆用）
例2：计算 3.14×(-5) + 3.14×(-13) + 3.14×18
解：原式 = 3.14×[(-5) + (-13) + 18] （逆用分配律，提取相同因数3.14）
　　 = 3.14×0 = 0 （括号内和为0，简化计算）
题型3：含分数小数的混合运算
例3：计算 (-1/4)×(-8) + (-1/2)×(6 - 8)
解：原式 = 2 + (-1/2)×6 - (-1/2)×8 （先算乘法，再用分配律）
　　 = 2 - 3 + 4 = 3 （分步计算，注意符号）
实际应用：运算律解决实际问题
1. 问题1：购物费用计算某超市促销，三种商品单价分别为-5元（打折让利）、10元、15元，各买4件，总费用是多少？解：4×(-5) + 4×10 + 4×15 = 4×[(-5) + 10 + 15] = 4×20 = 80（元）答：总费用是80元。
2. 问题2：工程进度计算一项工程，每天完成进度为-1/10（延期），3天后调整计划，每天完成进度为1/5，再干2天，总进度是多少？解：3×(-1/10) + 2×(1/5) = -3/10 + 4/10 = 1/10答：总进度完成1/10。
分层练习：巩固提升
基础题（必做）
1. (-5)×(-6)×(-2) = ？
2. (-4)×(3 + (-1/2)) = ？
3. 2×(-7) + 2×(-3) = ？
提升题（选做）
1. 计算：(-12)×(1/4 - 1/6 - 1/2) + (-3)×(-4)
2. 某工厂每月产值变化为-2万元（1-3月），4-6月每月变化为+3万元，上半年产值总变化是多少？
3. 用分配律计算：99×(-15) = ？（提示：99=100-1）
中考链接：真题感知
1. （2024·太原）计算 (-2)×3×(-4) 的结果是（ ）A. -24 B. 24 C. -12 D. 12 （答案：B）
2. （2024·苏州）计算 2×(-3) + 2×3 的结果是（ ）A. -12 B. 12 C. 0 D. -6 （答案：C）
3. （2024·宁波）运用分配律计算 (-5)×(20 - 1) 的结果是______ （答案：-95）
课堂总结
1. 三大运算律
- 交换律：a×b = b×a（换位置，积不变）
- 结合律：(a×b)×c = a×(b×c)（换顺序，积不变）
- 分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（正用拆括号，逆用合因数）
2. 核心技巧：凑整凑1凑0简化；分配律正逆用优化；符号同步跟进不遗漏
作业布置
- 必做：课本对应练习题（标注所用运算律）
- 选做：用乘法运算律计算 101×(-8) - (-8)×1 ，并说明思路
- 预习：有理数的除法法则
谢谢观看！
祝大家运算高效，技巧娴熟！
在小学我们学过乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律，例如
思考：对于有理数的乘法，它们还成立吗？
3×5 = 5×3
(3×5)×2 = 3×(5×2)
3×(5+2) = 3×5+3×2
计算 5×(-6)，(-6)×5，
所得的积相同吗？换几组乘数再试一试.
5×(-6)= -30
(-6)×5 = -30
7×(-12) (-12)×7
8×(-9) (-9)×8
= -84
= -84
= -72
= -72
一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变.
归 纳
乘法交换律：ab = ba.
[(-4)×25]×3
(-4)×[25×3]
= -300
= -300
在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
乘法结合律：(ab)c = a(bc).
特别提醒：根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.
探 究
计算
5×[3+(-7)]
5×3 + 5×(-7)
所得的结果相同吗？换几组数再试一试.
= -20
= -20
= 6
= 6
一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
归 纳
分配律：a(b + c) = ab + ac.
例 题
【教材P39】
例 3 （1）计算 2×3×0.5×(-7)；
解：（1） 2×3×0.5×(-7)
（2）用两种方法计算 .
= (2×0.5)×[3×(-7)]
= 1×(-21)
= -21
例 题
【教材P39】
例 3 （1）计算 2×3×0.5×(-7)；
（2）用两种方法计算 .
（2）解法1：
例 题
【教材P39】
例 3 （1）计算 2×3×0.5×(-7)；
（2）用两种方法计算 .
解法2：
解法1：
比较解法 1 与解法 2，它们在运算顺序上有什么区别？解法 2 用了什么运算律？哪种解法更简便？
解法2：
负因数个数 算式 积的正负
1
2
3
4
探 究
观察这些式子，它们的积是正的还是负的？
2×3×(-0.5)×(-7)
2×(-3)×(-0.5)×(-7)
(-2)×(-3)×(-0.5)×(-7)
负数
2×3×0.5×(-7)
正数
负数
正数
几个不为 0 的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？
几个不为 0 的数相乘，
负的乘数的个数是偶数时，积为正数；
负的乘数的个数是奇数时，积为负数.
如果有乘数为 0，那么积有什么特点？
0 × 2
0 × 2 × (－5)
0 × 2 × (－5) × (－16)
= 0
= 0
= 0
几个数相乘，如果其中有乘数为 0，那么积为 0.
做一做
解题策略
几个有理数相乘的方法：
几个有理数相乘
无乘数0
有乘数0
偶数个负的乘数
奇数个负的乘数
积为0
积为正
积为负
绝对值相乘
【教材P43】
1. 计算：
（1）(-85)×(-25)×(-4)；
解： (-85)×(-25)×(-4)
= -85×25×4
= -85×(25×4)
= -85×100
= -8500
（2） ；
（4） .
（3） ；
1. 下列运算过程中，错误的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
2. 小康在计算一道老师布置的作业题：计
算 时，老师告诉他：“被 盖住的数是, ,
53,95其中一个，并且这道题直接计算非常简便，”则算式中
被 盖住的数是( )
B
A. B.
C. 53 D. 95
【点拨】依题意，被 盖住的数是, ,53,95其中一个，
且被 盖住的数是17的倍数，所以算式中被 盖住的数是 .
返回
3. 在整数， ，0，6，2中，若选取两个整数分别
填入“”的和 中，并使等式成立，则选取后
填入“ ”的数字有( )
D
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【点拨】从5个数中选出使等式成立的组合有 ，
，乘法满足交换律，故有4种选择.此题易忽略乘
法交换律而漏解.
返回
4. 2 025个有理数相乘，如果积为0，那么在2 025个有理数
中( )
C
A. 全部为0 B. 只有一个数为0
C. 至少有一个数为0 D. 有两个数互为相反数
返回
5. 如图，这6个方格中每个方格上都标有一个数，且每相邻
三个数之积为6，则 的值为( )
2
B
A. B. C. 1 D. 2
【点拨】由题意，得，所以 .因为每相邻三个
数之积为6，所以，即.所以 .
返回
运算律 文字叙述 用字母表示
乘法 交换律
乘法 结合律
分配律
ab = ba
(ab)c = a(bc)
a(b+c) = ab+ac
两个数相乘，交换乘数的位置，积不变
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
多个有理数相乘的法则：
（1）几个不为 0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数.
（2）几个数相乘，如果其中有乘数为 0，那么积为 0.
谢谢观看！

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