资源简介

(共26张PPT)
人教版（2024）版数学7年级上册
第二章 有理数的运算
2.2.2.1有理数的除法
2.2.2.1 有理数的除法
有理数的除法
七年级数学 · 上册
核心内容：除法法则及与乘法的转化
学习目标
1. 理解：有理数除法的意义，掌握“除以一个数等于乘它的倒数”的核心法则
2. 掌握：有理数除法的符号规律及运算步骤，能准确计算不同类型除法
3. 应用：运用除法解决实际问题，衔接乘法运算律简化计算
旧知衔接：1. 有理数乘法法则——同号得正，异号得负，绝对值相乘；2. 倒数定义——乘积为1的两个数互为倒数（如2与1/2，-3与-1/3）；3. 小学除法意义——已知积与一个因数，求另一个因数
情境导入：分配问题中的除法
问题1：3名同学平均分6元零花钱，每人分得多少元？ 小学计算：6÷3 = 2（元）
问题2：3名同学平均分-6元（共同承担罚款），每人承担多少元？ 如何计算 (-6)÷3 ？
问题3：-3名同学（假设情境：反向分配）分6元，每人分得多少元？ 如何计算 6÷(-3) ？
思考：除法是乘法的逆运算，能否利用有理数乘法推导除法结果？
探究一：有理数除法与乘法的关系
根据“除法是乘法的逆运算”，已知积和一个因数，求另一个因数，推导除法结果：
除法问题（求另一个因数）
转化为乘法问题（积=因数×因数）
除法结果
符号规律
6÷3 = ？
3×( ) = 6 → 3×2=6
2
正÷正=正
(-6)÷3 = ？
3×( ) = -6 → 3×(-2)=-6
-2
负÷正=负
6÷(-3) = ？
-3×( ) = 6 → -3×(-2)=6
-2
正÷负=负
(-6)÷(-3) = ？
-3×( ) = -6 → -3×2=-6
2
负÷负=正
0÷5 = ？
5×( ) = 0 → 5×0=0
0
0÷正数=0
0÷(-4) = ？
-4×( ) = 0 → -4×0=0
0
0÷负数=0
重要提醒：0不能作除数（如5÷0无意义，因为没有一个数与0相乘得5）
探究二：有理数除法法则与运算步骤
1. 核心法则（两种表述，本质统一）
法则一（直接除法）
①同号两数相除得正，异号两数相除得负；
②绝对值相除；
③0除以任何不为0的数都得0。
适用：被除数、除数易求绝对值的情况
法则二（转化为乘法）
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
字母表示：a÷b = a×(1/b)（b≠0）
适用：除数为分数或小数的情况
2. 运算“三步法”
1. 定符号：根据被除数和除数的符号，确定商的符号（同正异负）；
2. 选法则：整数除法用法则一，分数/小数除法用法则二转化为乘法；
3. 算结果：按对应法则计算绝对值，结合符号得最终结果。
示例：计算 (-12)÷(-3) ； (-8)÷(2/3)
① (-12)÷(-3)：定符号（正）→ 法则一（12÷3=4）→ 结果4；
② (-8)÷(2/3)：定符号（负）→ 法则二（-8×3/2）→ 计算（-12）→ 结果-12。
典例解析：覆盖常见题型
题型1：整数与整数相除
例1：(-24)÷4 ； (-36)÷(-6)
解：①(-24)÷4：异号得负，24÷4=6 → 结果-6；
②(-36)÷(-6)：同号得正，36÷6=6 → 结果6。
题型2：含0的除法
例2：0÷(-7) ； (-5)÷0（判断）
解：①0÷(-7)=0；②(-5)÷0无意义（0不能作除数）。
题型3：小数与分数相除
例3：(-0.5)÷(-1/4) ； 3.6÷(-0.6)
解：①(-0.5)÷(-1/4)=(-1/2)×(-4)=2；
②3.6÷(-0.6)= - (3.6÷0.6)= -6。
题型4：乘除混合运算
例4：(-8)×(-3)÷(-6) （提示：从左到右计算，或统一转化为乘法）
解：原式=24÷(-6)= -4 或 原式=(-8)×(-3)×(-1/6)= -4。
技巧：乘除混合运算中，可先确定所有符号（负因数个数为奇数则结果负，偶数则正），再计算绝对值的乘除
实际应用：解决生活问题
1. 问题1：平均分问题某小组5名同学的数学竞赛总得分是-10分（相对于平均分），平均每人得分相对于平均分是多少？解：(-10)÷5 = -2（分） 答：平均每人低2分。
2. 问题2：速度计算一辆汽车沿直线行驶，2小时内行驶了-120千米（表示反向行驶），汽车的平均速度是多少？解：速度=路程÷时间，(-120)÷2 = -60（千米/时） 答：平均速度是60千米/时，方向与正方向相反。
3. 问题3：浓度问题用-3千克盐（表示取出盐）配制浓度为-0.1千克/升的盐水（反向浓度），能配制多少升盐水？解：体积=盐的质量÷浓度，(-3)÷(-0.1) = 30（升） 答：能配制30升盐水。
综合提升：除法转化后用运算律简化
当算式中同时有乘除和加减时，先将除法转化为乘法，再运用乘法运算律简化计算
例题：计算 (-1/4 + 1/6 - 1/2) ÷ (-1/12)
分析：除数为分数，先转化为乘法，再用分配律简化
解题过程：
步骤1：转化为乘法：(-1/4 + 1/6 - 1/2) × (-12) （除以-1/12等于乘-12）
步骤2：运用分配律：(-1/4)×(-12) + (1/6)×(-12) - (1/2)×(-12)
步骤3：分别计算：3 - 2 + 6 = 7
结果：7
优势：用分配律避免通分，大幅简化计算，体现“转化思想”的核心价值
分层练习：巩固提升
基础题（必做）
1. (-18)÷(-9) = ？
2. 25÷(-5) = ？
3. 0÷(-100) = ？
4. (-0.8)÷(0.2) = ？
提升题（选做）
1. 计算：(-1/3)÷(-2/3)×(-3) = ？
2. 计算：(1/2 - 2/3 + 3/4) ÷ (-1/12) = ？
3. 某物体质量变化为-6千克，分3次均匀变化，每次变化多少千克？
中考链接：真题感知
1. （2024·西安）计算 (-6)÷(-2) 的结果是（ ）A. -3 B. 3 C. -12 D. 12 （答案：B）
2. （2024·武汉）下列计算正确的是（ ）A. 0÷(-5) = -5 B. (-8)÷4 = 2 C. (-12)÷(-3) = 4 D. 6÷(-1/2) = -3 （答案：C）
3. （2024·重庆）计算 (1/3 - 1/2) ÷ (-1/6) = ______ （答案：1）
课堂总结
1. 核心法则：a÷b = a×(1/b)（b≠0）；同号得正，异号得负，绝对值相除；0÷非0数=0
2. 运算关键：①0不能作除数；②符号优先判断；③除法转乘法后可灵活用运算律
3. 思想方法：将除法（新运算）转化为乘法（已学运算），转化思想是数学核心思想之一
作业布置
- 必做：课本对应练习题（标注转化过程和所用法则）
- 选做：记录自己一周的零花钱支出（正表示收入，负表示支出），计算平均每天的收支情况
- 预习：有理数的乘方
谢谢观看！
祝大家运算精准，思路清晰！
能表述出有理数除法法则.
会运用法则进行有理数除法运算.
你能很快地说出下列各数的倒数吗？
a 5 7 0 1
a的倒数
1
(1) 乘积是 1 的两个数互为倒数.
(2) 0 没有倒数.
8×9 =_____，
72÷9 =_____，
(－4)×3 =_____，
(－12)÷3 =_____，
2×(－3) =_____，
(－6)÷2 =_____，
(－4)×(－3) =_____，
12÷(－4) =_____，
0×(－6) =_____，
0÷(－6) =_____.
72
8
－12
－4
－6
－3
12
－3
0
0
观察右侧算式，思考两个有理数相除时：
除法能否转化为乘法？商的符号如何确定？
商的绝对值如何确定？
怎样计算 8÷(-4)？
根据除法是乘法的逆运算，计算 8÷(-4)，就是 要求一个数，使它与 -4 相乘得 8.
因为 (-2)×(-4)= 8，
所以 8÷(-4)= -2 .
另一方面，我们有 8×(- )= -2 .
于是有 8÷(-4)= 8×(- ) .
8÷(-4)= 8×(- ) .
一个数除以 -4，等于乘 -4 的倒数 - .
换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以 a(a ≠ 0)可以转化为乘 ？
12÷(-6)
12×(- )
= -2
= -2
有理数除法法则1：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
表达式为：
a ÷ b = a × （b ≠ 0）
除号变乘号
除数变倒数作因数
72÷9 =______=____，
(－12)÷(－ ) =_____________=____，
(－ )÷2 =________=____，
12÷(－ ) =________=_____，
0÷(－6) =________=____.
8
(－12)×(－4)
48
－16
0
同号两数相除，转变成同号两数相乘，结果得正
异号两数相除，转变成异号两数相乘，结果得负
零除以任何非零数得零
观察思考
观察上面的算式，看看商的符号及其绝对值与除数、被除数有什么关系？
法则2：两数相除，同号得____，异号得____，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得____.
正
负
0
（1）如果 a<0，b>0，那么 ab____0， ____0.
（2）如果 a>0，b<0，那么 ab____0， ____0.
（3）如果 a<0，b<0，那么 ab____0， ____0.
（4）如果 a=0，b≠0，那么 ab____0， ____0.
<
<
<
<
>
>
=
=
0÷(－ )
0÷(－3)
计算：
= 0×(－ ) = 0
= 0×(－ ) = 0
0可以作除数吗？为什么？
例 题
【教材P44】
例 4 计算：
（1）(-36)÷9； （2） .
解：（1） (-36)÷9 = -(36÷9) = -4；
（2） .
解题策略
有理数除法的两个法则的灵活选用：如果被除数和除数都是整数（或小数），且能整除，一般选用法则 2 计算，其他情况一般选用法则 1.
例 5 化简：
（1） ； （2） .
解：（1） =(-2)÷3 = -(2÷3)= ；
（2） =(-45)÷(-12) = 45÷12 = .
带有分数线的数可以理解为分子除以分母.
一般地，根据有理数的除法，形如 （p，q 是整数，q ≠ 0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为 1 的分数）.
这样，有理数就是形如 （p，q 是整数，q ≠ 0）的数.
（1） ；（2） ；（3） .
化简：
巩固练习
解：（1） = (－3)÷5 = －(3÷5) = ；
（2） = 4÷(－12) = －(4÷12) = ；
（3） = －[(－8)÷2.4] = 8÷2.4 = .
（a，b 是有理数，b ≠ 0）
【教材P45】
1. 计算：
（1）(-18)÷6； （2）(-63)÷(-7)；
（3）1÷(-9)； （4）0÷(-8)；
（5）(-6.5)÷0.13； （6） .
= -3
= 9
= 0
= -50
= 3
2. 化简：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
解：（1） =(-72)÷9 = -(72÷9)= -8；
（2） =(-30)÷(-45) = 30÷45 = ；
（3） = 0÷(-75) = 0；
（4） = 27÷(-6) = -(27÷6) = .
1. 下列计算不正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 母题教材P45练习 下列化简：; ;
;; .其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 在算式中，“ ”内填入下列运算
符号，使得算式的值最大的是( )
D
A. B. - C. × D.
【点拨】，， ，
，因为，所以在“ ”中填
入运算符号“ ”使运算结果最大.故选D.
返回
4. 两个不为0的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，
那么( )
D
A. 两数相等 B. 两数互为相反数
C. 两数互为倒数 D. 两数相等或互为相反数
5.已知，，且，则 ____.
【点拨】因为，，且 ，
所以，或，.所以 .
返回
有理数除法法则：
除法 法则1
除法 法则2
除法一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
即：a÷b = a· (b ≠ 0)
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0
谢谢观看！

展开更多......

收起↑