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人教版（2024）版数学7年级上册
第二章 有理数的运算
2.3.1.1有理数的乘方
知道有理数乘方的意义，能说出乘方运算、幂、底数、指数等概念.
能正确进行有理数乘方运算.
2.3.1.1 有理数的乘方
有理数的乘方
七年级数学 · 上册
核心内容：乘方概念、符号法则及基础运算
学习目标
1. 理解：乘方、幂、底数、指数的定义及意义，掌握乘方的表示方法
2. 掌握：有理数乘方运算的符号规律，能准确进行乘方运算
3. 应用：运用乘方解决简单实际问题，体会“化繁为简”的数学思想
旧知衔接：1. 有理数乘法法则——同号得正，异号得负，绝对值相乘；2. 乘法本质——相同加数的加法简便运算，如3×4=3+3+3+3；3. 混合运算基础——已掌握加减乘除的运算顺序，为后续含乘方的混合运算铺垫
情境导入：生活中的“倍乘”现象
问题1：折纸中的层数变化
一张白纸对折1次得2层，对折2次得4层，对折3次得8层……对折n次后，层数是多少？
记录：对折1次：2=2；对折2次：2×2=4；对折3次：2×2×2=8；对折5次：2×2×2×2×2=？
问题2：细胞分裂中的数量增长
一个细胞每小时分裂1次（1个变2个），3小时后细胞总数是多少？5小时后呢？
记录：1小时后：2；2小时后：2×2；3小时后：2×2×2；5小时后：2×2×2×2×2=？
思考：当相同因数的乘法中，因数个数较多时（如10个2相乘），书写和计算都很繁琐，有没有简便的表示方法？
探究一：乘方的本质——相同因数的乘法简便运算
1. 概念建立
观察：2×2×2×2×2（5个2相乘），这种求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
表示方法：n个a相乘记为a，读作“a的n次幂”或“a的n次方”。
a = a × a × ... × a（共n个a）
其中：a——底数（相同的因数）；n——指数（相同因数的个数，正整数）
2. 基础辨析
乘方表示
底数
指数
读法
展开形式
3
3
4
3的4次幂
3×3×3×3
(-2)
-2
3
负2的3次幂
(-2)×(-2)×(-2)
-2
2
3
2的3次幂的相反数
-(2×2×2)
(1/2)
1/2
2
二分之一的2次幂
(1/2)×(1/2)
关键提醒：负数或分数作底数时，必须加小括号，否则符号或分母不参与乘方运算（如(-2)与-2意义完全不同）；一个数的1次幂就是它本身，指数1通常省略，如5=5
探究二：有理数乘方的符号规律
根据有理数乘法法则，结合乘方与乘法的关系，通过计算下列乘方，总结符号规律：
正数的乘方
2=2×2=4（正）
2=2×2×2=8（正）
(1/3)=(1/3)×(1/3)×(1/3)×(1/3)=1/81（正）
结论：正数的任何次幂都是正数
负数的乘方
(-2)=(-2)×(-2)=4（正）
(-2)=(-2)×(-2)×(-2)=-8（负）
(-1/2)=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2)×(-1/2)=1/16（正）
(-1/2)=(-1/2)×(-1/2)=-1/32（负）
结论：负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数
0的乘方
0=0×0=0
0=0×0×0×0×0=0
0=0
结论：0的任何正整数次幂都是0
记忆口诀：正幂全正不用愁，负幂符号看指数；奇次负来偶次正，0的任何次幂都为0
典例解析：规范乘方运算过程
题型1：直接计算乘方（确定符号→算绝对值）
例1：计算 (1) 3；(2) (-3)；(3) -3；(4) (2/5)
解：(1) 3：正数的偶次幂为正，3×3×3×3=81 → 结果81；
　　(2) (-3)：负数的奇次幂为负，3×3×3=27 → 结果-27；
　　(3) -3：先算3=81，再取相反数 → 结果-81；
　　(4) (2/5)：正数的偶次幂为正，(2×2)/(5×5)=4/25 → 结果4/25。
题型2：乘方与四则运算结合（先乘方，后乘除，再加减）
例2：计算 2×(-3) - 4÷(-2)
解：①先算乘方：(-3)=9，(-2)=-8；
　　②再算乘除：2×9=18，4÷(-8)=-0.5，即-4÷(-8)=0.5；
　　③最后算加减：18 + 0.5 = 18.5（或37/2）；
　　结果：18.5
题型3：利用乘方解决实际问题
例3：若纸的厚度为0.1mm，将纸连续对折8次后，总厚度是多少mm？
解：对折n次的层数为2，总厚度=层数×单张厚度；
　　对折8次的层数：2=256；
　　总厚度：256×0.1=25.6（mm）；
　　答：总厚度是25.6mm。
易错点警示：避开乘方“陷阱”
易错类型
错误示例
错误原因
正确解法
底数范围混淆
-2=(-2)×(-2)=4
未加括号时，负号不属于底数，不参与乘方
-2=-(2×2)=-4
分数乘方错误
1/2=1/(2)=1/8（此步正确）；错例：(1/2)=1/2×3=3/2
将指数与底数相乘，混淆乘方与乘法意义
(1/2)=(1×1×1)/(2×2×2)=1/8
符号判断错误
(-1)=-1，(-1)=1
记错负数乘方的符号规律，奇次幂为负、偶次幂为正记反
(-1)=1（偶次正），(-1)=-1（奇次负）
运算顺序颠倒
2×3=(2×3)=36
先算乘法后算乘方，违背“先乘方后乘除”的顺序
2×3=2×9=18
综合提升：乘方的拓展技巧
1. 乘方的符号特性应用
例：已知|a-2| + (b+3)=0，求(a+b)的值。
解：∵绝对值和平方数均为非负数，和为0则各自为0；
　　∴a-2=0 → a=2；b+3=0 → b=-3；
　　∴a+b=2+(-3)=-1；
　　∴(a+b)=(-1)=-1。
2. 乘方的规律探究
例：观察3=3，3=9，3=27，3=81，3=243……猜想3的个位数字是多少？
解：个位数字周期为4：3、9、7、1循环；
　　2025÷4=506……1，余数为1对应周期第一个数字；
　　∴3的个位数字是3。
分层练习：巩固提升
基础题（必做）
1. 计算：(-5)=______，-5=______，(1/4)=______
2. 计算：3×(-2) - (-1) = ______
3. 判断：(-1/3)与-1/3的结果相等吗？为什么？
提升题（选做）
1. 计算：(-0.125)×8（提示：利用乘法结合律）
2. 某细胞初始数量为1个，每天数量变为前一天的2倍，7天后细胞总数是多少？
3. 已知x=4，求x的值（提示：考虑平方的符号特性）
中考链接：真题感知
1. （2024·济南）计算 (-2) 的结果是（ ）A. -8 B. 8 C. -6 D. 6 （答案：A）
2. （2024·成都）计算 2 + (-3)（注：任何非0数的0次幂为1）的结果是（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 （答案：A）
3. （2024·广州）已知|m+1| + (n-2)=0，则m的值为______ （答案：1）
课堂总结
1. 核心概念：乘方是相同因数乘法的简便运算，a中a为底数，n为指数，结果为幂
2. 符号规律：正正任意，负奇负、负偶正，0的正整数次幂为0
3. 运算顺序：含乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减
作业布置
- 必做：课本对应练习题（标注每步运算依据，如“负数奇次幂为负”）
- 选做：收集生活中运用乘方的实例（如人口增长、细菌繁殖等），并尝试用乘方表示其数量关系
- 预习：含乘方的有理数混合运算
谢谢观看！
祝大家概念清晰，运算精准！
边长为 2 cm 的正方形的面积是
2×2 = 4（cm2）
棱长为 2 cm 的正方体的体积是
2×2×2 = 8（cm3）
这两个算式有什么特点？
2×2，2×2×2 都是相同乘数的乘法.
为了简便，我们将它们分别记作 22，23.
22 读作“2 的平方”（或“2 的 2 次方”）
23 读作“2 的立方”（或“2 的 3 次方”）
记作_______，
记作_______，
读作______________.
读作______________.
的 4 次方
的 5 次方
如果是几个负整数、负分数相乘呢？
同样地，
(-2)×(-2)×(-2)×(-2) 记作_______，
读作______________.
(-2)4
-2 的 4 次方
记作_______，
读作______________.
- 的 5 次方
乘方的概念
类型 概念 示例
乘方
幂
底数 指数 求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方
a · a · … · a = an
n 个
乘方的结果叫作幂
在 an 中，a 叫作底数
在 an 中，n 叫作指数
an
底数
幂
指数
an 看作一种运算，读作“a 的 n 次方”；
an 看作乘方的结果，也可读作“a 的 n 次幂”.
读法：
特别提醒
（1）an 表示 n 个 a 相乘，其中 a 表示相同的乘数，n 表示相同乘数的个数.
（2）一个数可以看作这个数本身的 1 次方. 例如，5 就是 51. 指数 1 通常省略不写. 指数是 2 时可读作平方，指数是 3 时可读作立方.
思 考
－24 和 (－2)4 的意义一样吗？结果一样吗？
－24 的意义是 24 的相反数，
(－2)4 的意义是 －2 的四次方，
－24 和 (－2)4 的意义不一样.
－24 = －(2×2×2×2) = －16，
(－2)4 = (－2)×(－2)×(－2)×(－2) = 16，
－24 和 (－2)4 的结果不一样.
例 题
【教材P51】
例 1 计算：
（1）(-4)3； （2）(-2)4； （3） .
解：（1）(-4)3 = (-4)×(-4)×(-4) = -64；
（2）(-2)4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 16；
（3） .
探 究
请再举一些计算乘方的例子，结合例 1，你发现负数的幂的正负与指数有什么关系？
(-3)4
(-5)3
(-1)5
(-1)6
= 81
= -125
= -1
= 1
幂的奇/偶
结果
偶数
正数
奇数
负数
奇数
负数
偶数
正数
有理数的乘方运算的符号规律：
归 纳
符号
规律
负数
正数
0
负数的奇次幂是负数
负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数
0 的任何正整数次幂都是 0
巩固训练
1. 把乘法形式写成幂的形式.
（1）(－3)×(－3)×(－3)×(－3) = ______.
（2）－5×5×5 = ______.
(－3)4
－53
（2） =
2. 把幂的形式写成乘法形式.
（1） =
拓 展
（1）互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数.
若 a + b = 0，则 a2n+1 + b2n+1 = 0（n 为自然数）.
（2）互为相反数的两个数的偶次幂相等.
若 a + b = 0，则 a2n = b2n （n 为正整数）.
an，－an 与 (－a)n 的异同点与联系：
幂 an －an (－a)n
相同点 不 同 点 意义不同
底数不同
联 系 n为奇数 n为偶数 n为正整数 指数都是 n
n 个 a 相乘的积
n 个 a 相乘的积的相反数
n 个 -a 相乘的积
a
a
-a
－an = (－a)n，它们分别与 an 互为相反数（a ≠ 0）
an = (－a)n，它们分别与 －an 互为相反数（a ≠ 0）
当 a = 0 时，an = －an = (－a)n = 0
例 题
【教材P52】
例 2 用计算器计算 (-8)5 和 (-3)6.
解：用带符号键 的计算器，有
(-)
(
(-)
8
)
5
=
显示结果为
-32768
(
(-)
3
)
6
=
显示结果为
729
因此，(-8)5 = -32768,(-3)6 = 729.
练 习
1.
（1）(-7)8 中，底数、指数各是什么？
（2）(-10)8 中，-10 叫作什么数？8 叫作什么数？
(-10)8 是正数还是负数？
解：（1）底数是 -7，指数是 8.
（2） -10 叫作底数， 8 叫作指数，(-10)8 是正数.
【教材P52】
2. 计算：
（1）(-1)10；（2）(-1)7；（3）83；（4）(-5)3；
（5）0.13；（6）(- )4；（7）(-10)4；（8）(-10)5.
1
-1
512
-125
0.001
10000
-100000
1. 母题教材P52练习 下列说法正确的是( )
C
A. 的底数是 B. 表示5个2相加
C. 的底数是 D. 与 的意义相同
【解析】的底数是2；表示5个2相乘； 的底数是
；与 的意义不相同.
返回
2. 与下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 当是正整数时, 的值是( )
B
A. 2 B. C. 0 D. 2或
返回
4. 下列各组数中，运算结果相等的是( )
A
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【解析】因为， ,所以
；因为，，所以 ；因为
，，所以 ；因为
，，所以 .故选A.
返回
5. 如图，某种细胞每过 便由1个分
裂成2个.经过 ，这种细胞能由1个分裂成( )
D
A. 12个 B. 个
C. 个 D. 个
类型 概念 示例
乘方
幂
底数 指数 求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方
a · a · … · a = an
n 个
乘方的结果叫作幂
在 an 中，a 叫作底数
在 an 中，n 叫作指数
an
底数
幂
指数
谢谢观看！

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