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人教版（2024）版数学7年级上册
第二章 有理数的运算
2.3.1.2有理数的混合运算
知道有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序.
会进行有理数的混合运算.
2.3.1.2 有理数的混合运算
有理数的混合运算
七年级数学 · 上册
核心内容：含乘方的混合运算顺序、简便运算技巧及易错点规避
学习目标
1. 掌握：含乘方的有理数混合运算“先乘方，再乘除，最后加减”的核心顺序，以及括号优先规则
2. 运用：结合运算律简化混合运算，提升运算效率与准确性
3. 规避：识别并避开混合运算中的常见易错点，建立规范的解题流程
旧知衔接：1. 乘方运算——a 中底数、指数的识别及符号规律（负奇负、负偶正）；2. 四则运算顺序——先乘除后加减，同级运算从左到右；3. 运算律——乘法交换律、结合律、分配律（简化运算核心工具）；4. 括号规则——先小括号，再中括号，最后大括号
情境导入：运算顺序的重要性
问题1：顺序混淆的后果
计算 2 + 3×(-2) ，小明的解法：2 + 3×4=2+12=14（正确）；小红的解法：(2+3)×4=20（错误）。为什么结果不同？
关键：未遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，先算了加法。
问题2：含括号的运算
计算 [2 - (-3) ] ÷ (-5)，若先算中括号外的除法，会得到什么错误结果？正确步骤应是什么？
提示：括号优先，先算小括号内的乘方，再算中括号内的加减，最后算除法。
思考：当一个算式同时包含乘方、乘除、加减和括号时，如何建立清晰的运算流程？哪些运算律可以帮助简化计算？
探究一：含乘方的混合运算“黄金顺序”
1. 运算顺序分级（从高到低）
一级运算：加减（最低级，最后算）；二级运算：乘除（中间级，次后算）；三级运算：乘方（最高级，最先算）
核心顺序口诀：三级优先，二级随后，一级最后；同级运算左到右，括号里面优先算（小→中→大）
2. 顺序验证：通过对比计算强化理解
综合算式
正确步骤（按顺序）
错误步骤（逆顺序）
结果对比
10 - 2 ÷ (-2)
①乘方：2 =8；②除法：8÷(-2)=-4；③减法：10 - (-4)=14
①减法：10-2=8；②乘方：8 =512；③除法：512÷(-2)=-256
正确14，错误-256
(-3)×[4 - (-2) ]
①小括号乘方：(-2) =4；②中括号加减：4-4=0；③乘法：(-3)×0=0
①乘法：(-3)×4=-12；②乘方：-12 =-144；③减法：-144 - (-4)=-140
正确0，错误-140
致命错误提醒：同级运算必须“从左到右”，不可先算右侧；括号内的运算也需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”，不可简化步骤
探究二：运算律简化技巧（核心提升）
混合运算中，合理运用运算律可减少复杂计算，核心思路：“先凑整、再结合、后分配”，优先处理乘方部分后再应用技巧。
1. 技巧1：乘法分配律——拆分括号或提取公因数当括号外的数与括号内各数相乘易计算，或算式中有相同因数时，用分配律简化。示例1（拆括号）：(-2) ×(1/4 - 1/2 + 3) = (-8)×1/4 - (-8)×1/2 + (-8)×3 = -2 + 4 - 24 = -22示例2（提公因数）：3 ×5 + 3 ×(-3) - 3 ×2 = 9×(5 - 3 - 2) = 9×0 = 0
2. 技巧2：同级运算结合律——凑整凑0凑1加减同级运算结合能凑整的数，乘除同级运算结合能凑1或整的数，减少计算量。示例：(-125)×(-8) + 2 - (-3)×4 = 1000 + 16 + 12 = 1028
3. 技巧3：先算乘方再转化——统一运算类型含乘方的混合运算，先完成乘方计算，再将除法转化为乘法，便于运用运算律。示例：(-1/2) ÷ (-1/4) + (-3) = (1/4)×(-4) + (-27) = -1 -27 = -28
关键提醒：负数或分数作底数时，必须加小括号，否则符号或分母不参与乘方运算（如(-2)与-2意义完全不同）；一个数的1次幂就是它本身，指数1通常省略，如5=5
探究二：有理数乘方的符号规律
根据有理数乘法法则，结合乘方与乘法的关系，通过计算下列乘方，总结符号规律：
正数的乘方
2=2×2=4（正）
2=2×2×2=8（正）
(1/3)=(1/3)×(1/3)×(1/3)×(1/3)=1/81（正）
结论：正数的任何次幂都是正数
负数的乘方
(-2)=(-2)×(-2)=4（正）
(-2)=(-2)×(-2)×(-2)=-8（负）
(-1/2)=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2)×(-1/2)=1/16（正）
(-1/2)=(-1/2)×(-1/2)=-1/32（负）
结论：负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数
0的乘方
0=0×0=0
0=0×0×0×0×0=0
0=0
结论：0的任何正整数次幂都是0
记忆口诀：正幂全正不用愁，负幂符号看指数；奇次负来偶次正，0的任何次幂都为0
典例解析：规范乘方运算过程
题型1：直接计算乘方（确定符号→算绝对值）
例1：计算 (1) 3；(2) (-3)；(3) -3；(4) (2/5)
解：(1) 3：正数的偶次幂为正，3×3×3×3=81 → 结果81；
　　(2) (-3)：负数的奇次幂为负，3×3×3=27 → 结果-27；
　　(3) -3：先算3=81，再取相反数 → 结果-81；
　　(4) (2/5)：正数的偶次幂为正，(2×2)/(5×5)=4/25 → 结果4/25。
题型2：乘方与四则运算结合（先乘方，后乘除，再加减）
例2：计算 2×(-3) - 4÷(-2)
解：①先算乘方：(-3)=9，(-2)=-8；
　　②再算乘除：2×9=18，4÷(-8)=-0.5，即-4÷(-8)=0.5；
　　③最后算加减：18 + 0.5 = 18.5（或37/2）；
　　结果：18.5
题型3：利用乘方解决实际问题
例3：若纸的厚度为0.1mm，将纸连续对折8次后，总厚度是多少mm？
解：对折n次的层数为2，总厚度=层数×单张厚度；
　　对折8次的层数：2=256；
　　总厚度：256×0.1=25.6（mm）；
　　答：总厚度是25.6mm。
易错点警示：避开乘方“陷阱”
易错类型
错误示例
错误原因
正确解法
底数范围混淆
-2=(-2)×(-2)=4
未加括号时，负号不属于底数，不参与乘方
-2=-(2×2)=-4
分数乘方错误
1/2=1/(2)=1/8（此步正确）；错例：(1/2)=1/2×3=3/2
将指数与底数相乘，混淆乘方与乘法意义
(1/2)=(1×1×1)/(2×2×2)=1/8
符号判断错误
(-1)=-1，(-1)=1
记错负数乘方的符号规律，奇次幂为负、偶次幂为正记反
(-1)=1（偶次正），(-1)=-1（奇次负）
运算顺序颠倒
2×3=(2×3)=36
先算乘法后算乘方，违背“先乘方后乘除”的顺序
2×3=2×9=18
综合提升：乘方的拓展技巧
1. 乘方的符号特性应用
例：已知|a-2| + (b+3)=0，求(a+b)的值。
解：∵绝对值和平方数均为非负数，和为0则各自为0；
　　∴a-2=0 → a=2；b+3=0 → b=-3；
　　∴a+b=2+(-3)=-1；
　　∴(a+b)=(-1)=-1。
2. 乘方的规律探究
例：观察3=3，3=9，3=27，3=81，3=243……猜想3的个位数字是多少？
解：个位数字周期为4：3、9、7、1循环；
　　2025÷4=506……1，余数为1对应周期第一个数字；
　　∴3的个位数字是3。
分层练习：巩固提升
基础题（必做）
1. 计算：(-5)=______，-5=______，(1/4)=______
2. 计算：3×(-2) - (-1) = ______
3. 判断：(-1/3)与-1/3的结果相等吗？为什么？
提升题（选做）
1. 计算：(-0.125)×8（提示：利用乘法结合律）
2. 某细胞初始数量为1个，每天数量变为前一天的2倍，7天后细胞总数是多少？
3. 已知x=4，求x的值（提示：考虑平方的符号特性）
中考链接：真题感知
1. （2024·济南）计算 (-2) 的结果是（ ）A. -8 B. 8 C. -6 D. 6 （答案：A）
2. （2024·成都）计算 2 + (-3)（注：任何非0数的0次幂为1）的结果是（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 （答案：A）
3. （2024·广州）已知|m+1| + (n-2)=0，则m的值为______ （答案：1）
课堂总结
1. 核心概念：乘方是相同因数乘法的简便运算，a中a为底数，n为指数，结果为幂
2. 符号规律：正正任意，负奇负、负偶正，0的正整数次幂为0
3. 运算顺序：含乘方的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减
作业布置
- 必做：课本对应练习题（标注每步运算依据，如“负数奇次幂为负”）
- 选做：收集生活中运用乘方的实例（如人口增长、细菌繁殖等），并尝试用乘方表示其数量关系
- 预习：含乘方的有理数混合运算
谢谢观看！
祝大家概念清晰，运算精准！
符号 计算绝对值
加法
减法 乘法
除法
乘方 同号取相同的符号
绝对值相加
异号取绝对值大的符号
绝对值相减
减去一个数等于加上这个数的相反数
同号得正
异号得负
绝对值相乘
同号得正
异号得负
绝对值相除
除以一个不为 0 的数等于乘以这个数的倒数
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
【教材P53】
例 3 计算：
（1）2×(-3)3-4×(-3)+ 15；
一级运算（加减运算）
左边算式中包含哪几种运算？
二级运算（乘法运算）
三级运算（乘方运算）
【教材P53】
例 3 计算：
（1）2×(-3)3-4×(-3)+ 15；
解：（1）原式 = 2×(-27)-(-12)+ 15
= -54 + 12 + 15
= -27；
乘方运算
乘法运算
加减运算
（2）原式 = -8 + (-3)×(-16 + 2)-9÷(-2)
（2）(-2)3+(-3)×(-42 + 2)-(-3)2÷(-2).
= -8 + (-3)×(-14)-(-4.5)
= -8 + 42 + 4.5
= -38.5
有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
归 纳
及时巩固
计算：（1） ；
解：原式 = ；
在运算过程中，先将带分数化为假分数、小数化为分数再进行计算较为简便.
（2）(-4)×[(-3)2 + 2]-(-3)3÷2 .
原式 = (-4)×(9 + 2)-(-27)÷2
= (-4)×11+13.5
= -44+13.5
= -30.5
（3）－22 + (－2)4× －| 0.28 |÷ .
原式 = -4 + 16× - 0.28 ÷
= -4 + 2 - 0.28 × 100
= - 2 - 28
= - 30.
拓 展
有理数的基本运算分为三级：
加与减是第一级运算，
乘与除是第二级运算，
乘方是第三级运算.
例 题
【教材P53】
例 4 观察下面三行数：
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6，18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…. ③
（1）第①行中的数可以看成按什么规律排列？
解：第①行中的数可以看成按如下规律排列：
-2，(-2)2，(-2)3，(-2)4，… .
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6，18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…. ③
（2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
对比第①②两行中位置对应的数，可以发现：第②行中的数是第①行中相应的数加 2，即
-2+2，(-2)2+2，(-2)3+2，(-2)4+2，… .
对比第①③两行中位置对应的数，可以发现：第③行中的数是第①行中相应数的 ，即
(-2)× ，(-2)2× ，(-2)3× ，(-2)4× ，… .
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6，18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…. ③
（2）第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6，18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…. ③
（3）取每行中的第 10 个数，计算这三个数的和.
(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×
= 1024 +(1024+2)+ 1024×
= 1024 +1026 + 512
= 2562
练 习
1. 计算：
（1）(-1)10 ×2+(-2)3÷4；
【教材P54】
（2）(-5)3 -3×(- )4；
解：原式 = 1×2+(-8)÷4
= 2 - 2
= 0
原式 = (-125)- 3×
（3） ；
（4）(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2].
原式 =
原式 = 10000+[16-12×2]
= 10000 - 8
= 9992
1. 下列各式化简后结果最大的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 下列各式计算正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
3. 在算式中的“ ”里填
入下列运算符号，使得它的计算结果最小，则“ ”里应填入
的是( )
C
A. B. - C. × D.
返回
4.［2025成都青羊区期中］“24点”游戏规则：从一副扑克牌
抽去大小王剩下这52张牌代表1，,, 分别代表
11,12,13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代
表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每
张牌必须用且只能用一次.如果抽到黑桃、红桃 、梅花3、
方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数
字凑成24：_________________________________.
（答案不唯一）
返回
6. 根据如图的流程图计算，若输入的值为0，则输出 的值
为( )
C
A. 5 B. 7 C. 70 D. 187
有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
谢谢观看！

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