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人教版（2024）版数学7年级上册
第三章 代数式
3.1 列代数式表示数量关系-
第3课时 反比例关系
1. 知道反比例关系的概念
2. 掌握反比例关系的表示
3.会判断两个量是否成反比例关系
3.1.3 反比例关系
第一页：情境引入——发现特殊的数量关系
生活中存在许多相互关联的量，它们的变化往往遵循一定规律。请观察以下两个场景，思考其中变量的关系：
场景1：运输任务中的时间与速度
一批货物共120吨，需要用货车运完。若货车行驶速度不同，完成运输所需的时间也会不同，具体数据如下表：
行驶速度（千米/时）
20
30
40
60
80
运输时间（时）
6
4
3
2
1.5
场景2：铺地中的方砖面积与块数
用正方形方砖铺一间面积为24平方米的客厅，方砖的面积与所需块数如下表：
方砖面积（平方米）
0.3
0.4
0.6
0.8
1.2
所需块数（块）
80
60
40
30
20
思考：每个场景中的两个变量如何变化？它们的乘积有什么特点？
第二页：探究新知——反比例关系的定义
1. 分析变量规律
结合上一页的场景数据，我们进行如下分析：
- 场景1：速度（v）增大时，时间（t）随之减小；且“速度×时间=货物总吨数”，即v×t=120（定值）。
- 场景2：方砖面积（S）增大时，块数（n）随之减小；且“方砖面积×块数=客厅总面积”，即S×n=24（定值）。
共同点：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且它们的乘积始终是一个固定的数。
2. 反比例关系的定义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
3. 反比例关系的字母表示
若用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k为非零定值），则反比例关系可表示为：
x × y = k（一定） 或 y = $\frac{k}{x}$（k≠0）
注意：k必须是固定不变的非零常数，若乘积不是定值，则两个量不成反比例关系。
第三页：核心特征——反比例关系的判断依据
判断两种量是否成反比例关系，需同时满足以下两个条件，缺一不可：
1. 条件一：两个量是相关联的量——一个量的变化会引起另一个量的变化（如“速度”变化会引起“时间”变化，二者相关联；而“身高”和“成绩”无关联，不可能成反比例）。
2. 条件二：相对应的两个数的乘积一定——取两种量中任意几组对应值，计算它们的乘积，若结果始终相同（为定值k），则满足条件；若乘积不固定，则不成反比例。
小练习：判断下列量是否成反比例关系
- （1）路程一定，汽车行驶的速度和时间；
解析：速度×时间=路程（定值），满足两个条件，成反比例。
- （2）长方形的面积一定，它的长和宽；
解析：长×宽=面积（定值），满足两个条件，成反比例。
- （3）小明的年龄和身高；
解析：年龄和身高无固定乘积关系，不成反比例。
- （4）总价一定，商品的单价和购买数量；
解析：单价×数量=总价（定值），满足两个条件，成反比例。
第四页：例题解析——反比例关系的应用
反比例关系的应用主要涉及“判断关系”“利用定值求未知量”两类问题，核心是抓住“乘积一定”这一关键。
例1：判断反比例关系并说明理由
下列各题中的两种量是否成反比例关系？请说明理由。
1. （1）加工一批零件，工作效率和工作时间；
解：成反比例关系。理由：工作效率×工作时间=零件总数（定值），满足反比例关系的两个条件。
2. （2）一个人的体重和他的饮食量；
解：不成反比例关系。理由：体重和饮食量的乘积不是固定值，饮食量相同体重可能不同，不满足“乘积一定”的条件。
3. （3）用一笔钱购买文具，文具的单价和购买的数量；
解：成反比例关系。理由：单价×数量=总钱数（定值），满足反比例关系的两个条件。
例2：利用反比例关系求未知量
一批货物，若用载重8吨的卡车运，需要15辆才能运完。若改用载重10吨的卡车运，需要多少辆？
分析：货物总质量是定值，“卡车载重×车辆数=货物总质量”，二者成反比例关系。
解答：
1. 步骤1：计算货物总质量（定值k）
总质量=8×15=120（吨）
2. 步骤2：设需要x辆载重10吨的卡车，根据反比例关系列等式
10×x=120
3. 步骤3：求解x
x=120÷10=12（辆）
答：需要12辆。
第五页：易错警示——常见误区剖析
1. 误区一：混淆“反比例”与“正比例”
错误：认为“一个量增大另一个量减小”就是反比例关系，如“减数增大，差减小”，错判为反比例。
剖析：正比例关系是“比值一定”，反比例是“乘积一定”；“减数×差”不是定值，二者不成比例。
区分技巧：列表计算“比值”或“乘积”，比值一定为正比例，乘积一定为反比例。
2. 误区二：忽略“相关联的量”这一前提
错误：判断“冰箱的容积和耗电量”成反比例关系。
剖析：冰箱容积和耗电量无直接关联，容积大的冰箱耗电量不一定小，二者乘积也不是定值，不成比例。
3. 误区三：未确认“乘积是否为定值”
错误：判断“正方形的边长和面积”成反比例关系。
剖析：边长×面积=边长 ，不是定值；且面积=边长 ，二者是平方关系，不成比例。
第六页：能力提升——反比例关系的拓展应用
例：多变量中的反比例关系
某工程队修一条公路，原计划每天修20米，15天修完。实际施工时，每天修的长度是原计划的1.2倍，实际多少天能修完？
分析：公路总长度是定值，“每天修的长度×天数=总长度”，二者成反比例关系；先求实际每天修的长度，再利用反比例关系求解天数。
解答：
1. 步骤1：计算公路总长度（定值k）
k=20×15=300（米）
2. 步骤2：求实际每天修的长度
实际每天修：20×1.2=24（米）
3. 步骤3：设实际x天修完，列等式求解
24x=300 → x=300÷24=12.5（天）
答：实际12.5天能修完。
拓展练习：比例关系的综合判断
判断下列两种量成正比例、反比例还是不成比例，并说明理由：
- （1）圆的周长和它的直径；（正比例，周长/直径=π，比值一定）
- （2）圆的面积和它的半径；（不成比例，面积/半径=πr，不是定值）
- （3）被除数一定，除数和商；（反比例，除数×商=被除数，乘积一定）
第七页：课堂小结——核心要点回顾
1. 反比例关系的定义：两种相关联的量，乘积一定，这两种量成反比例关系。
2. 字母表示：x×y=k（一定）或y=$\frac{k}{x}$（k≠0）。
3. 判断方法：一看是否相关联，二看乘积是否为定值。
4. 应用关键：先找到“定值k”，再利用“乘积一定”列等式求解未知量。
5. 与正比例的区分：正比例“比值一定”，反比例“乘积一定”，可通过计算比值或乘积区分。
一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比的量.
工作效率×工作时间 = 工作量
（保持不变）
什么关系？
问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000 m3.解答下列问题：
（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表3.1-1.
每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 …
造雪天数 …
表3.1-1
造雪总量
造雪天数=
52
50
40
（2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？
每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 …
造雪天数 …
表3.1-1
52
50
40
每天造雪量变大
造雪天数变小
可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260 000.
像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数.
无论x，y如何变化，x与y的乘积始终等于常数k.
例1 如图，四个圆柱形容器内部的底
面积分别为10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2.
分别往这四个容器中注入300cm3的水.
（1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？
分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积=底面积×高，高= .
解：（1）四个容器中水的高度分别为
=30（cm）, =15（cm）,=10（cm）, =5（cm）.
例1 （2）分别用x（单位：cm2）和y （单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？
容器内部的底面积×水的高度=水的体积
水的高度=
x y =300
y =
y与x成反比例关系.
思考 生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系，你还能举出一些例子吗？
机器加工一批零件，加工的总数量一定时，每小时加工的数量与加工的时间成反比例关系.
知识点3 正比例与反比例关系的区别
正比例关系 反比例关系
两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）.
例2 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由.
（1）普通投影仪灯泡的使用寿命约为1 500小时，它的可使用天数y（天）与平均每天使用的时间x（时）；
知识点3 正比例与反比例关系的区别
解：（1）y = 是反比例关系，因为y与x的积是定值.
例2 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由.
（2）一种商品的单价为a（元/件），所花费的钱数y（元）与购买的
件数x（件）；
知识点3 正比例与反比例关系的区别
解：（2）y = ax,不是反比例关系，因为y与x的比值是定值，是正比例关系.
例2 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由.
（3）小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y；
知识点3 正比例与反比例关系的区别
解：（3）x+y = a,不是反比例关系，因为y与x的和是定值.
例2 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由.
（4）一批零件300个，一个工人每小时做15个，人数x与完成任务所需的时间y.
知识点3 正比例与反比例关系的区别
解：（4）y = = ,是反比例关系，因为y与x的积是定值.
x个工人每小时做15x个
知识点 反比例关系
1.下列等式中，与 成反比例关系的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列各组变量中，成反比例关系的是( )
B
A.人的身高与年龄
B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C.长方形的周长一定，它的长和宽
D.圆的周长与它的半径
3.在总价、单价、数量这三个量中，当单价一定时，总价和数量成____
比例关系；当总价一定时，单价和数量成____比例关系.（填“正”或
“反”）
正
反
4.下表中和 两个量成反比例关系，请把表格填写完整.
2 40
5 0.1
50
100
0.25
12
5.（8分）石衡高速开通后，极大方便了两地居民的出行，淇淇了解到
石衡高速主线全长约 ，一辆轿车从石家庄出发开往衡水，轿车到
达衡水所需的时间和行驶的平均速度 之间有怎样的关系？
解：根据题意，得这辆轿车到达衡水所需时间 与行驶的平均速度
之间的关系式为，和 成反比例关系.
6. 物理上用压强来表示压力产生的效果，压强越大，
压力的作用效果越明显.对于固体，物体的压力（单位： ）一定时，
压强与受力面积成反比例，其部分对应数值如下表，则 的值为
( )
10 7
70 98 140
C
A.980 B.920 C.14 D.10
7.某公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数 之间的关
系如下表：
500 250 100 50 …
1 2 5 10 …
下列结论：①这批货物共有500吨；②用式子表示与 的关系是
；③每天运输的吨数与运输的天数是反比例关系；④如果该公
司计划4天运完货物，则每天需要运输货物120吨.其中正确结论的个数
是( )
C
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
课堂小结
反比例关系
反比例关系
正比例关系与反比例关系的区别
反比例关系的表示方法
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数.
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