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人教版（2024）版数学7年级上册
第三章 代数式
3.1.2列代数式表示数量关系
3.1.2 列代数式表示数量关系
第一页：情境导入——从具体到一般
智慧农业中，某品牌苹果采摘机器人展现出高效的作业能力，已知它平均每秒可识别5m范围内的苹果，一个机械手平均8s能采摘一个苹果。请思考以下问题：
- （1）该机器人10s能识别多大范围的苹果？60s呢？t s呢？
- （2）识别n m范围内的苹果，需要多少秒？
- （3）若搭载m个机械手，与工人同时工作1h（工人平均5s摘一个苹果），机器人可比工人多摘多少个苹果？
思考：这些问题中，既有具体数字的计算，也有含字母的表达，后者能更简洁地概括一类数量关系。
第二页：探究新知——什么是代数式？
1. 从具体算式到代数式
针对情境问题（1）：
- 10s识别范围：5×10 = 50（m）
- 60s识别范围：5×60 = 300（m）
- t s识别范围：5×t = 5t（m）
这里的5t，以及我们后续会得到的$\frac{n}{5}$、450m - 720等，都是代数式。
2. 代数式的定义
用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
单独一个数（如5、0）或一个字母（如a、x）也属于代数式。
第三页：核心规则——代数式的书写规范
列代数式时，需遵循统一规范，确保表达清晰、无歧义，核心规则如下：
1. 乘号处理：数字与字母、字母与字母相乘，乘号可省略或写作“·”；数字必须写在字母前面。
例：5×t 写作5t或5·t，不能写作t5
2. 除法处理：除法运算一律写成分数形式，不用“÷”号。
例：n÷5 写作$\frac{n}{5}$，不能写作n÷5
3. 乘方表示：相同字母相乘，用幂的形式表示。
例：a×a 写作a （读作“a的平方”）
4. 带分数转化：带分数与字母相乘，需先化为假分数。
例：3$\frac{1}{2}$×a 写作$\frac{7}{2}a$，不能写作3$\frac{1}{2}a$
5. 单位标注：代数式后带单位时，若式子是加减关系，需给代数式加括号。
例：温度由t℃升高3℃后为（t+3）℃，不能写作t+3℃
第四页：例题解析——如何列代数式？
列代数式的关键：抓住关键词，理清数量关系，按“先读先写”原则表达。
例1：基础数量关系
用代数式表示下列数量关系：
1. （1）苹果原价p元/kg，九折优惠后的售价；
解析：九折即原价的0.9倍，数量关系为“原价×0.9”，代数式：0.9p（元/kg）
2. （2）正方形边长为a，其周长l和面积S；
解析：周长=边长×4，面积=边长×边长，代数式：l=4a，S=a
3. （3）前年产量n件，去年产量比前年2倍少10件；
解析：“2倍”即2n，“少10件”即减10，代数式：2n - 10（件）
4. （4）长方体水池长、宽均为a m，高h m，池内水体积占容积的$\frac{1}{3}$；
解析：容积=长×宽×高=a h，水体积=容积×$\frac{1}{3}$，代数式：$\frac{1}{3}a h$（m ）
例2：代数式的意义
说出下列代数式的实际意义（举例说明）：
- 2a + 3：a的2倍与3的和（如：一支笔a元，2支笔加一本3元的本子总价）
- 2(a + 3)：a与3的和的2倍（如：一个苹果a元，买2份“1个苹果加3元零食”的总价）
第五页：易错警示——常见错误剖析
列代数式时，易因对数量关系理解不清或忽视书写规则出错，以下是典型错误：
1. 违反运算顺序（漏加括号）
错误：用代数式表示“a与b的积减去这两数的和”，错写为ab - a + b
剖析：“和”是整体，需先算，应加括号
正确：ab - (a + b)
2. 混淆数量关系（关键词理解偏差）
错误：用代数式表示“a与b的平方的差”，错写为(a - b)
剖析：“b的平方”是b ，主体是“a与b 的差”
正确：a - b
3. 颠倒数量关系（“多/少”“倍”关系混淆）
错误：甲数为x，“甲数比乙数少8”，乙数错写为x - 8
剖析：甲数=乙数 - 8 → 乙数=甲数 + 8
正确：x + 8
4. 忽视书写规范（带分数、除法错误）
错误：3$\frac{1}{2}$与x的积，错写为3$\frac{1}{2}x$；m除以n，错写为m÷n
正确：$\frac{7}{2}x$；$\frac{m}{n}$
第六页：能力提升——规律探究与代数式
代数式可用于表示图形或数字的变化规律，关键是找到“序号与数量”的对应关系。
例：图形规律
用黑白五边形组成图案，观察规律：
- 第1个图形：黑色1个，白色4个
- 第2个图形：黑色2个，白色7个
- 第3个图形：黑色3个，白色10个
用n表示图形序号，写出第n个图形中黑白五边形的个数：
分析：黑色个数与序号一致，为n；白色个数依次增加3，规律为3n + 1
结论：黑色n个，白色(3n + 1)个
练习：数字规律
观察数列：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{7}$，$\frac{4}{9}$，…，第n个数是______
提示：分子为序号n，分母为2n + 1，答案：$\frac{n}{2n + 1}$
第七页：课堂小结——核心要点回顾
1. 代数式定义：数与字母用运算符号连接的式子，单独的数或字母也是代数式。
2. 列式关键：抓住“和、差、积、商、倍、分”等关键词，理清运算顺序。
3. 书写规范：乘号省略、数字在前、除法化分数、带分数转假分数。
4. 核心思想：用字母表示数，实现从具体到一般的抽象，体现数学的一般性。
1. 会列代数式表示数量关系
2. 会列代数式表示规律.
橡皮擦的单价是 3 元，钢笔的单价比橡皮擦的 2 倍还多 2.5 元，则钢笔的单价为多少元？
列出算式：
2×3 + 2.5
橡皮擦的单价是 x 元，钢笔的单价比橡皮擦的 2 倍还多 2.5 元，则钢笔的单价为多少元？
算术（数） 代数（式）
用字母表示数
2x + 2.5
在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式.
新知探索
如何用代数式表示 a，b 两数的和与差的积？
可以按下面的步骤列代数式：
a
b
两数的和
a + b
a
b
两数的差
a - b
它们的积
(a+b)(a-b)
在本套书中，如无特别说明，a，b 两数的差，a 与 b 的差，都指
“a－b”.
用代数式表示：
（1）a 与 b 的积的 5 倍； （2）a 与 b 的 5% 的差；
（3）x 与 y 的和的平方； （4）x，y 两数的平方和.
5ab
a - 5%b
(x + y)2
x2 + y2
例 题
【教材P72】
例 3 用代数式表示：
（1）购买 2 个单价为 a 元的面包和 3 瓶单价为 b 元的饮料所需的钱数.
分析：总钱数 = 2 个面包的总价 + 3 瓶饮料的总价
所需的钱数为(2a + 3b)元
（2）把 a 元钱存入银行，存期 3 年，年利率为 2.75%，
到期时的利息是多少元？
分析：利息 = 本金×年利率×存期
根据题意，得 a×2.75%×3 = 8.25%a
到期时的利息为 8.25%a 元.
（3）某商品的进价为 x 元，先按进价的 1.1 倍标价，后又降价 80 元出售，现在的售价是多少元？
分析：现在的售价 = 原来的标价 – 降价数
现在的售价为(1.1x - 80)元
列代数式时的注意点：
1. 认真审题，将问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算. 如：“大”“小”“多”“少”“和”“差”
“积”“商”“倍”“分”“比”“几分之几”“平方”
“除以”等都是表示数量关系的常用词语.
2. 注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般是“先读先写”.
列代数式时的注意点：
3. 要掌握各类实际问题中的基本量的关系和公式.
4. 根据运算顺序及与数量关系有关的“与”“的”等字，将句子分成几个层次，逐层分析，一步步地列出代数式.
例 题
【教材P72】
例 4 甲、乙两地之间公路全长 240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为 v km/h.
（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？
时间 =
路程
速度
汽车从甲地到乙地需要行驶 h.
（2）如果汽车的行驶速度增加 3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？
早到的时间 = 原来需要行驶的时间 – 加快速度后需要行驶的时间
速度增加 3 km/h，需要的行驶时间 h.
加快速度后可以早到（ - ）h.
列代数式表示规律
有一组按规律排列的数：1，-2，3，-4，5，-6，… .
（1）这组数的第 100 个数是_______；
（2）用代数式表示第 n 个数为_____________.
（3）2026 在这组数中吗？
数
符号规律
绝对值规律
偶数位上的数符号为负，
奇数位上的数符号为正
第 n 个数的符号为(-1)n+1
第 n 个数的绝对值为n
-100
(-1)n+1·n
2026 不在这组数中
观察一组数： … .
根据你发现的规律，用代数式表示这组数中的第 n 个数为
_______________.
练 习
【教材P73】
1. 用代数式表示：
（1）比 a 的 2 倍大 1 的数；
（2）a 的相反数与 b 的一半的差；
（3）a 的平方除以 b 的商.
2a + 1
-a -
2. 某种商品每袋 4.8 元，一个月内销售了 m 袋，用代数式
表示这个月内销售这种商品的收入.
4.8m
1. 设表示任意一个整数，用含 的代数式表示任意一个奇数
为( )
D
A. B. C. D.
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2. ［2025福州期中］用代数式表示“的3倍与 的差的平方”，
正确的是( )
C
A. B.
C. D.
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3. 母题教材P73练习 如图，阴影部
分的面积为( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆的面积，
由题图可知圆的直径等于 ，所以阴影部分的面积为
.
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4. “元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以
孟春三月为元，其时正朔元旦之春.”为庆祝元旦，某商场举
行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商
品按原价打8折后，再减少20元”.若某商品的原价为 元
，则购买该商品实际付款的金额是( )
A
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
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5.某银行一年定期存款的利率是,存入 元钱，一年后所
得利息是_______元.
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列代数式时要厘清运算顺序，一般按先读先写的原则确定其先后顺序.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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