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人教版（2024）版数学7年级上册
第三章 代数式
3.2.1求代数式的值
1. 掌握代数式的值的概念
2. 会求代数式的值
3.2.1 求代数式的值
第一页：情境引入——代数式的“实际意义”
在校园义卖活动中，同学们准备售卖手工编织的钥匙扣，已知单个钥匙扣的成本为2元，售价为每个x元。若卖出n个钥匙扣，纯利润可以用代数式“(x - 2)n”来表示。
思考问题：
- （1）当售价x=5元，卖出n=30个时，能获得多少纯利润？
- （2）若售价调整为x=6元，卖出n=25个，纯利润又会如何变化？
引出概念：像这样，用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算顺序计算出的结果，就是代数式的值。今天我们就来系统学习如何求代数式的值。
第二页：探究新知——求代数式的值的基本方法
1. 核心定义
一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。代数式的值是由代数式中字母的取值决定的，字母的取值不同，代数式的值也可能不同。
注意：字母的取值必须使代数式有意义，同时要符合实际情境。例如，在“卖出钥匙扣的个数n”中，n只能取正整数。
2. 基本步骤——“一代二算三检验”
结合情境问题（1）“当x=5，n=30时，求(x - 2)n的值”，梳理步骤：
1. 一代：代入——将字母所取的数值代入代数式中对应的位置，注意添上括号（尤其是当数值为负数、分数时）。
代入后：(5 - 2)×30
2. 二算：计算——按照代数式规定的运算顺序（先算括号内，再算乘除，最后算加减；有乘方的先算乘方）进行计算。
计算过程：3×30=90
3. 三检验：验证——检查代入的数值是否正确，运算顺序和计算结果是否无误。
结论：当x=5，n=30时，代数式的值为90，即纯利润为90元。
第三页：例题解析——不同类型代数式的求值
根据字母取值的不同特点，掌握各类代数式的求值方法。
例1：单一字母的代数式求值
已知代数式2a - 3a + 1，分别求当a=2和a=-1时的值。
解答：
- （1）当a=2时：
代入：2×(2) - 3×(2) + 1
计算：2×4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3
- （2）当a=-1时：
代入：2×(-1) - 3×(-1) + 1（注意负数平方和乘法的符号）
计算：2×1 + 3 + 1 = 2 + 3 + 1 = 6
例2：多个字母的代数式求值
已知a=3，b=-2，求代数式$\frac{2a - b}{a + 2b}$的值。
解答：
代入：分子=2×3 - (-2)=6 + 2=8；分母=3 + 2×(-2)=3 - 4=-1
计算：$\frac{8}{-1}$=-8
结论：代数式的值为-8
例3：结合整体思想的求值
已知x + y=5，xy=3，求代数式2(x + y) - 3xy的值。
分析：无需单独求出x和y的值，直接将“x + y”和“xy”作为整体代入。
解答：
代入：2×5 - 3×3
计算：10 - 9=1
结论：代数式的值为1
第四页：易错警示——常见错误与规避方法
1. 错误一：代入时漏加括号，导致符号错误
错误：当a=-2时，求代数式a 的值，错算为-2 =-4
剖析：a=-2，a 表示(-2)的平方，而非-（2 ），漏加括号会改变运算符号。
正确：(-2) =4
2. 错误二：忽视代数式的运算顺序，计算混乱
错误：当x=3时，求代数式2x + 3×(x - 1)的值，错算为2×3 + 3×3 - 1=6 + 9 - 1=14
剖析：未先算括号内的x - 1，直接展开时符号和运算顺序出错。
正确：2×3 + 3×(3 - 1)=6 + 3×2=6 + 6=12
3. 错误三：字母取值不符合实际意义或代数式有意义的条件
错误：在代数式$\frac{1}{x - 2}$中，取x=2计算其值。
剖析：当x=2时，分母为0，代数式无意义，此类取值应排除。
4. 错误四：整体代入时遗漏系数或符号
错误：已知2m - n=3，求代数式4m - 2n + 5的值，错算为3 + 5=8
剖析：4m - 2n=2(2m - n)，应先提取系数，再整体代入。
正确：2×3 + 5=6 + 5=11
第五页：能力提升——代数式求值的拓展应用
1. 结合图形的求值
如图，正方形ABCD的边长为a，以各边为直径向外作半圆，形成“四叶花”图案，该图案的面积可以用代数式“$\frac{\pi a }{2} - a $”表示（π取3.14）。当a=4时，求“四叶花”的面积。
解答：
代入：$\frac{3.14×4 }{2} - 4 $
计算：$\frac{3.14×16}{2} - 16$=25.12 - 16=9.12
结论：“四叶花”的面积为9.12
2. 结合规律的求值
观察下列单项式：-2x，4x ，-8x ，16x ，…，按此规律第n个单项式为(-2) x 。求当n=5，x=-1时，第5个单项式的值。
解答：
第5个单项式：(-2) x =-32x
代入x=-1：-32×(-1) =-32×(-1)=32
结论：第5个单项式的值为32
第六页：课堂小结——核心知识梳理
1. 核心概念：代数式的值由字母取值决定，是代换后计算的结果。
2. 关键步骤：代入（添括号）→ 计算（守顺序）→ 检验（查对错）。
3. 易错点规避：负数、分数代入加括号；遵循运算顺序；注意字母取值的合理性；整体代入时关注系数和符号。
4. 思想方法：整体思想是简化求值的重要技巧，适用于无法单独求出字母值的情况。
第七页：课堂练习——巩固提升
1. 1. 已知代数式3x - 5，当x=4时，其值为______；当x=______时，其值为4。（答案：7；3）
2. 2. 若a=2，b=1，c=-3，求代数式a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac的值。（提示：可化为(a + b + c) ，答案：0）
3. 3. 已知a - b=2，求代数式3(a - b) - 2(a - b) + 5的值。（答案：3×4 - 2×2 + 5=12 - 4 + 5=13）
4. 4. 某手机套餐收费标准为：每月基本费15元，通话每分钟0.2元，当月通话时间为t分钟时，总费用为(15 + 0.2t)元。若某月通话120分钟，总费用是多少元？（答案：15 + 0.2×120=15 + 24=39元）
1.用代数式表示：
(1)a与b的和的平方；
(2)a,b两数的平方和；
(3)a与b的和的50%；
(4)a与b的差.
2.用语言叙述代数式2m+10的意义.
(a+b)2
a 2 +b 2
50%(a+b)
a-b
问题 为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班配5个，学校另外留20个. 学校总共需要购置多少个排球？
记全校的班级数是n，
则需要购置的排球总数是 5n+20.
学校有多少个班级呢？
如果班级数是15，那么需要购置的排球总数是
5n+20
用15代替字母n.
=5×15+20=95.
问题 为了开展体育活动，学校要购置一批排球，每班配5个，学校另外留20个. 学校总共需要购置多少个排球？
记全校的班级数是n，
则需要购置的排球总数是 5n+20.
如果班级数是20，那么需要购置的排球总数是
5n+20
用20代替字母n.
=5×20+20=120.
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.
当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同.
例1 根据下列x,y的值，分别求代数式2x+3y的值：
(1)x=15，y=12； (2)x=1，y=.
解：(1)当x=15,y=12时， 2x+3y=2×15+3×12=66；
(2)当x=1,y= 时， 2x+3y=2×1+3× = .
例2 根据下列a,b的值，分别求代数式a2的值：
(1)a=4,b=12； (2)a=-3,b=2.
解：(1)当a=4，b=12时， a2= 42=13.
(2)当a=-3，b=2时， a2= (-3)2= .
跟踪训练 填图.
a 2-3a
4
0
-
-3
-10
2
4
11
知识点 直接代入求值
1.当时，代数式 的值是( )
D
A.10 B. C.2 D.
2.已知，，那么代数式 的值为( )
A
A. B. C.4 D.7
3.已知代数式的值为3，则式子 的值是( )
A
A.10 B. C.6 D.
4.［2025郑州期末］若，互为相反数，的倒数为1，则
的值为( )
D
A.7 B.2 C. D.3
5.（4分）“当，时，求代数式 的值.嘉嘉的解
题过程如下：
解：当， 时，
.
你认为他的计算正确吗？若不正确，请写出正确的计算过程.
解：嘉嘉的计算不正确，正确的计算过程如下：
当， 时，
.
6.（4分）［教材P练习T 变式］某学校开展了“读书分享”活动.小明看
一本书，看了天，平均每天看 页，还剩30页没看，求这本书的总页数.
如果， ，求这本书的总页数.
解：这本书的总页数为 ，
当，时， ，
所以这本书的总页数为90.
7.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为 ，则输出的结
果是( )
B
A. B. C. D.
8. 已知，则代数式
的值等于( )
D
A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023
9.（8分）三张卡片上分别写有：
（1）用含, 的代数式分别表示三张卡片上的语句：
①________；②_________；③______________.
（2）当, 时，分别求（1）中所列代数式①和②的值.
解：当, 时，
，
.
10.（8分）已知是最大的负整数，，且的绝对值是2，与 的和
是 .
（1）____，___， ____；
2
（2）若数轴上表示 的点到原点的距离为3，求
的值.
解：因为数轴上表示 的点到原点的距离为3，
所以，即 ，
因为，， ，
所以， ，
所以
.
课堂小结
求代数式的值的步骤
定义
代数式的值
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同.
1.代 2.算 3.验
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