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人教版（2024）版数学7年级上册
第三章 代数式
3.2.2几何中的代数式求值
有些同类事物中的某种数量关系常常可以用公式来描述.
体积：
面积：
3.2.2 几何中的代数式求值
第一页：情境引入——几何与代数的“亲密接触”
在校园改造工程中，设计师规划了一块长方形的绿植区域，它的长比宽多2米。若用字母x表示宽，那么长可以表示为(x + 2)米，该区域的周长可表示为2[x + (x + 2)]米，面积可表示为x(x + 2)平方米。
实际施工时，测量得宽x=3米，这时绿植区域的周长和面积分别是多少？若宽调整为x=4米，结果又会怎样？
引出主题：几何图形的边长、周长、面积、体积等数量关系，常可用代数式表示。当已知图形中字母的具体取值时，通过求代数式的值就能得到相应的几何量。这就是我们今天要学习的——几何中的代数式求值。
第二页：基础回顾——几何图形的代数式表示
在几何中，我们先根据图形的性质，用字母表示出相关几何量的代数式，这是求值的前提。常见图形的代数式表示如下：
图形类型
已知条件（用字母表示）
周长/棱长总和代数式
面积/体积代数式
正方形
边长为a
C=4a
S=a
长方形
长为m，宽为n
C=2(m + n)
S=mn
圆
半径为r（π为定值）
C=2πr
S=πr
正方体
棱长为a
棱长总和=12a
体积V=a
关键：牢记图形的计算公式，根据已知条件用字母准确表示出待求的几何量，形成代数式。
第三页：例题解析——单一图形的代数式求值
单一图形的求值核心：先确定图形的计算公式并写出代数式，再代入字母的具体数值计算。
例1：平面图形求值——正方形与圆的组合
如图，在边长为a的正方形内部画一个最大的圆，该圆的直径等于正方形的边长。已知a=8厘米，π取3.14，求：（1）正方形的面积；（2）圆的面积；（3）正方形与圆的面积差。
解答：
1. （1）正方形面积代数式：S=a
代入a=8：S=8 =64（平方厘米）
2. （2）圆的半径r=$\frac{a}{2}$，面积代数式：S=π($\frac{a}{2}$) =$\frac{\pi a }{4}$
代入a=8、π=3.14：S=$\frac{3.14×8 }{4}$=$\frac{3.14×64}{4}$=50.24（平方厘米）
3. （3）面积差代数式：S=a - $\frac{\pi a }{4}$
代入数值：64 - 50.24=13.76（平方厘米）
答：正方形面积为64平方厘米，圆的面积为50.24平方厘米，面积差为13.76平方厘米。
例2：立体图形求值——正方体的体积与表面积
一个正方体礼品盒，棱长为x分米，其表面积代数式为6x 平方分米，体积代数式为x 立方分米。当x=2.5时，求该礼品盒的表面积和体积。
解答：
- （1）表面积：代入x=2.5，6×(2.5) =6×6.25=37.5（平方分米）
- （2）体积：代入x=2.5，(2.5) =2.5×2.5×2.5=15.625（立方分米）
答：礼品盒的表面积为37.5平方分米，体积为15.625立方分米。
第四页：进阶例题——组合图形的代数式求值
组合图形的求值关键：将组合图形分解为熟悉的基本图形，分别表示出各部分的代数式，再根据组合关系（和或差）列出总代数式，最后代入求值。
例3：拼接型组合图形
用两个完全相同的长方形拼成一个大长方形，小长方形的长为b厘米，宽为c厘米（b>c）。（1）若将两个小长方形的长拼接在一起，求大长方形的周长和面积；（2）若b=10，c=3，分别计算两种拼接方式下大长方形的周长。
解答：
1. （1）长拼接时：大长方形长为b，宽为2c
周长代数式：C=2(b + 2c)；面积代数式：S=b×2c=2bc
2. （2）代入b=10，c=3：
①长拼接：C=2(10 + 2×3)=2×16=32（厘米）
②宽拼接（大长方形长为2b，宽为c）：C=2(2×10 + 3)=2×23=46（厘米）
答：长拼接时大长方形周长32厘米，宽拼接时周长46厘米，面积均为60平方厘米。
例4：挖空型组合图形
在一个长为10米、宽为y米的长方形草坪中，挖去一个半径为2米的圆形花坛（π取3.14），剩余草坪的面积可用代数式“10y - 3.14×2 ”表示。当y=8时，求剩余草坪的面积。
解答：
代入y=8：10×8 - 3.14×4=80 - 12.56=67.44（平方米）
答：剩余草坪的面积为67.44平方米。
第五页：易错警示——几何求值的特殊注意事项
1. 误区一：图形公式记忆错误，导致代数式列写错误
错误：求圆的面积时，错用公式S=2πr，列出代数式2πr后代入求值。
剖析：混淆圆的周长与面积公式，圆的面积公式应为S=πr 。
规避：牢记各类图形的核心公式，列代数式前先确认公式的正确性。
2. 误区二：忽略组合图形的结构关系，代数式逻辑错误
错误：计算“长方形内挖去正方形”的剩余面积时，错列代数式为S=正方形面积 - 长方形面积。
剖析：剩余面积应为“整体面积 - 挖去部分面积”，即长方形面积 - 正方形面积。
规避：先明确组合图形的“整体与部分”关系，再确定代数式是“和”还是“差”。
3. 误区三：单位不统一，直接代入计算
错误：长方形长3米，宽50厘米，求面积时直接代入代数式3×50=150。
剖析：长的单位是“米”，宽的单位是“厘米”，单位不统一，需先转化为相同单位（如宽=0.5米）。
规避：代入数值前，检查所有几何量的单位是否一致，不一致时先统一单位。
4. 误区四：取值不符合几何图形的实际意义
错误：在“正方形边长为x”的代数式中，取x=-2计算面积。
剖析：几何图形的边长、半径等均为正数，负数取值无实际意义。
规避：字母取值需满足几何量的非负性（边长、面积等≥0）。
第六页：能力提升——动态几何中的代数式求值
动态几何中，字母表示变化的量，但代数式仍能反映几何量的关系，代入特定值即可求解。
例5：动点问题
在一条直线上有A、B两点，距离为12厘米，点P从A出发以每秒3厘米的速度向B运动，运动时间为t秒（t≤4）。点P到B的距离可用代数式“12 - 3t”表示。求：（1）t=1时，点P到B的距离；（2）t为何值时，点P到B的距离为3厘米。
解答：
1. （1）t=1时，代入代数式：12 - 3×1=9（厘米）
2. （2）令12 - 3t=3，解得3t=9 → t=3（秒），符合t≤4的条件。
答：t=1时距离为9厘米，t=3秒时距离为3厘米。
拓展练习：图形变换问题
一个长方形的长为a，宽为b，将其长增加2，宽减少1，得到新长方形的面积代数式为(a + 2)(b - 1)。当a=5，b=4时，求新长方形的面积比原长方形增加了多少？（答案：原面积=20，新面积=7×3=21，增加1）
第七页：课堂小结与练习
一、核心要点总结
1. 1. 几何求值步骤：列代数式（依公式/组合关系）→ 验单位/取值合理性 → 代入计算 → 写结果（带单位）。
2. 2. 关键能力：图形分解（组合图形→基本图形）、公式应用、单位统一。
3. 3. 易错点：公式记错、关系弄反、单位混乱、取值不符实际。
二、课堂练习
1. 1. 三角形的底为8厘米，高为h厘米，面积代数式为4h。当h=5时，面积为______平方厘米。（答案：20）
2. 2. 一个长方体长5cm，宽x cm，高3cm，体积代数式为15x。当体积为120cm 时，x=______。（答案：8）
3. 3. 用一根长为L的铁丝围成一个正方形，边长代数式为$\frac{L}{4}$。当L=20分米时，正方形的面积是多少？（答案：边长5分米，面积25平方分米）
4. 4. 在边长为6米的正方形广场中央，建一个半径为r米的圆形喷泉（r≤3），剩余广场面积为(36 - πr )平方米。当r=2，π=3.14时，剩余面积是多少？（答案：36 - 12.56=23.44平方米）
周长公式
正方形：
长方形：
C = 4a（a 为正方形的边长）
C = 2(a+b)（a，b 分别为长方形的长、宽）
圆：
C = 2πr（r 为圆的半径）
面积公式
正方形：
三角形：
长方形：
圆：
梯形：
S = ah（h 为底边 a 上的高）
S = a2（a 为正方形的边长）
S = ab（a，b 分别为长方形的长、宽）
S = πr2（r 为圆的半径）
S = (a+b)（a，b，h 分别为上底、下底、高）
体积公式
长方形：
正方形：
V = abc（a，b，c 分别为长方体的长、宽、高）
V = a3（a为长方体的棱长）
新知探索
例 3 如图，某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成，其中直道的长为 a，半圆形弯道的直径为 b.
（1）用代数式表示这条跑道的周长；
（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）.
跑道的周长是两段直道和两段弯道的长度和. 由圆的周长公式可以求出弯道的长度
解：（1）两段直道的长为 2a；
两段弯道组成一个圆，
它的直径为 b，周长为 πb.
因此，这条跑道的周长为 2a + πb.
（1）用代数式表示这条跑道的周长；
（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）.
（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，
2a + πb = 2×67.3 + 3.14×52.6
≈ 300（m）
因此，这条跑道的周长约为 300 m.
（1）用代数式表示这条跑道的周长；
（2）当 a = 67.3 m，b = 52.6 m 时，求这条跑道的周长（π 取 3.14，结果取整数）.
例 题
【教材P81】
例 4 一个三角尺的形状和尺寸如图所示，用代数式表示这个三角尺的面积 S. 当 a = 10 cm，b = 17.3 cm，r = 2 cm 时，求这个三角尺的面积（π 取 3. 14）
r
a
b
分析：三角尺的面积 = 三角形的面积 - 圆的面积.
根据三角形、圆的面积公式可以求出三角尺的面积.
解：三角形的面积为 ab，圆的面积为 πr2，
这个三角尺的面积（单位：cm2）S = ab = πr2.
当 a = 10 cm，b = 17.3 cm，r = 2 cm 时，
因此，这个三角尺的面积是 73.94 cm2.
r
a
b
S = ×10×17.3 - 3.14×22 = 73.94(cm2).
巩固练习
如图是一个长为 x，宽为 y 的长方形休闲广场，在它的四角各修建一块半径为 r 的四分之一圆形的花坛（阴影部分），其余部分作为休闲区.
（1）用代数式表示休闲区的面积；
（2）若长方形休闲广场的长为 50 m，
宽为 20 m，四分之一圆形花坛的半径为 8 m，求休闲区
的面积（π 取3.14，结果取整数）.
数量关系
休闲区的面积 = 长方形休闲广场的面积-花坛的面积
花坛的面积=4× 圆的面积
（1）用代数式表示休闲区的面积；
（2）若长方形休闲广场的长为 50 m，宽为 20 m，四分之一圆形花坛的半径为 8 m，求休闲区的面积（π 取3.14，结果取整数）.
解:（1）休闲区的面积为 xy - πr2.
（2）当x = 50 m，y = 20 m，r = 8 m 时，
xy - πr2 = 50×20 - 3.14×82 ≈ 799 (m2).
因此，休闲区的面积约为 799 m2.
用代数式解决与图形面积有关的问题时，通常将图形分解成几部分，根据它们的构成利用和差关系求解.
对于不能直接求得的图形面积，常运用转化思想将其转化成其他规则图形面积的和或差进行求解.
练 习
【教材P81】
1. 填空题.
（1）若 a，b 分别表示平行四边形的底和高，则面积
S =_____；当 a = 2 cm，b = 3 cm 时，S =____cm2.
ab
6
（2）若 a，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则面积 S =_________；当 a = 2 cm，b = 4 cm，h = 5 cm 时，S =________cm2.
(a + b)h
2
15
2. 一个长方体纸箱的长是 a，宽与高都是 b，用代数式表示这个纸箱的体积 V . 当 a = 60 cm，b = 40 cm 时，求这个纸箱的体积。
解：这个纸箱的体积 V = ab2 .
当 a = 60 cm，b = 40 cm 时，
V=ab2 = 60×402 = 96000 (cm3).
因此，这个纸箱的体积是 96000 cm3 .
3. 如图，用代数式表示圆环的面积. 当 R = 15 cm，r = 10 cm 时，求圆环的面积（π 取 3.14).
解：圆环的面积为 πR2 - πr2 .
当 R = 15 cm，r = 10 cm 时，
πR2 – πr2 = 3.14×152 - 3.14×102 = 392.5 (cm2).
因此，圆环的面积为392.5 cm2 .
习题3.2
1. 填空题.
【教材P82】
（1）当 a = -1 时，代数式 2-a 的值是______；
（2）当 b = - 时，代数式 1-b2 的值是______；
3
2. 已知 a = 12，b = -18，求下表中代数式的值：
代数式 a+b a-b ab
代数式的值
-6
30
-216
3. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2 + b2 与
(a + b)2 的值：
（1）a = 3，b = -2；（2）a = -3，b = 2.
解：（1）当 a = 3，b = -2 时，
a2 + b2 = 32 + (-2)2 = 13，
(a + b)2 = [3 + (-2)]2 = 1.
3. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2 + b2 与
(a + b)2 的值：
（1）a = 3，b = -2；（2）a = -3，b = 2.
（2）当 a = -3，b = 2 时，
a2 + b2 = (-3)2 + 22 = 13，
(a + b)2 = (-3 + 2)2 = 1.
4. 求下列代数式的值：
（1） ，其中 n = 4；
（2）(a-c)2 + b，其中 a = 7，b = 3，c = 5.
（2）当 a = 7，b = 3，c = 5 时，
(a-c)2 + b = (7-5)2 + ×3 = .
解：（1）当 n = 4，
5. 已知圆锥的体积 V = πr2h，其中 r 为底面半径，
h 为圆锥的高. 当 r = 15 cm，h = 16 cm 时，求圆锥
的体积（π 取 3.14）
解：当 r = 15 cm，h = 16 cm 时，
V = πr2h = ×3.14×152×16 =3768（cm3）.
因此，圆锥的体积为 3768 cm3.
综合运用
6. 一段钢管的形状和尺寸如图所示，如果大圆的半径是 R，小圆的半径是 r，钢管的长度是 a，用代数式表示这段钢管的体积 V. 当 R = 30 mm，r = 15 mm，a = 120 mm 时，求这段钢管的体积（π 取 3.14）.
解：V = πa(R2-r2).
当 R = 30 mm，r = 25 mm，a = 200 mm 时，
V = πa(R2-r2) = 3.14×200×(302 -252) = 172700(mm3).
因此，这段钢管的体积为 172700 mm3.
7. A，B 两地相距 s km，甲、乙两人驾车分别以 a km/h，b km/h 的速度从 A 地到 B 地，且甲用的时间较少.
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
解：甲比乙少用的时间为 h.
（2）当 s = 180，a = 72，b = 60 时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义.
当 s = 180，a = 72，b = 60 时， .
这个值表示甲比乙少用 0.5 h.
8. 摄氏温标与华氏温标是两种计量温度的标准，它们分别用摄氏度和华氏度（℉）来计量温度，二者可以互相转换，请你查阅有关资料，解决下列问题：
（1）将 25 ℃ 转换成华氏度；（2）将-4℉ 转换成摄氏度.
拓广探索
解：查阅资料可得华氏温度 = 摄氏温度×1.8 + 32.
（1）25 ℃ = 77 ℉；（2）-4 ℉ = -20 ℃.
在实际生活中，经常将数值代入到几何图形的公式中进行求值，从而解决相应的问题.
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