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人教版（2024）版数学7年级上册
第四章 整式的加减
4.1.1单项式
(1)苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价；
(2)某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量；
(3)边长为a的正方形的面积；
(4)圆柱体积公式（底面半径为r，高为h）；
a2
πr2h
4.1.1 单项式
第一页：情境引入——从具体数量到数学表达
在我们的生活和学习中，经常会遇到各种与数量相关的问题，这些问题可以用简洁的数学式子来表示。请观察以下场景，尝试用数学式子表达其中的数量：
- （1）若一个苹果的质量为a克，那么3个这样的苹果总质量是多少克？
- （2）一辆汽车的行驶速度为v千米/时，行驶t小时后，它的行驶路程是多少千米？
- （3）正方形的边长为x，它的面积是多少？
- （4）一个正方体的棱长为a，它的体积是多少？
- （5）海拔每升高100米，气温下降约0.6℃，若海拔升高h米，气温下降的度数是多少？
- （6）小明带了50元钱去买文具，买完后剩余的钱数可以表示为多少（假设花费未知，但我们先关注其中的常数）？
学生尝试回答后，引出式子：3a、vt、x 、a 、0.006h、50。这些式子都是我们今天要学习的“单项式”，它们是代数世界中最基础、最常用的数学表达形式之一。
第二页：探究新知——单项式的定义
1. 观察式子，感知共性
请仔细观察下面的式子，思考它们有什么共同的特点：
3a、vt、x 、a 、0.006h、50、-2πr、$\frac{1}{3}$ab
这些式子中，有的是数与字母相乘，有的是字母与字母相乘，还有的是单独的一个数。它们都没有出现加减运算，这是它们的显著特征。
2. 单项式的严格定义
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
特别规定：单独的一个数（如50、-3、0）或单独的一个字母（如a、x、t）也叫做单项式。
3. 概念辨析：判断是否为单项式
请判断下列式子是否为单项式，并说明理由：
- （1）2x + 3y：不是，因为式子中含有“+”号，是两个单项式的和，不是数与字母的积。
- （2）$\frac{1}{x}$：不是，因为它是数与字母的商，而非积（x在分母位置，可看作x ，不符合积的形式）。
- （3）-5a：是，它是数（-5）与字母（a）的积。
- （4）m：是，单独的一个字母，符合单项式的规定。
- （5）$\frac{2}{3}$xy ：是，它是数（$\frac{2}{3}$）与字母（x、y）的积。
第三页：核心概念——单项式的系数与次数
对于单项式，我们需要明确两个重要的概念：系数和次数，它们是描述单项式特征的关键。
1. 单项式的系数
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
1. 例1：找出下列单项式的系数：
（1）3a：数字因数是3，所以系数是3；
2. （2）-5xy：数字因数是-5，所以系数是-5；
3. （3）$\frac{1}{2}$x y：数字因数是$\frac{1}{2}$，所以系数是$\frac{1}{2}$；
4. （4）πr ：π是圆周率，是一个常数，数字因数是π，所以系数是π；
5. （5）a：可看作1×a，数字因数是1，所以系数是1；
6. （6）-b：可看作-1×b，数字因数是-1，所以系数是-1。
7. 注意：
系数包括前面的正、负号，不能忽略符号；
8. 当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写，但符号要保留；
9. π是常数，不是字母，计算系数时要将其视为数字因数。
2. 单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
1. 例2：找出下列单项式的次数：
（1）2a：字母a的指数是1，所以次数是1（通常称为“一次单项式”）；
2. （2）xy ：字母x的指数是1，字母y的指数是2，指数和为1+2=3，所以次数是3（三次单项式）；
3. （3）-3x y ：x的指数是3，y的指数是2，指数和为3+2=5，所以次数是5（五次单项式）；
4. （4）5：单独的一个数，所有字母的指数和为0，所以次数是0（零次单项式）；
5. （5）a ：字母a的指数是4，所以次数是4（四次单项式）。
6. 注意：
次数是“所有字母”指数的和，只与字母的指数有关，与数字因数无关；
7. 单独的一个非零常数，次数规定为0；
8. 字母的指数为1时，“1”通常省略不写，但计算次数时要计入。
第四页：规范书写——单项式的书写注意事项
为了保证代数表达的清晰和统一，单项式的书写有明确的规范，违反规范的书写会导致歧义或错误。请牢记以下规则：
1. 数字因数写在前面：单项式中的数字因数必须写在字母的前面，如“a×3”应写作“3a”，不能写作“a3”。
2. 乘号的处理：数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“·”表示，但不能用“×”表示。如“x×y”可写作“xy”或“x·y”，不能写作“x×y”。
3. 系数为带分数时的转化：当单项式的系数是带分数时，必须将其化为假分数。如“3$\frac{1}{2}$xy”应写作“$\frac{7}{2}$xy”，不能写作“3$\frac{1}{2}$xy”，避免误解为“3×$\frac{1}{2}$×xy”。
4. 字母指数的书写：字母的指数要写在字母的右上角，且指数为1时省略不写。如“a×a”应写作“a ”，“a×1”写作“a”，不能写作“a ”。
5. 分母中不含字母：单项式的分母不能含有字母，如“$\frac{x}{2}$”是单项式（可看作$\frac{1}{2}$x），但“$\frac{2}{x}$”不是单项式，因为它是数与字母的商。
6. 符号的规范：当单项式的系数为负数时，负号要写在最前面。如“-x×2”应写作“-2x”，不能写作“2(-x)”。
第五页：例题解析——综合应用与巩固
通过典型例题，综合运用单项式的定义、系数、次数及书写规范等知识，加深理解。
例1：判断与填空（基础巩固）
（1）下列式子中，哪些是单项式？请在括号内打“√”：
- ① -3（√） ② $\frac{1}{2}$x（√） ③ x+1（×） ④ $\frac{2}{x}$（×） ⑤ ab （√）
（2）写出下列单项式的系数和次数：
单项式
系数
次数
-5x y
-5
3（x的指数2 + y的指数1）
$\frac{3}{4}$πr
$\frac{3}{4}$π
3
a
1
1
-7
-7
0
例2：根据条件写单项式（能力提升）
（1）写出一个系数为-3，次数为2的单项式：________________（答案不唯一，如-3x 、-3xy等）
（2）写出一个含有字母x、y，且系数为$\frac{1}{2}$，次数为4的单项式：________________（答案不唯一，如$\frac{1}{2}$x y、$\frac{1}{2}$x y 等）
（3）若单项式-2x y 的次数是5，求m的值。
解析：单项式的次数是所有字母指数的和，即m + 3 = 5，解得m = 2。
例3：书写规范纠错（易错点突破）
指出下列单项式书写中的错误，并改正：
- （1）x3：错误，数字因数应写在前面，改正为“3x”；
- （2）3$\frac{1}{2}$xy：错误，带分数系数应化为假分数，改正为“$\frac{7}{2}$xy”；
- （3）-x×2y：错误，乘号多余且数字因数位置不当，改正为“-2xy”；
- （4）a1b ：错误，字母指数为1时省略不写，改正为“ab ”。
第六页：易错警示——常见误区剖析
1. 误区一：混淆“系数”与“数字”，忽略符号
错误：认为单项式“-4xy ”的系数是4；
剖析：系数包括前面的负号，正确系数应为-4；
规避：确定系数时，先看单项式的符号，再看数字部分。
2. 误区二：计算次数时，漏算指数为1的字母或计入数字的指数
错误：认为单项式“3x y”的次数是2，或“5 x”的次数是3；
剖析：“3x y”中y的指数为1，次数应为2+1=3；“5 x”中5是数字，次数只看x的指数1；
规避：次数仅与字母指数有关，所有字母（包括指数为1的）都要计入，数字的指数不算。
3. 误区三：将“π”当作字母处理
错误：认为单项式“πr ”的系数是1，次数是3；
剖析：π是常数（约等于3.14），不是字母，系数是π，次数是2；
规避：牢记π是常数，在单项式中视为数字因数。
4. 误区四：认为分母含字母的式子是单项式
错误：认为“$\frac{x}{3}$”“$\frac{3}{x}$”都是单项式；
剖析：“$\frac{x}{3}$”可看作$\frac{1}{3}$x，是数与字母的积，是单项式；“$\frac{3}{x}$”是数与字母的商，不是单项式；
规避：单项式的本质是“积”，分母含字母的式子是分式，不是单项式。
第七页：课堂小结与练习
一、核心要点总结
1. 1. 单项式定义：数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
2. 2. 两个关键概念：
系数：单项式中的数字因数（含符号，π是常数）；
3. 次数：所有字母的指数和（单独常数次数为0）。
4. 3. 书写规范：数字在前、乘号省略、带分数化假分数、分母不含字母。
二、课堂练习
1. 1. 下列各式中，是单项式的是（ ）
A. x+1 B. $\frac{1}{x}$ C. -2xy D. $\frac{x+y}{2}$
（答案：C）
2. 2. 单项式-$\frac{2}{3}$x y的系数是________，次数是________。（答案：-$\frac{2}{3}$；3）
3. 3. 若单项式3x y的次数是4，则n=________。（答案：3）
4. 4. 写出满足下列条件的单项式：
（1）系数为5，次数为1：________（如5x）
（2）含有字母a、b，系数为-1，次数为3：________（如-ab 、-a b）
5. 5. 判断下列说法是否正确，错误的请改正：
（1）单项式的次数是指单项式中所有数字的指数和。（错误，是所有字母的指数和）
（2）单项式-$\frac{1}{2}$πa 的系数是-$\frac{1}{2}$，次数是2。（错误，系数是-$\frac{1}{2}$π，次数是2）
知识点
单项式的相关概念
0.8p, mn, a2, πr2h 这些代数式有什么共同特点？
数字
字母
1×mn
数字
字母
由数或字母的积组成的代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式。
数或字母的积的形式包含三种：数与数的积，数与字母的积，字母与字母的积.
0.8 p m n a2 π r2 h
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.
1
下列单项式的系数分别是多少？
一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.
下列单项式的次数分别是多少？
1
1次
2次
2次
3次
规定非零数的次数是0
提醒：
1.单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面.
2.单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写.
例1 用单项式填空，并指出它们的系数和次数
（1）若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积为__________.
（2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm，
y cm，z cm，则这个长方体包装盒的体积为_____cm3.
（3）有理数n的相反数是________.
系数： 次数：2
xyz
系数：1 次数：3
-n
系数：-1 次数：1
（4）《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票．邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套)，如图所示．某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了m张这种版式的邮票作为奖品，共花费_______元.
12m
系数：12 次数：1
（5）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3∶2，有五种通用尺度（即尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为a cm，则这种尺度的国旗旗面的面积为________cm2.
系数： 次数：2
用单项式填空，并指出它们的系数和次数:
（1） 每包书有12册，n包书有 册；
系数：12，次数：1
（2） 底边长为 a cm，高为 h cm的三角形
的面积是 cm2；
系数： ，次数：2
（3） 棱长为 a cm的正方体的体积是 cm3 ；
系数：1，次数：3
（4）一台电视机原价 b 元，现按原价的9折出售，
这台电视机现在的售价是 元；
系数：0.9，次数：1
（5）一个长方形的长是0.9 m，宽是b m ，这个长方形的面积是 m2.
系数：0.9，次数：1.
1.填表：
单项式
系数
次数
2
2
－1.2
1
1
3
－1
2
2
【选自教材P91 练习 第1题】
课后练习
2.用单项式填空，并指出它们的系数和次数.
（1）国家速滑馆“冰丝带”采用了我国自有的二氧化碳跨临界直冷制冰系统，不仅安全，而且绿色环保.如果使用传统制冷剂，同等用量下的碳排放量是二氧化碳制冷剂的3985倍.若使用一批二氧化碳制冷剂的碳排放量为 m t，则相同用量的传统制冷剂的碳排放量为_________t.
【选自教材P91 练习 第2题】
系数：3985，次数：1
3985m
（2）某人经营一家网店，“五一”假期期间他对网店的某种商品进行促销. 若每售出一件这种商品获利 m 元，则售出 n 件这种商品共获利__________元.
（3）测量降水量的基本仪器是雨量器. 如图，一个雨量器的集雨斗是圆锥形状，其内部的底面半
径为r，高为 h，则这个集雨斗的容积为________.
r
h
系数：1，次数：2
mn
系数： ，次数：3
3. （1）若2x2ym-2a是6次单项式，试求m的值；
（2）若（m-5）x2y|m|-2a是6次单项式，试求m的值.
解：（1）因为 2 + m – 2 + 1 = 6，
所以 m = 5
（2）因为|m|– 2 = 3 且 m ≠ 5，
所以m = -5
4. 下列单项式：-x，2x2，-3x3，4x4，…
（1）根据它们的排列规律，写出第101，102
个单项式；
解：（1）-101x101，102x102.
拓展延伸
1. ［2025成都锦江区期中］在式子，，， ，
，， 中，单项式的个数是( )
C
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
2. 下列说法正确的是( )
A. 单项式的系数是 ，次数是2
B. 单项式 的系数为1，次数是0
C. 是二次单项式
D. 单项式的系数为 ，次数是2
D
返回
3. 如果是关于，的五次单项式，则， 满足
的条件是( )
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
返回
4. 请写出一个次数为3，含
有字母和 ，系数是2的单项式：______________.
或
返回
5.若单项式与单项式的次数相同，则
___.
2
返回
单项式定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式．
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和.
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