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(共26张PPT)
人教版（2024）版数学7年级上册
第四章 整式的加减
4.1.2多项式和整式
1.能叙述并理解多项式、多项式的项及其次数的概念.
2.知道什么叫整式，弄清整式与多项式、单项式的关系.
4.1.2 多项式和整式
第一页：情境引入——从“单项式和”到多项式
上节课我们学习了单项式，它能简洁表示数与字母的积。但生活中很多数量关系，仅用单项式无法表达。请观察以下场景，尝试用数学式子表示：
- （1）一个长方形花坛，长为a米，宽为b米，为了美观在四周围上栅栏，栅栏的总长度是多少米？（提示：长方形周长=2×长+2×宽）
- （2）小明买了3本单价为x元的笔记本和1支单价为y元的钢笔，他一共花了多少钱？
- （3）某超市上月盈利m万元，本月盈利比上月的2倍多5万元，本月盈利多少万元？
- （4）一个三位数，百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，这个三位数如何表示？（提示：百位数字表示几个100，十位表示几个10）
学生尝试回答后，引出式子：2a+2b、3x+y、2m+5、100a+10b+c。这些式子都是由单项式相加组成的，它们就是我们今天要学习的“多项式”。
第二页：探究新知——多项式的定义与相关概念
1. 多项式的定义
观察式子2a+2b、3x+y、2m+5、100a+10b+c，它们的共同特点是：由几个单项式相加组成。
像这样，几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项；不含字母的项叫做常数项。
注意：多项式中的“和”是代数和，项包括它前面的正、负符号。例如，多项式2x-3y+1可看作2x、-3y、+1的和，各项分别是2x、-3y、1，常数项是1。
2. 多项式的次数
多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。多项式的次数是几，就叫做几次多项式。
3. 概念应用：分析多项式的项与次数
例1：指出多项式3x -2xy+y -5的项、常数项和次数，并说明它是几次几项式。
解答：
- 项：3x 、-2xy、y 、-5（注意各项的符号）；
- 常数项：-5（不含字母的项）；
- 各项次数：3x 是二次项，-2xy是二次项，y 是三次项，-5是零次项；
- 多项式的次数：次数最高的项是y （三次），所以多项式的次数是3；
- 结论：这是一个三次四项式。
例2：分析多项式100a+10b+c的项与次数。
解答：
- 项：100a、10b、c；
- 常数项：无（所有项都含字母）；
- 各项次数：均为一次项；
- 多项式的次数：1，是一次三项式。
第三页：核心概念——整式的定义与分类
1. 整式的定义
我们已经学习了单项式和多项式，它们的共同特点是：分母中不含字母，且不含字母开方的运算。
单项式和多项式统称为整式。
2. 整式的分类
整式的分类可以用如下结构表示：
单项式（如：3a、-5、πr ）
/
整式
\
多项式（如：2x+3y、x -2x+1）
3. 概念辨析：判断是否为整式
请判断下列式子是否为整式，并说明理由：
- （1）5x y：是，单项式属于整式；
- （2）3x+$\frac{1}{2}$y：是，多项式属于整式；
- （3）$\frac{2}{x}$：不是，分母中含有字母，是分式，不是整式；
- （4）x-$\frac{1}{3}$：是，多项式属于整式；
- （5）$\sqrt{x}$：不是，含有字母开方运算，不是整式；
- （6）-7：是，单项式属于整式。
整式的本质：分母不含字母，不含字母的开方、指数为负等非整数次幂的运算。分式和整式是并列关系，不是包含关系。
第四页：例题解析——整式相关综合应用
通过例题巩固多项式的项、次数及整式的判断，掌握相关知识的综合运用。
例1：根据多项式的次数与项数求值
已知多项式-$\frac{1}{2}$x y + 3xy - 5x + 6是六次四项式，求m的值。
分析：多项式是六次四项式，说明次数最高的项的次数为6。
解答：
- 步骤1：确定各项的次数：
-$\frac{1}{2}$x y 的次数：2 + (m+1) = m+3；
- 3xy 的次数：1+3=4；
- -5x 的次数：3；
- 6的次数：0。
步骤2：根据多项式次数为6，列方程：m+3=6；
步骤3：求解：m=6-3=3。
答：m的值为3。
例2：整式的判断与分类
将下列式子填入相应的括号内：
-3a b、$\frac{1}{2}$x+y、-$\frac{2}{3}$、$\frac{x}{3}$、$\frac{5}{x}$、0、a -2a b+b 、$\sqrt{2}$x
- 单项式：{ -3a b、-$\frac{2}{3}$、$\frac{x}{3}$、0、$\sqrt{2}$x }
- 多项式：{ $\frac{1}{2}$x+y、a -2a b+b }
- 整式：{ -3a b、$\frac{1}{2}$x+y、-$\frac{2}{3}$、$\frac{x}{3}$、0、a -2a b+b 、$\sqrt{2}$x }
- 非整式：{ $\frac{5}{x}$ }
例3：根据条件构造多项式
（1）写出一个二次三项式，使它的常数项为-5，且含有x、y两个字母：________________（答案不唯一，如x +xy-5）
（2）写出一个三次二项式，只含有字母a：________________（答案不唯一，如a +2）
第五页：易错警示——常见误区剖析
1. 误区一：多项式的项忽略前面的符号
错误：认为多项式2x -3x+1的项是2x 、3x、1；
剖析：多项式的项包括前面的符号，正确项应为2x 、-3x、1；
规避：确定多项式的项时，先将多项式按“+”号拆分为单项式，注意保留各项的符号。
2. 误区二：计算多项式次数时，误将所有字母的指数相加或漏看项的符号
错误：认为多项式-x y+2xy的次数是3+1+1+1=6；
剖析：多项式的次数是“次数最高的项的次数”，不是所有字母指数的和。-x y的次数是3+1=4，2xy的次数是2，多项式次数为4；
规避：先分别计算每一项的次数，再取其中的最大值作为多项式的次数。
3. 误区三：混淆“整式”与“分式”，认为分母含字母的式子是整式
错误：认为$\frac{x}{2}$和$\frac{2}{x}$都是整式；
剖析：$\frac{x}{2}$可看作$\frac{1}{2}$x，是单项式，属于整式；$\frac{2}{x}$分母含字母，是分式，不是整式；
规避：牢记整式的核心特征——分母不含字母，分母含字母的式子一定不是整式。
4. 误区四：将“π”当作字母，影响项的次数判断
错误：认为多项式πx +2x的次数是3；
剖析：π是常数，不是字母，πx 的次数是2，多项式次数为2；
规避：π是常数，计算项的次数时，仅看字母的指数，与π无关。
5. 误区五：对“几次几项式”的表述顺序混淆
错误：将“三次四项式”表述为“四项三次式”；
剖析：多项式的表述规则是“次数+项数+式”，先说明次数，再说明项数；
规避：牢记表述顺序，如“次数最高项的次数是n，共有m项”，则表述为“n次m项式”。
第六页：能力提升——多项式与实际问题
多项式在实际问题中应用广泛，关键是根据数量关系列出多项式，再结合需求分析其特征。
例：几何与代数结合
一个长方体无盖纸盒，长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米。
1. （1）求制作这个纸盒所需硬纸板的面积（表面积）；
2. （2）指出该多项式的项、次数，并说明它是几次几项式；
3. （3）当a=10，b=8，c=3时，求硬纸板的面积。
解答：
1. （1）无盖纸盒表面积=底面积+四个侧面面积，多项式为：ab + 2ac + 2bc；
2. （2）项：ab、2ac、2bc；无常数项；各项次数均为2，多项式次数为2，是二次三项式；
3. （3）代入a=10，b=8，c=3：
10×8 + 2×10×3 + 2×8×3 = 80 + 60 + 48 = 188（平方厘米）
答：硬纸板的面积为188平方厘米。
拓展练习：数字问题
一个两位数，十位数字为x，个位数字为y，将这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，得到一个新的两位数。用多项式表示这两个两位数的和，并判断这个多项式是几次几项式。（答案：11x+11y，一次二项式）
第七页：课堂小结与练习
一、核心要点总结
1. 1. 多项式：
定义：几个单项式的和；
2. 项：组成多项式的每个单项式（含符号），不含字母的项为常数项；
3. 次数：次数最高的项的次数，表述为“n次m项式”。
4. 2. 整式：单项式和多项式统称为整式，分母不含字母是整式的核心特征。
5. 3. 关系：单项式是特殊的多项式（只有一项的多项式），整式包含单项式和多项式。
二、课堂练习
1. 1. 下列式子中，是多项式的是（ ）
A. -5 B. $\frac{1}{x}$ C. 3x +2x-1 D. $\sqrt{3}$xy
（答案：C）
2. 2. 多项式-2x y +3x y-6xy+8的项是________________，常数项是________，次数是________，它是________次________项式。（答案：-2x y 、3x y、-6xy、8；8；5；五；四）
3. 3. 若多项式x + 2x - 5是三次多项式，则m的值为________。（答案：2或1或0，提示：最高次项可为x （次数3）或2x （次数3），故m+1≤3且m+1为非负整数）
4. 4. 下列式子中，属于整式的有（填序号）：________________
① $\frac{1}{a}$ ② 3a ③ x-y ④ $\frac{x}{5}$ ⑤ $\sqrt{x+1}$ ⑥ 0
（答案：②③④⑥）
5. 5. 一个长方形的长为(2x+1)厘米，宽为(x-2)厘米，用多项式表示它的面积，并求当x=3时，长方形的面积。（答案：面积多项式2x -3x-2；x=3时，面积=2×9-9-2=7平方厘米）
观察下列式子哪些是单项式，那些不是呢？
（1） （2） 2n-10 （3）
（4）23a2b （5） （6） x2+2x-8
知识点1
多项式
2n-10 x2+2x-8
观察下列几个式子有什么共同特点？
2n + (-10)
x2+2x+(-8)
共同特点：都是几个单项式的和
单项式
　　几个单项式的和叫做多项式.
　　每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
多项式： x2 + 2x - 8　　　
项　　
常数项　　
注意：
一个式子是多项式需具备两个条件:
①式子中含有运算符号“+” 或“-”；
②分母中不含字母.
2.多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念.
3.多项式的每一项都是单项式，每一项都包含它前面的符号.　　　
多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
含有三项　　
次数是2　　
次数是1　　
次数是0　　
多项式的次数是2　　
二次
三项式　　
多项式： x2 + 2x - 8
次数最高　　
注意：
1.单项式的次数与多项式的次数的区别：单项式的次数是所有字母的指数的和，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数.
2.当一个多项式中的各项的次数都相同，即不存在哪一项的次数最高时，任取某一项的次数作为这个多项式的次数.
整式：单项式与多项式统称整式．
知识点2
整式
如果一个式子既不是单项式也不是多项式，那么它一定不是整式.　　
例2 用多项式填空，并指出它们的项和次数.　
(1)一个长方形相邻两条边的长分别头a，b，则这个长方形的周长为________.
(2) m为一个有理数，m 的立方与2的差为_______.
(3)某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆.第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为_________.
2a+2b
m3-2
2a-12b
项：2a，2b 次数：1
项：m3，-2 次数：3
项：2a，-12b 次数：1
(4)现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成. 如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为___________.
18a2+4ab
项：18a2，4ab 次数：2
1.下列说法正确的是（ ）
A. 不是单项式 B. 是单项式
C. x的系数是0 D. 是整式
D
随堂练习
2.如果一个多项式是五次多项式，那么（ ）
A.这个多项式最多有六项
B.这个多项式只能有一项的次数是五
C.这个多项式一定是五次六项式
D.这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数
是五
D
3.下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的圈中.
2a+1，4r2，2x2-5y+1，3， .
单项式
多项式
4r2，3
2a+1，2x2-5y+1，
【选自教材P93 练习 第1题】
4.填表：
【选自教材P93 练习 第2题】
多项式
项
次数
-5a2b, 2ab, -b4
-2h, 1
rl, 2r2
x3, -2y, x2
4
1
2
2
3
5.鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是
一种广泛流传的益智玩具（如图（1）），其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图（2），这个面的面积为_________.
【选自教材P93 练习 第3题】
ab-cd
（1）
（2）
6. 有一个多项式a10-a9b+a8b2-a7b3+…，按这个规律写下去：
（1）写出它的第六项、最后一项；
（2）这个多项式是几次几项式？
解：（1）-a5b5，b10；
（2）十次十一项式.
知识点1 多项式及其相关概念
1.［2025南宁月考］下列各式为多项式的是( )
B
A. B. C. D.
2.多项式 的各项分别是( )
B
A.，，1 B.，，
C.，，1 D.，，
3.［2025郑州模拟］多项式 的次数及项数分别是( )
A
A.4，3 B. ，3 C.3，3 D.3，1
4.下列关于多项式 的说法正确的是( )
C
A.次数是6 B.次数最高的项是
C.常数项是 D.二次项系数是2
5. ［2025天津期末］某同学笔记本上的一个关于字母
，的多项式未记录完整：“ 是一个三次三项式”.若要将此
多项式补充完整，则补充的内容可以是__________________.
（答案不唯一）
6.（1）若多项式的次数是4，则 ___；
（2）若多项式是关于的二次三项式，则 ___.
6
2
7.［教材P练习T 变式］填表：
多项式
次数 ___ ___ ___
常数项 ___ ____ ____
最高次项 _____ _____ ________
1
2
5
1
多项式定义：几个单项式的和叫做多项式.
每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．
整式：单项式与多项式统称整式．
课堂小结
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