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人教版（2024）版数学7年级上册
第四章 整式的加减
4.2.1合并同类项
1.知道什么是同类项，会判断同类项.
2.掌握合并同类项的方法，能准确合并同类项. 3.通过类比数的运算探究，找到合并同类项的方法，从中体会“数式通性”和类比思想.
4.2.1 合并同类项
第一页：情境引入——寻找“同类”的量
在整理学习用品时，我们会把铅笔放在一起，尺子放在一起，笔记本放在一起；在超市购物时，收银员会把蔬菜、水果、日用品分别归类结算。这种“同类事物放在一起”的思维，在数学中同样重要。
请观察以下整式，尝试将它们分类，并说明分类理由：
3x、-5、2x、7、$\frac{1}{2}$xy、-xy、4x 、-x
学生分类后，引出问题：像3x与2x、-5与7这样的式子，它们有什么共同特征？为什么可以归为一类？今天我们就来学习——合并同类项，掌握将“同类”整式简化的方法。
第二页：探究新知——同类项的定义
1. 观察特征，提炼共性
对比下列各组整式，找出它们的共同特点：
- 第一组：3x、2x、-7x → 都含有字母x，且x的指数都是1；
- 第二组：$\frac{1}{2}$xy、-xy、5xy → 都含有字母x、y，且x的指数都是1，y的指数都是1；
- 第三组：4x 、-x 、3x → 都含有字母x，且x的指数都是2；
- 第四组：-5、7、0 → 都是常数项（不含字母）。
2. 同类项的严格定义
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
特别规定：所有的常数项都是同类项（如-5、7、0互为同类项）；同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。
3. 概念辨析：判断是否为同类项
请判断下列各组中的两项是否为同类项，并说明理由：
- （1）3a与3b：不是，所含字母不同（a≠b）；
- （2）2x 与3x ：不是，相同字母的指数不同（2≠3）；
- （3）-5xy与7yx：是，所含字母相同（x、y），相同字母指数也相同，与排列顺序无关；
- （4）4abc与-abc：是，所含字母及对应指数均相同；
- （5）-3与$\frac{1}{2}$：是，所有常数项都是同类项；
- （6）2x y与3xy ：不是，相同字母的指数不同（x的指数2≠1，y的指数1≠2）。
第三页：核心法则——合并同类项的方法
1. 合并同类项的定义
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的本质是“用加法分配律简化运算”。
例如：3x + 2x = (3 + 2)x = 5x；-5 + 7 = (-5 + 7) = 2。
2. 合并同类项的法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
关键提醒：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，字母及指数不变，不能改变字母的指数或遗漏字母。
3. 法则应用：基础合并
例1：合并下列同类项：
1. （1）4a + 5a = (4 + 5)a = 9a；
2. （2）-3x + 2x = (-3 + 2)x = -x ；
3. （3）$\frac{1}{2}$xy - $\frac{1}{3}$xy = ($\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$)xy = $\frac{1}{6}$xy；
4. （4）-7 + 3 = (-7 + 3) = -4；
5. （5）3ab - 2ab + 5ab = (3 - 2 + 5)ab = 6ab 。
第四页：例题解析——多项式中的同类项合并
多项式中合并同类项的步骤：①找出同类项（可标上相同记号）；②利用加法交换律和结合律，将同类项分组；③按法则合并同类项；④整理结果（通常按某一字母的指数从高到低排列）。
例2：合并多项式中的同类项
合并多项式3x - 2xy + y - x + 2xy的同类项。
解答：
1. 步骤1：找出同类项并标记：
3x （①） - 2xy（②） + y （③） - x （①） + 2xy（②）
2. 步骤2：分组同类项：
（3x - x ） + （-2xy + 2xy） + y
3. 步骤3：按法则合并：
（3 - 1）x + （-2 + 2）xy + y = 2x + 0·xy + y = 2x + y
4. 步骤4：整理结果：2x + y （按x的指数从高到低排列）
例3：含常数项的多项式合并
合并多项式-5x + 3x + 1 + 6x - 4x - 7的同类项。
解答：
分组：（3x - 4x ） + （-5x + 6x） + （1 - 7）
合并：（3 - 4）x + （-5 + 6）x + （1 - 7） = -x + x - 6
例4：同类项合并的化简求值
先合并同类项，再求多项式2x - 5x + x + 4x - 3x + 2的值，其中x = $\frac{1}{2}$。
解答：
1. 步骤1：合并同类项：
（2x + x - 3x ） + （-5x + 4x） + 2 = 0·x - x + 2 = -x + 2
2. 步骤2：代入x = $\frac{1}{2}$求值：
-$\frac{1}{2}$ + 2 = $\frac{3}{2}$
答：多项式的值为$\frac{3}{2}$。
第五页：易错警示——常见误区剖析
1. 误区一：非同类项强行合并
错误：3x + 2y = 5xy；x + x = x
剖析：3x与2y所含字母不同，x 与x 相同字母指数不同，均不是同类项，不能合并；
规避：先判断是否为同类项，非同类项不能合并。
2. 误区二：合并时改变字母或字母的指数
错误：5a - 2a = 3；4xy - xy = 4x
剖析：合并时字母及指数应保持不变，5a - 2a = 3a ，4xy - xy = 3xy；
规避：牢记法则“字母和字母的指数不变”，仅合并系数。
3. 误区三：系数相加时忽略符号
错误：-3x + 2x = -5x；7y - 8y = 15y
剖析：系数相加需带符号计算，-3 + 2 = -1，7 - 8 = -1，正确结果为-x和-y；
规避：合并前明确各同类项的系数符号，再进行加减运算。
4. 误区四：漏项或遗漏系数“1”或“-1”
错误：2x - x + 3x = 2 + 3x；-a + 5a = 4
剖析：2x - x = x （系数1省略不写），-a + 5a = 4a（不能遗漏字母a）；
规避：合并后系数为1或-1时，“1”省略，但字母需保留；系数不为0的项不能漏写。
第六页：能力提升——复杂情境中的同类项合并
例5：含括号的同类项合并
合并多项式3(2x - y) - 2(3x + y) + 4(2x - y)的同类项（提示：将(2x - y)看作一个整体）。
解答：
设A = 2x - y，则原式=3A - 2(3x + y) + 4A = (3A + 4A) - 6x - 2y = 7A - 6x - 2y
代入A = 2x - y：7(2x - y) - 6x - 2y = 14x - 7y - 6x - 2y = (14x - 6x) + (-7y - 2y) = 8x - 9y
例6：根据同类项定义求字母值
已知-2x y 与$\frac{1}{3}$x y 是同类项，求m + n的值。
分析：同类项要求相同字母的指数相同，故x的指数m=2，y的指数n=3。
解答：m=2，n=3，所以m + n=2 + 3=5。
拓展练习：整体代入求值
已知x + 2x = 3，求多项式2x + 4x - 5的值。（提示：2x + 4x = 2(x + 2x)）
答案：2×3 - 5=1
第七页：课堂小结与练习
一、核心要点总结
1. 1. 同类项定义：字母相同，相同字母指数也相同（常数项都是同类项）。
2. 2. 合并法则：系数相加，字母及指数不变。
3. 3. 多项式合并步骤：找同类项→分组→合并→整理。
4. 4. 核心思想：化繁为简，通过合并同类项将多项式简化，方便计算和应用。
二、课堂练习
1. 1. 下列各组中，属于同类项的是（ ）
A. 3x y与3xy B. 3xy与-2yx C. 2x与2x D. 5与5x
（答案：B）
2. 2. 合并同类项：
（1）-a - a = ________；（2）3x y - 5x y = ________；（3）2a + 3b - 5a - 2b = ________
（答案：-2a；-2x y；-3a + b）
3. 3. 先合并同类项，再求值：3a - 5a + 2 - 6a + 6a - 3，其中a = 1。
（答案：-3a + a - 1；当a=1时，值为-3）
4. 4. 已知2x y 与-x y是同类项，则m = ________，k = ________，合并后为________。
（答案：3；1；x y）
5. 5. 已知a + b = 4，求多项式2(a + b) - 5(a + b) + 3(a + b)的值。
（答案：0）
汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，行驶的平均速度为96km/h；另一段为海底隧道，行驶的平均速度为72km/h．如果汽车通过海底隧道需要a h，从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的1.25倍，香港口岸到西人工岛的全长（单位:km）是多少？
72a+120a
你能计算这个代数式吗？你是计算的依据是什么？
（1）运用运算律计算：
72×2+120×2=_________；
72×（-2）+120×（-2）= __________.
知识点1
同类项的概念
探究
72×2+120×2
=(72+120)×2
=192×2
=384
根据分配律可得
72×(-2)+120×(-2)
=(72+120)×(-2)
=192×(-2)
= -384
（2）根据上面的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：
72a＋120a=________________.
探究
72a+120a
= (72+120) a
= 192a
根据分配律得：
192a
① 3m2 与 2m2 ； ② 2a3b5 与 5a3b5 ；
③ 6xy 与 –xy； ④ y7x6z3 与 -3z3y7x6.
观察上面每组的两个单项式有什么共同特点？
①每个式子的项含有相同的字母；
②并且相同字母的指数也相同.
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
几个常数项也是同类项.
所含字母相同
相同字母的指数也相同
3 x2 y3 与 -4 y3 x2 是同类项
归纳总结
（1）判断同类项的关键是“两相同”“两无关”:
①“两相同”:所含字母完全相同,相同字母的
指数也相同;
②“两无关”:与系数无关,与字母的排列顺序
无关.
（2）判断同类项的步骤:
观察所含字母是否相同
否
是
不是同类项
观察相同字母的指数是否相同
否
是
是同类项
不是同类项
若单项式-3amb2与单项式 是同类项，则m=____，n=____.　
针对训练
3
2
（1）72a-120a=（ ）a；
（2）3m2+2m2=（ ）m2；
（3）3xy2-4xy2=（ ）xy2
填空:
-48
5
-1
探究
知识点2
合并同类项
72-120
3+2
3-4
上述多项式的运算有什么共同特点
①根据分配律把多项式各项的系数相加；
②字母部分保持不变.
（1）72a-120a=（ ）a；
（2）3m2+2m2=（ ）m2；
（3）3xy2-4xy2=（ ）xy2
-48
5
-1
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变.
例如
（交换律）
（结合律）
（分配律）
例1　合并下列各式的同类项:
（1） ；
解：原式
（2）
原式
合并同类项的一般步骤：
①找：找出同类项（并做标记）；
②移：运用交换律、结合律将同类项集中在一起；
③合：合并同类项；
④写：按同一字母的降幂（或升幂）排列写出.
合并同类项应注意的问题：
①运用交换律、结合律将多项式变形时，不能丢掉各项系数的符号；
②不要漏项；
③运算结果通常按某一字母的降幂（或升幂）
排列.
知识点3
合并同类项的运用
例2（1）求多项式 的值，其中 ；
解：
当 时，原式 .
当 ， 时，
原式
（2）求多项式 的值，其中 ， ，c=-3.
解：
请你把字母的值直接代入原式求值.与上述化简求值比较，哪种方法更简便？
求下列各式的值.
（1）3a+2b-5a-b，其中a=-2，b=1;
解：（1）3a+2b-5a-b
=(3-5)a+(2-1)b
= -2a+b
当a=-2，b=1时，原式= -2×(-2)+1=5
针对训练
（2）3x-4x2+7-3x+2x2+1，其中x = -3.
解： 3x-4x2+7-3x+2x2+1
=(-4+2)x2+ (3-3)x+ (7+1)
= -2x2+8
当x = -3时，原式 = -2×(-3)2+8 = -10
例3（1）水库水位第一天连续下降了a h，平均每小时下降2cm；第二天连续上升了a h，平均每小时上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
解：把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一天水位的变化量是-2a cm，
第二天水位的变化量为0.5a cm. 由
-2a+0.5a = (-2+0.5)a= -1.5a
可知，这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm.
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x kg.
上午售出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？
解：把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是-3x kg，下午大米质量的变化量是4x kg. 由
5x-3x+4x = (5-3+4)x= 6x
可知，进货后这个商店有大米6x 千克.
1. 下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）
A. a2和a B. -0.5ab和 ba
C. a2b和ab2 D. a和b
B
2. 下列运算中，正确的是（ ）
A. 3a+2b=5ab B. 3a2b-3ba2=0
C. 2x3+3x2=5x5 D. 5y2-4y2=1
B
随堂练习
3. 合并下列各式的同类项：
（1）5x+4x；
（3）-7ab＋6ab；
（5）mn2＋3mn2；
（4）10y2－0.5y2；
（2） ；
【选自教材P98 练习 第1题】
（6）-3x2y+3xy2＋2x2y-2xy2.
9x
-ab
9.5y2
4mn2
-x2y+xy2
4. 先化简，再求值：
（1）3a+2b-5a-b，其中a=-2，b=1；
【选自教材P98 练习 第2题】
解：(1) 3a+2b-5a-b=-2a+b.
当a=-2，b=1时，原式=(-2)×(-2) +1=5.
（2）3x-4x2+7-3x+2x2+1，其中x=-3.
(2) 3x-4x2+7-3x+2x2+1=-2x2+8.
当x=-3时，原式=(-2)×(-3)2+8=-10.
5. 如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的 ，求阴影部分的面积.
解：阴影部分的面积为
πR2- πR2= πR2
【选自教材P98 练习 第3题】
R
1. 下列选项中的两个单项式不是同类项的是( )
B
A. 与4 B. 与
C. 与 D. 与
返回
2. 下列运算中，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 已知代数式和是同类项，则 的值
是( )
D
A. B. C. D. 4
【点拨】因为代数式和 是同类项，所以
,.所以， .所以
.
返回
4. 若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则 一
定是( )
B
A. 次数不超过五次的多项式
B. 五次多项式或单项式
C. 九次多项式
D. 次数不低于五次的多项式
返回
5. 如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类
项，若它们合并后的结果为，则代数式 的值为
( )
C
A. B. 0 C. 1 D. 2
【点拨】由题意得 ，所以
.
返回
6. 若整式化简后是关于, 的三次
二项式,则 的值为( )
A
A. B. C. 8 D. 16
【点拨】
.因为
化简后是关于, 的三次二项式，
所以，,所以， ,所以
.
返回
7. 请写出一个系数为负数且与 是同类项
的单项式:_______________________.
（答案不唯一）
返回
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
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