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人教版（2024）版数学7年级上册
第四章 整式的加减
4.2.3整式的加法与减法
1.能熟练进行整式加减运算.
2.能运用整式加减运算解决简单的实际问题.
4.2.3 整式的加法与减法
第一页：情境引入——整式加减的实际需求
上节课我们掌握了去括号的方法，结合之前的合并同类项知识，就能解决更复杂的整式运算问题。在生活和学习中，我们经常会遇到需要将两个或多个整式进行加减的情况：
- （1）小明在计算一个组合图形的面积时，得到两个部分的面积分别为(2x + 3x)平方厘米和(x - 2x + 1)平方厘米，这个组合图形的总面积是多少？若较大部分面积减去较小部分面积，差值是多少？
- （2）某商店第一天盈利(3a - 2b)元，第二天盈利(2a + 3b)元，两天一共盈利多少元？第二天比第一天多盈利多少元？
- （3）一个多项式与(2x - 1)的和是(3x + x - 5)，这个多项式是多少？
这些问题的核心都是整式的加法与减法。整式的加减本质是什么？又该如何计算？今天我们就来深入学习——整式的加法与减法，掌握整式运算的核心方法。
第二页：探究新知——整式加法的法则与应用
1. 整式加法的本质：合并同类项的延伸
观察下列整式加法问题，思考计算方法：
问题1：计算(2x + 3x) + (x - 2x + 1)，这是两个多项式的和。
分析：两个整式相加，只需将它们的各项直接相加，再通过去括号（若有括号）、合并同类项简化结果。
计算过程：
（2x + 3x） + （x - 2x + 1）
= 2x + 3x + x - 2x + 1（括号前是“+”，去括号后各项符号不变）
= （2x + x ） + （3x - 2x） + 1（分组同类项）
= 3x + x + 1（合并同类项）
2. 整式加法的法则
整式的加法：一般地，几个整式相加，只需把它们的各项分别相加，再根据去括号法则去掉括号，最后合并同类项，得到最简结果。
关键提醒：整式相加时，若有括号，先去括号（括号前是“+”号，各项符号不变）；若无括号，直接将同类项分组合并。
3. 整式加法的例题解析
例1：不含括号的整式加法
计算：3a b + 2ab + 5a b - ab 。
解答：直接分组同类项并合并
= （3a b + 5a b） + （2ab - ab ）
= 8a b + ab
例2：含括号的整式加法
计算：(3x - 2y) + (2x + 3y - 1) + (-x + y + 2)。
解答：先去括号，再合并同类项
= 3x - 2y + 2x + 3y - 1 - x + y + 2（去所有括号，符号均不变）
= （3x + 2x - x） + （-2y + 3y + y） + （-1 + 2）
= 4x + 2y + 1
第三页：探究新知——整式减法的法则与应用
1. 整式减法的本质：转化为加法运算
类比有理数的减法“减去一个数等于加上这个数的相反数”，整式的减法也可以转化为加法：
减去一个整式，等于加上这个整式的相反数。
问题2：计算(2x + 3x) - (x - 2x + 1)，这是两个多项式的差。
计算过程：
（2x + 3x） - （x - 2x + 1）
= 2x + 3x + （-x + 2x - 1）（转化为加多项式的相反数）
= 2x + 3x - x + 2x - 1（去括号，括号前是“-”，各项符号改变）
= （2x - x ） + （3x + 2x） - 1
= x + 5x - 1
2. 整式减法的法则
整式的减法：将减法转化为加法（即减去一个整式，等于加上这个整式的相反数），再按整式加法的法则计算——去括号、合并同类项，得到最简结果。
核心易错点：转化为相反数后，一定要给整个整式加括号，再去括号时严格遵循符号法则，避免漏变号。
3. 整式减法的例题解析
例3：简单整式减法
计算：(5a - 2a) - (3a - 4a + 1)。
解答：转化为加法后去括号、合并同类项
= 5a - 2a + (-3a + 4a - 1)
= 5a - 2a - 3a + 4a - 1
= （5a - 3a ） + （-2a + 4a） - 1
= 2a + 2a - 1
例4：含多个整式的混合加减
计算：(2x + 3xy - y ) - (x - xy + y ) + (3x - 2xy)。
解答：依次处理加减运算，注意符号变化
= 2x + 3xy - y - x + xy - y + 3x - 2xy（去括号：“-”后括号变号，“+”后括号不变）
= （2x - x + 3x ） + （3xy + xy - 2xy） + （-y - y ）
= 4x + 2xy - 2y
第四页：进阶例题——整式加减的综合应用
例5：已知两个整式的和与一个整式，求另一个整式
已知多项式A与多项式B = 2x - 3x + 5的和是多项式C = 5x - 2x + 3，求多项式A。
分析：根据“加数 = 和 - 另一个加数”，可得A = C - B。
解答：
A = (5x - 2x + 3) - (2x - 3x + 5)
= 5x - 2x + 3 - 2x + 3x - 5
= （5x - 2x ） + （-2x + 3x） + （3 - 5）
= 3x + x - 2
答：多项式A为3x + x - 2。
例6：整式加减的化简求值
先化简，再求值：(3a b - 2ab ) - 2(ab - 2a b) + (a b - 3ab )，其中a = 1，b = -2。
解答：
1. 步骤1：去括号（注意系数分配和符号）
= 3a b - 2ab - 2ab + 4a b + a b - 3ab
2. 步骤2：合并同类项
= （3a b + 4a b + a b） + （-2ab - 2ab - 3ab ）
= 8a b - 7ab
3. 步骤3：代入a = 1，b = -2求值
= 8×1 ×(-2) - 7×1×(-2)
= 8×1×(-2) - 7×1×4
= -16 - 28 = -44
答：多项式的值为-44。
例7：整式加减与绝对值、平方的结合应用
已知|x - 2| + (y + 1) = 0，求多项式(2x + 3xy - y ) - (x - xy + y )的值。
分析：绝对值和平方数均为非负数，和为0则各自为0，故x - 2 = 0，y + 1 = 0，得x = 2，y = -1。
解答：
1. 步骤1：化简多项式
= 2x + 3xy - y - x + xy - y = x + 4xy - 2y
2. 步骤2：确定x、y的值
由|x - 2| + (y + 1) = 0，得x = 2，y = -1
3. 步骤3：代入求值
= 2 + 4×2×(-1) - 2×(-1) = 4 - 8 - 2 = -6
答：多项式的值为-6。
第五页：实际应用——整式加减在生活中的场景
例8：几何图形中的整式加减
一个长方形的长为(3a + 2b)厘米，宽为(a - b)厘米，将两个这样的长方形拼成一个大长方形（无重叠），求大长方形的周长（分两种拼接方式计算）。
解答：先明确两种拼接方式的长和宽，再用周长公式计算
1. 方式一：以长为公共边拼接
大长方形长 = 3a + 2b，宽 = 2(a - b) = 2a - 2b
周长 = 2[(3a + 2b) + (2a - 2b)] = 2[5a] = 10a（厘米）
2. 方式二：以宽为公共边拼接
大长方形长 = 2(3a + 2b) = 6a + 4b，宽 = a - b
周长 = 2[(6a + 4b) + (a - b)] = 2[7a + 3b] = 14a + 6b（厘米）
答：以长拼接时周长为10a厘米，以宽拼接时周长为14a + 6b厘米。
例9：经济问题中的整式加减
某工厂生产一批零件，每个零件的生产成本为(2x + 3)元，生产过程中产生的损耗费用为(5x - 10)元，销售时每个零件的售价为(5x + 2)元，若生产并销售n个零件，求该批零件的总利润（总利润 = 总售价 - 总成本 - 总损耗）。
解答：
1. 步骤1：分别表示总售价、总成本、总损耗
总售价 = n(5x + 2) = 5nx + 2n
总成本 = n(2x + 3) = 2nx + 3n
总损耗 = 5x - 10
2. 步骤2：列总利润表达式并化简
总利润 = (5nx + 2n) - (2nx + 3n) - (5x - 10)
= 5nx + 2n - 2nx - 3n - 5x + 10
= 3nx - n - 5x + 10
答：该批零件的总利润为(3nx - n - 5x + 10)元。
第六页：易错警示——整式加减的常见误区
1. 误区一：减法转化时，未给整个整式加括号，导致漏变号
错误：(3x - x) - x - 2x = 3x - x - x - 2x = 2x - 3x
剖析：原式应为(3x - x) - (x + 2x)，未给减式加括号，导致x + 2x中的“+2x”未变号；
正确：(3x - x) - (x + 2x) = 3x - x - x - 2x = 2x - 3x（若原题减式为x - 2x，则正确结果为2x + x）；
规避：整式减法中，减式必须整体加括号，再按去括号法则处理。
2. 误区二：去括号时，系数分配漏乘括号内的项
错误：2(x - 3x) - (2x - 1) = 2x - 3x - 2x + 1 = -3x + 1
剖析：系数2未乘括号内的-3x，正确应为2x - 6x；
正确：2x - 6x - 2x + 1 = -6x + 1；
规避：有系数的括号，去括号时系数要与括号内每一项相乘。
3. 误区三：合并同类项时，混淆系数符号或遗漏项
错误：3a + 2a - 5a - 3a = (3a + 5a ) + (2a - 3a) = 8a - a
剖析：-5a 的符号为负，应与3a 相减，而非相加；
正确：(3a - 5a ) + (2a - 3a) = -2a - a；
规避：合并同类项前，标清每一项的符号，再进行系数运算。
4. 误区四：化简求值时，未化简直接代入，计算繁琐易出错
错误：直接代入a=1，b=-2计算(3a b - 2ab ) - 2(ab - 2a b)，步骤繁琐且易算错；
剖析：先化简多项式，再代入求值，可大幅简化计算；
规避：严格遵循“先化简，再求值”的原则，减少计算量。
第七页：课堂小结与练习
一、核心要点总结
1. 1. 整式加减的本质：去括号和合并同类项的综合应用，最终将整式化为最简形式（不含同类项）。
2. 2. 运算法则：
加法：整式相加 → 去括号（“+”后不变号） → 合并同类项；
3. 减法：整式相减 → 转化为“加相反数” → 去括号（“-”后变号） → 合并同类项。
4. 3. 关键题型：
已知和与一个加数，求另一个加数（A = C - B）；
5. 化简求值（先化简多项式，再代入数值）；
6. 与几何、经济等实际场景结合的应用（先列整式，再运算）。
二、课堂练习
1. 1. 计算下列整式加减：
（1）(2x - 3x + 1) + (x + 4x - 5) = ________；
（2）(3a - 2b) - (5a + b) = ________；
（3）(x y - 2xy ) - 2(x y - 3xy ) + (3x y - xy ) = ________
（答案：3x + x - 4；-2a - 3b；2x y + 3xy ）
2. 2. 已知多项式A = 3x - 2x + 1，B = 2x + 3x - 4，求：
（1）A + B；（2）A - B
（答案：5x + x - 3；x - 5x + 5）
3. 3. 先化简，再求值：(2x - xy + 3y ) - 2(x + xy - 2y )，其中x = -1，y = 2。
（答案：-3xy + 7y ；值为34）
4. 4. 一个多项式与(2x - x + 3)的差是(x + 4x - 5)，求这个多项式。
（答案：3x + 3x - 2）
5. 5. 一个长方形的长为(2x + y)，宽为(x - 2y)，求这个长方形的周长与面积的差（周长用C表示，面积用S表示，求C - S）。
（答案：周长C=6x - 2y，面积S=2x - 3xy - 2y ，C - S=-2x + 3xy + 2y + 6x - 2y）
1.合并同类项法则的内容是什么？
2.去括号法则的内容是什么？
将同类项的系数相加， 所得的结果作为系数， 字母和字母的指数不变.
用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加.
知识点
整式的加减
例6 计算：
(1)( 2x – 3y ) + ( 5x + 4y )
= 2x – 3y + 5x + 4y
= 7x + y
(2)( 8a – 7b ) – ( 4a – 5b )
= 8a – 7b – 4a +5b
= 4a – 2b
去括号
合并同类项
去括号
合并同类项
例7 做大、小两个长方体纸盒，尺寸如表所示.
类型 长/cm 宽/cm 高/cm
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？
（2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？
解：小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca）cm2
大纸盒的表面积是（6ab+8bc+6ca）cm2
（1）由 (2ab+2bc+2ca)+ (6ab+8bc+6ca)
= 2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
= 8ab+10bc+8ca
可知，做这两个纸盒共用纸(8ab+10bc+8ca)cm2.
（2）由 (6ab+8bc+6ca)- (2ab+2bc+2ca)
=6ab+8bc+6ca -2ab-2bc-2ca
=4ab+6bc+4ca
可知，做大纸盒比做小纸盒多用纸(4ab+6bc+4ca)cm2.
解：小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca）cm2
大纸盒的表面积是（6ab+8bc+6ca）cm2
通过上面的学习，我们得到整式加减的运算法则：
几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
归纳总结
特别提醒：
（1）整式加减的结果要最简：①不能有同类项；②含字母的项的系数不能出现带分数，如果有带分数，将其化成假分数.
（2）整式加减的结果一般不含括号.
例8 求 的值，其中
x = – 2，y = .
解：
当x= – 2，y = 时，原式
先将式子化简，再代入数值进行计算比较简便.
整式的化简求值的一般步骤：
(1)化：利用整式加减的运算法则将整式化简；
(2)代：把已知字母的值代入化简后的式子；
(3)算：根据有理数的运算法则进行计算.
对于某些特殊的式子，可采用“整体代入法”进行计算.
归纳总结
先化简，再求值：3x2 – [8x-2(4x-3)–2x2]，其中x=-3.
解： 3x2 – [ 8x - 2(4x-3) – 2x2]
= 3x2 – 8x + 2(4x-3) + 2x2
= 3x2 – 8x + 8x – 6 + 2x2
= 5x2 – 6
针对训练
当x=-3时，原式=5×(-3)2-6=39.
1.计算：
【选自教材P101 练习 第1题】
随堂练习
（2）x3 – (x2-x+1) –2(x3-x2-1)-1
= x3 – x2+x-1 -2x3+2x2+2-1
= -x3 +x2+x
2. 求x2 – 5xy-3x2-2(1-2xy-x2)的值，其中
解： x2 – 5xy-3x2-2(1-2xy-x2)
= x2 – 5xy -3x2-2+4xy+2x2
= – xy -2
【选自教材P102 练习 第2题】
当 时，原式= .
3. 笔记本的单价是x元，中性笔的单价是y元. 王芳买了3本笔记本，2支中性笔；李明买了4本笔记本，3支中性笔.买这些笔记本和中性笔，王芳和李明一共花费多少元？
解法1：王芳买笔记本和中性笔共花费（3x+2y）元，
李明买笔记本和中性笔共花费（4x+3y）元.
王芳和李明一共花费（单位：元）:
(3x+2y) + (4x+3y) = 7x+5y
【选自教材P102 练习 第3题】
解法2：王芳和李明买笔记本共花费（3x+4x）元，
买中性笔共花费（2y+3y）元.
王芳和李明一共花费（单位：元）:
(3x+4x) + (2y+3y) = 7x+5y
复习巩固
1.合并同类项：
（1）2x-10.3x
解：原式=-8.3x
（2）3x-x-5x
解：原式=-3x
（3）-b+0.6b-3.6b
（4）m-n2-6m+2n2
解：原式=-4b
解：原式=n2-5m
2.化简：
（1）2(4x-0.5)
解：原式=8x-1
（2）-3(1-x)
解：原式=3x-3
（3）-x+2(2x-2)-(3x+5)
（4）3a2+a2-(2a2-2a)+(3a-a2)
解：原式=-9
解：原式=a2+5a
3.计算：
（1）(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a)
解：原式= 5a+4c+7b+5c-3b-6a
=-a+4b+9c
（2）(8xy-x2+y2)-(x2-y2+8xy)
解：原式= 8xy-x2+y2-x2+y2-8xy
=-2x2+2y2
（3）
解：原式=
（4）3x2-[7x-(4x-3)-2x2]
解：原式= 3x2-7x+4x-3+2x2
=5x2-3x-3
4. 先化简，再求值：
4(3a2b-ab2)-2(3ab2-a2b)-14a2b，
其中a=1，b= .
解：原式= 12a2b-4ab2-6ab2+2a2b-14a2b
=-10ab2
当a=1，b= 时，原式= .
知识点1 整式的加减
1.若,,则 ( )
A
A. B. C. D.
2.减去 等于( )
C
A. B.
C. D.
3.多项式与多项式 相加，合并
后不含的项是( )
C
A.三次项 B.二次项 C.一次项 D.常数项
4.［2025盐城期末］墨迹覆盖了等式“ ”中的多项
式，则覆盖的多项式为( )
D
A. B. C. D.
5.（8分）计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
6.（8分）［2025佛山期末］求代数式 的
值，其中， .
解：原式 .
当， 时，原式
.
知识点2 整式加减的应用
7.某天“复兴号”地铁在市广场站到站前原有 人，到站时下去
了人，又上来了一些人，此时地铁上共有 人，则在
市广场站上地铁的有___________人.
8.（8分）某校团委组织了有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖，
根据设奖情况需要买50件奖品，计划购买 件一等奖奖品，二等奖奖品
的件数比一等奖奖品的件数的2倍少10件，各种奖品的单价如下表：
奖品 一等奖 二等奖 三等奖
单价/元 12 10 5
数量/件
（1）将表格补充完整；
解：;
（2）求购买50件奖品一共需要多少元.
解：
元.
答：购买50件奖品一共需要 元.
9.若和都是三次多项式,则 一定是( )
D
A.三次多项式 B.六次多项式
C.次数不低于3的多项式或单项式 D.次数不高于3的多项式或单项式
10.已知，，则与 的大小关系是
( )
A
A. B. C. D.以上都有可能
11. 如果 ，那么代数式
的值为___.
12.（8分）已知， .
（1）求 ；
解： .
（2）若，满足，求 的值.
解：因为 ，
所以， ，
所以 .
整式加减的运算法则：
几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
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