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人教版（2024）版数学7年级上册
第五章 一元一次方程
5.1.1.2方程的解及一元一次方程
1. 能用文字和数学符号表达等式的性质.
2. 掌握等式的性质，能运用等式的性质进行等式的变形、解简单的一元一次方程，体会化归思想.
5.1.1.2 方程的解及一元一次方程
第1页：复习导入——唤醒方程记忆
【回顾提问】上节课我们认识了方程，大家一起回忆：
- 1. 什么是方程？（含有未知数的等式）
- 2. 判断：3x + 5 = 14 是方程吗？为什么？（是，含未知数x且是等式）
- 3. 我们曾通过天平原理求出x + 3 = 9中x的值是6，这个“6”在方程中扮演着怎样的角色呢？今天我们就来揭开它的面纱。
第2页：新知探究1——方程的解
【实例分析】以方程x + 3 = 9为例：
- 1. 尝试代入：当x=5时，左边=5+3=8≠9，方程左右两边不相等；当x=6时，左边=6+3=9=右边，方程左右两边相等。
- 2. 概念定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。（教师板书，强调“相等”“未知数的值”）
- 3. 关键词区分：“解方程”和“方程的解”一样吗？
- - 方程的解：是一个“值”（如x=6）；
- - 解方程：是求方程的解的“过程”（如通过等式性质求x的步骤）。
第3页：巩固练习——慧眼识“解”
【基础题】下列x的值，哪些是对应方程的解？
- 1. 方程2x = 10，x=5（ ），x=3（ ）——理由：代入x=5，左边=2×5=10=右边，是解；x=3时左边≠右边，不是解。
- 2. 方程x - 18 = 24，x=42（ ），x=6（ ）——理由：x=42时，左边=42-18=24=右边，是解。
- 3. 方程3x + 4 = 13，x=3（ ），x=5（ ）——理由：x=3时，左边=3×3+4=13=右边，是解。
【方法总结】判断一个数是否为方程的解，核心是“代入检验”：将这个数代入方程，看左右两边是否相等。
第4页：新知探究2——一元一次方程
【分类观察】观察下面的方程，它们有什么共同特征？
x + 3 = 9 4x = 16 2(x - 1) = 10 5 - 0.5x = 2
再对比这些方程，它们与上面的有什么不同？
x + 1 = 5 xy = 8 2x + 3y = 15
【核心定义】像x + 3 = 9这样，只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程。（教师板书关键词：一个未知数、次数为1、整式）
- 1. 解读关键词：
- - “一元”：只含一个未知数（如x、y，不能同时含x和y）；
- - “一次”：未知数的次数是1（如x的次数是1，x 的次数是2，不符合）；
- - “整式”：等号两边的式子都是整式（分母不含未知数，如1/x=2不符合）。
第5页：辨析练习——锁定一元一次方程
【互动判断】下列式子中，哪些是一元一次方程？说明理由。
- 1. 3x + 5 = 14（ ）——理由：含1个未知数x，次数1，两边是整式，符合定义。
- 2. 2x - 6 = 10（ ）——理由：未知数次数是2，不是一次，不符合。
- 3. x + y = 8（ ）——理由：含2个未知数x和y，不是一元，不符合。
- 4. 5x - 8（ ）——理由：不是等式，是代数式，不符合“方程”定义。
- 5. (x - 3)/2 = 4（ ）——理由：整理后为(1/2)x - 3/2 = 4，含1个未知数，次数1，是整式方程，符合。
- 6. 1/x + 2 = 5（ ）——理由：1/x是分式，不是整式，不符合。
第6页：应用拓展——列一元一次方程解决问题
【解题步骤】列一元一次方程的关键：找等量关系→设未知数→列方程。
【场景1：行程问题】一辆公交车从车站出发，以每小时45千米的速度行驶，经过x小时后，距离目的地还有10千米，已知车站到目的地的总路程是235千米，列方程。
1. 等量关系：已行驶路程 + 剩余路程 = 总路程
2. 列方程：45x + 10 = 235（是一元一次方程）
【场景2：工程问题】某工程队修一条公路，每天修x米，计划12天修完，实际提前2天完成，实际每天修180米，列方程。
1. 等量关系：计划修的总长度 = 实际修的总长度
2. 列方程：12x = (12 - 2)×180（整理后为12x = 1800，是一元一次方程）
第7页：课堂小结——知识脉络整合
1. 两个核心定义：
- - 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是“值”）；
- - 一元一次方程：只含一个未知数、未知数次数为1、两边是整式的方程（是“方程类型”）。
2. 两个关键方法：
- - 检验方程的解：代入法，看左右两边是否相等；
- - 列一元一次方程：抓住“等量关系”，明确未知数。
3. 知识关联：一元一次方程的解，就是能使这个特殊方程成立的未知数的值。
已知甲粮仓有粮食 729 t，乙粮仓有粮食 384 t. 为了使甲粮仓粮食储量是乙粮仓粮食储量的 2 倍，需要从乙粮仓运送多少吨粮食到甲粮仓？
解：设需要从乙粮仓运送 x t 粮食到甲粮仓.
根据题意，列得方程 729 + x ＝ 2(384－x).
列方程是解决实际问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中未知数的值.
那么，怎样求出符合方程的未知数的值呢？
估算方程 1700 +150x = 2450 中未知数 x 的值是多少？
x 1 2 3 4 5 …
1700+150x …
1850
2000
2150
2300
2450
当 x = 5 时，方程 1700 + 150x = 2450 等号左右两边相等.
x = 5 叫作方程 1700 + 150x = 2450 的解.
一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解.
求方程的解的过程，叫作解方程.
说一说当 x 等于几时，方程 1.2x + 1 = 0.8x + 3 左、右两边的值相等？
x 1 2 3 4 5 …
1.2x + 1 …
0.8x + 3 …
2.2
3.8
3.4
4.6
4.6
5.4
5.8
6.2
7
7
当 x = 5 时，
左边 = 1.2×5 + 1 = 7，
右边 = 0.8×5 + 3 = 7，
这时方程左、右两边的值相等.
【教材P114】
例 2 （1）x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？
解：当 x = 2 时，方程 2x = 3 的左边 = 2×2 = 4，
右边 = 3，
方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 2 不是方程 2x = 3 的解.
例 题
【教材P114】
例 2 （1）x = 2，x = 是方程 2x = 3 的解吗？
右边 = 3，
方程左、右两边的值相等，
当 x = 时，方程 2x = 3 的左边 = 2× = 3，
所以 x = 是方程 2x = 3 的解.
（2）x = 10，x = 20 是方程 3x = 4(x - 5) 的解吗？
当 x = 10 时，方程 3x = 4(x-5) 的左边 = 3×10 = 30，
右边 = 4×(10-5) = 20，
方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 10 不是方程 3x = 4(x-5) 的解.
（2）x = 10，x = 20 是方程 3x = 4(x - 5) 的解吗？
当 x = 20 时，方程 3x = 4(x-5) 的左边 = 3×20 = 60，
右边 = 4×(20-5) = 60，
方程左、右两边的值相等，
所以 x = 20 是方程 3x = 4(x-5) 的解.
特别提醒
方程的解与解方程的区别及联系：
类型 方程的解 解方程
区别
联系 是一个具体的数，是解方程的结果
求方程的解的过程
方程的解是通过解方程求得的
思 考
x = 60 是方程 x2 = 4000 的解吗？x = 80 呢？
解：当 x = 60 时，方程的左边 = ×602 = 2250，
右边 = 4000，
方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 60 不是方程 x2 = 4000 的解.
思 考
x = 60 是方程 x2 = 4000 的解吗？x = 80 呢？
当 x = 80 时，方程的左边 = ×802 = 4000，
右边 = 4000，
方程左、右两边的值相等，
所以 x = 80 是方程 x2 = 4000 的解.
解题策略
检验一个数是否是方程的解的方法：
把这个数分别代入方程的左、右两边，
当左边＝右边时，这个数是方程的解，
当左边 ≠ 右边时，这个数不是方程的解.
思 考
观察方程
1.2x + 1 = 0.8x + 3
3x = 4( x-5 )
它们有什么共同特征？
只含一个未知数的等式
未知数的次数都是 1
0.52x－(1-0.52)x = 80
含有未知数的式子都是整式
一元一次方程
一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程.
一元一次方程的三个要素：
①只含有一个未知数；
②未知数的次数都是 1；
③是整式方程
三者缺一不可
及时巩固
下列式子中，是一元一次方程的是______（填序号）.
①1+4 = 2+3； ② x + y = 1；③ = 3；
④x2 -2x-1 = 0；⑤ = 3； ⑥6 + 5y = 2y -3.
不含未知数
含有两个未知数
是
未知数最高次数是2
不是整式
是
③⑥
识别一元一次方程的一般步骤：
观察方程是否是整式方程
不是一元一次方程
方程是否只含有一个未知数
不是一元一次方程
方程中未知数的次数是否都是1
不是一元一次方程
是一元一次方程
是
是
是
否
否
否
【选自教材P115 练习 第1题】
1. 判断 x = 2 和 x = 4 是不是方程 2x-3 = 5.
解:当 x = 2 时，方程 2x -3 = 5 的左边 = 2×2-3 = 1，
右边 = 5，方程左、右两边的值不相等，
所以 x = 2 不是方程 2x -3 = 5 的解；
当 x = 4 时，方程 2x -3 = 5 的左边 = 2×4-3 = 5，
右边 = 5，方程左、右两边的值相等，
所以 x = 4 是方程 2x -3 = 5 的解.
2. 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
（1）2+3 = 3+2； （2）8y-9=9-y；（3）x2+2x+1=4.
解：（2）（3）是方程，
（2）是一元一次方程.
【选自教材P115 练习 第2题】
1. 下列各式， ，
，，， ，
中，为一元一次方程的有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
2. 母题教材P118习题 下列方程中，解是 的方程是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
3.已知是方程的解，则 的值是____.
返回
4. 请写一个未知数的系数是 且方程的解是
1的一元一次方程:___________________________.
（答案不唯一）
返回
5. 若方程是关于 的一元一次方程，
则 ____.
一元一次方程的次数为1，且系数不能为0.
返回
6.［教材 例3变式］根据等式的性质填空：
（1）若，则___ ；
（2）若，则 ___；
（3）若，则 _____；
（4）若，则 ____.
1
7.填写下列各等式变形的依据：
（1）由，得 ，应用的是等式的性质___，等式的
两边_____，结果仍相等；
（2）由，得 ____，应用的是等式的性质___，等式的两边
________，结果仍相等.
1
减1
2
除以
等式的性质2:
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
等式的性质1：
等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等.
等式的性质
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b (c≠0)，那么
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
谢谢观看！

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