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人教版（2024）版数学7年级上册
第五章 一元一次方程
5.2.1利用合并同类项解
一元一次方程
1. 会利用合并同类项的方法解一元一次方程，
体会等式变形中的化归思想.
2. 能够从实际问题中列出一元一次方程，进
一步体会方程模型思想的作用及应用价值.
5.2.1 利用合并同类项解一元一次方程
第1页：复习导入——两类旧知回顾
【回顾1：什么是同类项？】
下列各组式子中，哪些是同类项？为什么？
- 1. 3x与-5x（ ）——理由：所含字母相同（均为x），相同字母的指数也相同（均为1）
- 2. 2xy与3x（ ）——理由：所含字母不同（前者含x、y，后者只含x），不是同类项
- 3. -7与9（ ）——理由：常数项都是同类项
【回顾2：同类项如何合并？】
计算：3x + 5x = ______；-2x + 7x = ______；8 - 3 = ______；4x - x + 2x = ______
【过渡提问】我们已经会解x + 3 = 9这样的一元一次方程，那如果遇到3x + 2x = 15这样含多个同类项的方程，该怎么解呢？今天我们就来学习新方法。
第2页：新知探究1——情境引出新问题
【生活场景】某班同学分苹果，每人分1个，男生有x人，女生有2x人，刚好分完36个苹果，求男生和女生各有多少人？
【列方程】根据“男生分的苹果数 + 女生分的苹果数 = 总苹果数”，可列方程：x + 2x = 36
【思考】方程左边有两个含x的项，怎么简化这个方程？
【分析】x表示1个x，2x表示2个x，1个x加2个x等于3个x，即x + 2x = (1 + 2)x = 3x
【简化方程】3x = 36，此时方程就转化为我们熟悉的形式，再根据等式性质2，两边同时除以3，得x = 12
【作答】男生有12人，女生有2×12=24人。
第3页：核心方法——合并同类项解方程
【定义】把方程中含有的同类项合并成一项，使方程变得简单易解，这种解方程的方法叫做“合并同类项法”。
【例题示范】解一元一次方程：2x - 5x + 4x = 6 - 3
【步骤分解】
1. 第一步：合并同类项（分别合并左右两边的同类项）
2. 左边：2x - 5x + 4x = (2 - 5 + 4)x = x
3. 右边：6 - 3 = 3
4. 合并后方程：x = 3
5. 第二步：检验（代入原方程）
6. 左边：2×3 - 5×3 + 4×3 = 6 - 15 + 12 = 3；右边：6 - 3 = 3
7. 左边=右边，所以x=3是原方程的解。
【核心思路】合并同类项的本质是“化繁为简”，将多个含未知数的项合并成一个项，使方程转化为“ax = b（a≠0）”的最简形式，再求解。
第4页：基础巩固——分层练习
【基础题1：直接合并求解】解下列方程，并检验。
- 1. 3x + 2x = 25 —— 合并得5x=25，解得x=5
- 2. -x + 4x - 2x = 7 —— 合并得x=7
- 3. 6x - 4x + x = 12 - 3 —— 合并得3x=9，解得x=3
【提升题2：含常数项的合并】解下列方程。
- 1. 5x - 2x = 18 + 3 —— 合并得3x=21，解得x=7
- 2. 7x - x - 4x = 5 + 11 —— 合并得2x=16，解得x=8
- 3. -3x + 8x - 5x = 10 - 6 —— 合并得0x=4，此方程无解
【注意】当合并后出现“0x = b”的形式时，若b≠0，方程无解；若b=0，方程有无数个解。
第5页：应用拓展——解决实际问题
【场景1：购物问题】妈妈买了3件相同的T恤和2件相同的短裤，共花了240元，已知1件T恤x元，1件短裤的价格和1件T恤相同，求每件T恤的价格。
1. 列方程：3x + 2x = 240（短裤价格=T恤价格，均为x元）
2. 解方程：合并同类项得5x=240，两边除以5得x=48
3. 作答：每件T恤48元。
【场景2：数字问题】一个三位数，百位数字是x，十位数字是2x，个位数字是3x，且这个三位数的各位数字之和是18，求这个三位数。
1. 等量关系：百位数字 + 十位数字 + 个位数字 = 18
2. 列方程：x + 2x + 3x = 18
3. 解方程：合并得6x=18，解得x=3
4. 求三位数：百位3，十位6，个位9，这个三位数是369。
第6页：易错点辨析——常见错误警示
【易错点1：同类项合并错误】
错误示例：2x + 3 = 5x —— 错把常数项与含未知数项合并
正确做法：2x - 5x = -3，合并得-3x = -3，解得x=1
【易错点2：符号错误】
错误示例：-x - 2x = 5 —— 合并得-3x=5，错解为x=5/3（忽略符号）
正确做法：-3x=5，解得x=-5/3
【易错点3：漏写检验】
温馨提示：检验是确保解正确的重要步骤，尤其在符号复杂的方程中不可省略。
第7页：课堂小结——核心内容回顾
1. 核心方法：合并同类项解一元一次方程，将方程化为“ax = b（a≠0）”形式后求解
2. 解题步骤：① 合并同类项（左右两边分别合并）；② 系数化为1（利用等式性质2）；③ 检验
3. 关键技巧：① 准确识别同类项，合并时注意符号；② 实际问题中先找等量关系再列方程
4. 易错提醒：常数项与含未知数项不能合并，解方程时注意符号和检验环节
你知道什么是方程吗？
含有未知数的等式.
等式的性质：
等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等.
等式的性质2：等式的两边乘同一个数或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.
合并同类项：
（1）x + 2x + 4x
（2）5y － 3y － 4y
（3）4a － 1.5a － 2.5a
= 7x
= －2y
= 0
新知探索
问题 1 某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍. 前年这所学校购买了多少台计算机？
分析：设前年购买____台，则去年购买____台，今年购买_____台.
x
2x
4x
根据问题中的相关等量关系：
前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量＝ 140 台
列得方程 x + 2x + 4x ＝ 140.
“各个分量的和=总量”是一个基本的相等关系
x + 2x + 4x ＝ 140.
把含有 x 的项合并同类项，得
7x ＝ 140.
系数化为 1，得
x ＝ 20.
等式性质2
因此，前年这所学校购买了 20 台计算机.
分析：解方程，就是把方程变形，变为 x = a（a 为常数）的形式.
检验一下x =20是方程 x +2x + 4x =140的解.
上面解方程过程中“合并同类项”起了什么作用？
　 合并同类项的目的就是化简方程，它是一种恒等变形，可以使方程变得简单，并逐步使方程向 x ＝ a 的形式转化．
例 题
【教材P120】
例 1 解下列方程：
解：合并同类项，得
系数化为 1，得 x = 4
（1） ；
根据等式的性质解一元一次方程时，得到的 x = m，就是方程的解（想一想为什么）. 今后，检验环节通常可以省略.
例 题
（2）7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3
合并同类项，得
6x = -78
系数化为 1，得 x = -13
【教材P120】
例 1 解下列方程：
利用合并同类项解一元一次方程的步骤：
（1）合并同类项：把等号同侧的含未知数的项、
常数项分别合并，把方程转化为 ax = b（ a ≠ 0，
a，b 为常数）的形式；
（2）系数化为 1：利用等式的性质 2，在方程两边
除以未知数的系数或乘未知数系数的倒数，将未知
数的系数化为 1，得到 x = .
例 2 有一列数 1，-3，9，-27，81，-243，···，其中第 n 个数是 (-3)n-1 (n＞1)，如果这列数中某三个相邻数的和是 -1701，那么这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的数是它前面的数与 -3 的乘积.
例 题
【教材P121】
解：设所求三个数中的第 1 个数是 x，则后两个数分别是 -3x，9x.
由三个数的和是-1701，得 x - 3x + 9x = -1701.
合并同类项，得 7x = -1701.
系数化为 1，得 x = -243.
所以 -3x = 729，9x = -2187.
答：这三个数是 -243，729，-2187.
1. 王芳和姐姐、妈妈一起包馄饨，妈妈包馄饨的个数是
王芳的 4 倍，姐姐包馄饨的个数是妈妈的 ，已知
三人一共包了 70 个馄饨，则王芳包了_______个馄饨.
思路分析
设王芳包了 x 个馄饨
王芳
妈妈
姐姐
4 倍
x + 4x + 2x = 70
10
2. 某种中成药由甘草、党参、苏叶三种材料组成，其中
甘草、党参、苏叶三种材料的质量之比为 1∶2∶4.
若生产 210 kg 这种中成药，则需要用到甘草、党参、
苏叶的质量分别是多少千克？
解:设需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是 x kg，2x kg，4x kg.
根据题意，得 x + 2x + 4x = 210.
解得 x = 30.
所以 2x = 60，4x = 120.
答:需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是 30 kg，60 kg，120 kg.
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤:
审
审题
找
找相等关系
设
设未知数
列
列方程
解
解方程
检
检验所得结果
答
确定答案
练 习
【选自教材P121 练习 第1题】
1. 解下列方程：
解：合并同类项，得
系数化为1，得
（1）5x - 2x = 9； （2） ；
3x = 9
x = 3
合并同类项，得
系数化为1，得
（3）-3x + 0.5x = 10；
合并同类项，得
-2.5x = 10
系数化为 1，得
x = -4
（4）7x - 4.5x = 2.5×3–5.
合并同类项，得
系数化为 1，得
2.5x = 2.5
x = 1
2. 某工厂的产值连续增长，2022 年是 2021 年的 1.5 倍，2023 年是 2022 年的 2 倍，这三年的总产值为 550 万元. 2021 年的产值是多少万元？
解：设 2021 年的产值是 x 万元.
根据题意，得 x + 1.5x + 2×1.5x = 550.
解得 x = 100.
答：2021 年的产值是 100 万元.
【选自教材P121 练习 第2题】
3. 某洗衣机厂今年计划生产 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型洗衣机共 25500 台，其中 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型三种洗衣机的数量之比为 1∶2∶14. 洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？
解：设计划生产 Ⅰ 型洗衣机 x 台，则计划生产 Ⅱ 型洗衣机 2x 台，Ⅲ 型洗衣机 14x 台.
根据题意，得 x + 2x + 14x ＝ 25500.
解得 x = 1500. 所以 2x ＝ 3000，14x ＝ 21000.
答：洗衣机厂计划生产 Ⅰ 型、Ⅱ 型、Ⅲ 型洗衣机各 1500 台、
3000 台、21000 台.
【选自教材P121 练习 第3题】
1. 对方程 合并同类项正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 如果与的值互为相反数，那么 等于( )
B
A. B. 1 C. D. 3
返回
3. 对于任意四个有理数，，， ，定义一种新运算
.若，则 的值为( )
C
A. 2 B. 3 C. 6 D.
返回
4.小冬同学在解方程 时，他是这样做的：
你认为小冬做____（填“对”或“错”）了，步骤①变形的依据
是____________.
对
合并同类项
返回
5.若三个连续偶数的和是24，则它们的积是_____.
480
返回
【解析】设中间的一个偶数为，则第一个偶数为 ，第
三个偶数为，则有，解得 ，
故这三个偶数为6，8，10，所以它们的积是
.
6.解下列方程:
（1） ;
【解】合并同类项,得 ,
系数化为1,得 .
（2） .
合并同类项,得 ,
系数化为1,得 .
返回
1. 会用合并同类项解一元一次方程.
解方程的步骤：
合并同类项（合并同类项法则）
系数化为1（等式性质2）
2. 学会找等量关系列一元一次方程.
实际问题
一元一次方程
作答
设未知数
列方程
解方程
谢谢观看！

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