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(共34张PPT)
人教版（2024）版数学7年级上册
第五章 一元一次方程
5.2.2利用移项解一元一次方程
1.理解移项法则，会解形如 ax + b = cx + d 的方程，体会等式变形中的化归思想.
2.能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步体会方程模型思想的作用及应用价值.
5.2.2 利用移项解一元一次方程
第1页：复习导入——旧方法遇新问题
【回顾】上节课我们用合并同类项法解方程，大家快速求解：3x + 2x - 5x = 12 - 6
【答案】合并同类项得0x=6，此方程无解。
【新问题】请尝试解这个方程：2x + 5 = 15
【思考】这个方程中，含未知数的项和常数项分别在等号的哪一侧？用合并同类项法能直接解吗？（引导学生发现：含未知数项在左，常数项分左右两侧，直接合并同类项无法简化）
【过渡】当常数项或含未知数项分散在等号两边时，我们需要一种新的方法将它们“聚集”到一起，这就是今天要学的“移项法”。
第2页：新知探究1——移项的“前世今生”
【以方程2x + 5 = 15为例】我们的目标是让等号左边只有含未知数的项，右边只有常数项。
【依据：等式性质1】等式两边同时加（或减）同一个数，等式仍然成立。
【步骤1：消除左边的常数项】方程两边同时减5：
2x + 5 - 5 = 15 - 5
简化后：2x = 10
【观察对比】原方程左边的“+5”，在两边减5后，变成了右边的“-5”，相当于从等号左边“移动”到了右边，符号发生了改变。
【定义】像这样，把方程中的某一项从等号的一边移到另一边，并且改变该项的符号，这种变形叫做移项。
第3页：新知探究2——移项的“黄金法则”
【移项法则】移项要变号，不变号不移项。（核心：移动的项符号改变，不移动的项符号不变）
【例题示范】用移项法解方程：2x + 5 = 15
【完整步骤】
1. 第一步：移项——将左边的常数项“+5”移到右边，变为“-5”
2. 移项后：2x = 15 - 5
3. 第二步：合并同类项——计算右边的常数项
4. 合并后：2x = 10
5. 第三步：系数化为1——根据等式性质2，两边同时除以2
6. 解得：x = 5
7. 第四步：检验——将x=5代入原方程，左边=2×5+5=15，右边=15，左边=右边，解正确。
【核心总结】移项的目的是“分类聚集”：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项后再用合并同类项法求解。
第4页：基础巩固——移项“小练习”
【第一关：判断移项是否正确】下列移项变形是否正确？若错误，请改正。
- 1. 方程3x - 4 = 5，移项得3x = 5 + 4（ ）——正确（“-4”移到右边变“+4”）
- 2. 方程6x + 3 = 2x，移项得6x + 2x = -3（ ）——错误，应为6x - 2x = -3（“2x”移到左边变“-2x”）
- 3. 方程x - 5 = 7 - 2x，移项得x + 2x = 7 + 5（ ）——正确（“-2x”移左变“+2x”，“-5”移右变“+5”）
【第二关：用移项法解方程】解下列方程，并检验。
- 1. 4x - 7 = 13 —— 移项得4x=13+7，合并得4x=20，解得x=5
- 2. 5x = 3x + 12 —— 移项得5x-3x=12，合并得2x=12，解得x=6
- 3. 8 - 2x = 9 - 3x —— 移项得-2x+3x=9-8，合并得x=1
第5页：提升练习——复杂方程的求解
【例题】解一元一次方程：3x - 2 = 5x + 6
【步骤解析】
1. 1. 移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，注意各项变号
2. 3x - 5x = 6 + 2（“5x”移左变“-5x”，“-2”移右变“+2”）
3. 2. 合并同类项：-2x = 8
4. 3. 系数化为1：x = 8 ÷ (-2) = -4
5. 4. 检验：左边=3×(-4)-2=-14，右边=5×(-4)+6=-14，左边=右边，解正确。
【自主练习】解下列方程：
- 1. 7x + 5 = 4x + 14 —— 移项得7x-4x=14-5，合并得3x=9，解得x=3
- 2. 9 - 4x = 1 - 5x —— 移项得-4x+5x=1-9，合并得x=-8
第6页：应用拓展——生活中的移项
【场景1：行程问题】一辆自行车从A地出发，以每小时12千米的速度行驶，2小时后，一辆摩托车从A地出发追赶自行车，摩托车每小时行32千米，多少小时后摩托车能追上自行车？
1. 设未知数：设x小时后摩托车追上自行车
2. 等量关系：摩托车行驶的路程 = 自行车先行驶的路程 + 自行车后行驶的路程
3. 列方程：32x = 12×2 + 12x
4. 解方程：移项得32x - 12x = 24，合并得20x=24，解得x=1.2
5. 作答：1.2小时后摩托车能追上自行车。
【场景2：利润问题】某商店卖出一件商品，盈利20元，若该商品的售价为80元，求它的成本价x元。（利润=售价-成本价）
1. 列方程：80 - x = 20
2. 解方程：移项得-x = 20 - 80，合并得-x=-60，系数化为1得x=60
3. 作答：该商品的成本价为60元。
第7页：易错点辨析——避开移项陷阱
【易错点1：移项不变号】
错误示例：方程2x - 3 = 6，移项得2x = 6 - 3（“-3”移项未变号）
正确做法：2x = 6 + 3，解得x=4.5
【易错点2：未移项乱变号】
错误示例：方程5x + 4 = 3x，变形为5x - 3x = -4（正确）；若方程5x = 3x + 4，错变为5x - 3x = -4（未移项的“+4”乱变号）
正确做法：5x - 3x = 4，解得x=2
【易错点3：移项后系数化为1出错】
错误示例：方程-3x = 9，解得x=3（忽略x的系数为负）
正确做法：x=9÷(-3)=-3
第8页：课堂小结——核心知识回顾
1. 移项的定义：项从等号一边移到另一边，符号必须改变
2. 移项的目的：将含未知数项移到左，常数项移到右，实现“分类聚集”
3. 解方程完整步骤：① 移项（变号）；② 合并同类项；③ 系数化为1；④ 检验
4. 关键提醒：移项必变号，不变号则不移；系数化为1时注意符号
5. 知识关联：移项是基于等式性质1的变形，是合并同类项法的延伸，能解决更复杂的一元一次方程。
前面，我们学习了利用合并同类项解一元一次方程，所见到的方程基本上都是含未知数的项在等号的一边（左边），常数项在等号的另一边（右边），如果等号两边都有含未知数的项和常数项，那么这样的方程该怎样求解呢？这节课我们继续学习解一元一次方程的方法——移项.
1. 等式的性质是什么？
等式的性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等.
等式的性质 2：等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.
2. 利用等式的性质解一元一次方程的步骤：
（1）利用等式的性质 1，将方程的左边变形为只含未知数，右边只含常数项（即 kx = b）的形式；
（2）利用等式的性质 2，将方程逐步转化为 x = m（m 为常数）的形式.
问题 2 把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本，这个班有多少名学生？
设这个班有 x 名学生.
每人分 3本，共分出 3x 本，加上剩余的 20 本，这批书共（3x + 20）本.
每人分 4 本，需要 4x 本，减去缺的 25 本，这批书共（4x - 25）本.
这批书的总数有几种表示方法？它们之间有什么关系？
问题 2 把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本，这个班有多少名学生？
这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程
3x + 20 = 4x－25 .
“表示同一个量的两个不同的式子相等”，是一个基本的相等关系.
思考：方程 3x + 20 = 4x－25 的两边都有含 x 的项（3x 与 4x）和不含字母的常数项（20 与 -25），怎样才能把它转化为 x = m（常数）的形式呢？
利用等式的基本性质
解：等式两边减 4x，得
3x + 20 - 4x = -25.
等式两边减 20，得
3x - 4x = -25 - 20.
3x + 20 = 4x – 25
合并同类项，得
- x = -45
系数化为 1，得
x = 45
3x - 4x = -25 - 20
3x + 20 = 4x – 25
原方程：
变形后：
像这样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
温馨提示：移项的依据是等式的性质 1.
“移项”有“两变化”：
（1）位置变化：从方程的一边移到方程的另一边.
（2）符号变化：由正变负，负变正.
3x - 4x = -25 - 20
3x + 20 = 4x – 25
- x = -45
x = 45
合并同类项
系数化为 1
移项
原方程：
由上可知，这个班有 45 名学生.
思 考
上面解方程中“移项”起了什么作用？
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于 x = m 的形式.
例 题
【教材P123】
例 3 解下列方程：
（1）3x + 7 = 32–2x； （2） .
解：（1）移项，得
3x + 2x = 32 - 7
合并同类项，得
5x = 25
系数化为 1，得
x = 5
例 题
【教材P123】
例 3 解下列方程：
（1）3x + 7 = 32–2x； （2） .
（2）移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
巩固练习
解下列方程：
（1）2x－6 = 4x－1；
（2） x－6 = － x + 4.
解：（1）移项，得 2x－4x = －1 + 6.
合并同类项，得 －2x = 5.
系数化为 1，得 x = － .
解下列方程：
（1）2x－6 = 4x－1；
（2） x－6 = － x + 4.
（2）移项，得 x + x = 4 + 6.
合并同类项，得 x = 10.
系数化为 1，得 x = 12 .
利用移项解一元一次方程的步骤:
（1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；
（2）合并同类项；
（3）系数化为 1.
一般把含未知数的项放等号左边，常数项放等号右边.
例 4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5，采用两种工艺的废水排量各是多少？
例 题
【教材P123】
分析：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为 2∶5，所以可设它们分别为 2x t 和 5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.
解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为2x t 和 5x t.
移项，得 5x－2x＝100＋200.
系数化为 1，得 x＝100.
合并同类项，得 3x＝300.
所以 2x＝200， 5x＝500.
答：采用新、旧工艺的废水排量分别为 200 t 和 500 t.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
5x－200＝2x＋100.
溯 源
约 820 年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”,“对消”隐含着移项后合并同类项，我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法.
练 习
【选自教材P124 练习 第1题】
1. 解下列方程：
解：移项，得
（1）3x = 4x + 3； （2）6x - 8 = 4x；
3x - 4x = 3
合并同类项，得
- x = 3
系数化为 1，得
x = -3
移项，得
6x - 4x = 8
合并同类项，得
2x = 8
系数化为 1，得
x = 4
（3）6y -7 = 4y - 5； （4） .
移项，得
6y–4y = -5 + 7
合并同类项，得
2y = 2
系数化为 1，得
y = 1
移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
2. 解根据本章引言中的问题列出的方程 1.2x + 1 = 0.8x + 3.
1.2x + 1 = 0.8x + 3
解：移项，得
1.2x – 0.8x = 3 - 1
合并同类项，得
0.4x = 2
系数化为 1，得
x = 5
【选自教材P124 练习 第2题】
3. 李明出生时父亲 28 岁，现在父亲的年龄是李明年龄
的 3 倍，求现在李明的年龄.
解：设现在李明的年龄为 x 岁.
根据题意，得 28 + x ＝ 3x.
解得 x ＝ 14.
答：现在李明的年龄为 14 岁.
【选自教材P124 练习 第3题】
4. 王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘 8 kg，张华平均每小时采摘 7 kg. 采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出 0.25 kg 给了张华，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用了多少时间？
解：设她们采摘用了x h.
根据题意，得 8x – 0.25 = 7x + 0.25.
解得 x = 0.5.
答：她们采摘用了 0.5 h.
【选自教材P124 练习 第4题】
1. 下列解方程中，移项正确的是( )
C
A. 由，得
B. 由，得
C. 由,得
D. 由，得
返回
2. 下列方程中,与 的解相同的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.若与互为相反数，则 ____.
返回
4.当____时，关于的方程 的解比方程
的解大2.
【点拨】由，得，则方程 的
解为，将代入，得 ，所以
.即当时，关于的方程 的解比方程
的解大2.
返回
5.［2024扬州］《九章算术》是中国古代的数学专著，是
《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记
载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走
100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100
米，速度快的人去追他.问速度快的人追上他需要 ____分钟.
2.5
6.解下列方程：
（1） ;
【解】移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
返回
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
利用移项解一元一次方程的步骤:
（1）移项：把含未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；
（2）合并同类项；
（3）系数化为 1.
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