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人教版（2024）版数学7年级上册
第五章 一元一次方程
5.2.4利用去分母解一元一次方程
1.会通过去分母解一元一次方程.
2.归纳解一元一次方程的一般步骤，
体会解方程中的化归思想.
5.2.3 利用去括号解一元一次方程
第1页：复习导入——为新方法奠基
【回顾1：去括号法则】我们在整式运算中学习过去括号，大家快速化简下列式子：
- 1. 2(x + 3) = ______（括号前是正数，去括号后各项不变号：2x + 6）
- 2. -3(x - 2) = ______（括号前是负数，去括号后各项变号：-3x + 6）
- 3. 4 - (2x - 1) = ______（可看作+4 + (-1)(2x - 1)：4 - 2x + 1）
【回顾2：移项解方程步骤】用已学方法解下列方程：3x - 5 = 2x + 1（移项→合并→系数化1，解得x=6）
【新问题】请尝试解这个方程：2(x + 3) = 14。这个方程与上一个有什么不同？（引导发现：含有括号，无法直接移项）
【过渡】当方程中含有括号时，我们需要先去掉括号，将方程转化为熟悉的形式，这就是今天的重点——利用去括号解一元一次方程。
第2页：新知探究1——为什么要去括号？
【情境支撑】学校组织植树活动，七年级（1）班有x名同学参与，（2）班参与人数比（1）班的2倍少3人，两个班共有39名同学参与，求（1）班的参与人数。
【列方程】（1）班人数 + （2）班人数 = 总人数，即x + (2x - 3) = 39
【思考】方程中的括号把含未知数的项“包裹”起来，无法直接合并同类项和移项，怎么办？（引导学生说出“去括号”）
【依据】去括号法则（整式运算规则），去括号后方程可转化为已学过的形式，再用移项、合并同类项法求解。
【尝试求解】去括号得x + 2x - 3 = 39，合并同类项得3x - 3 = 39，移项得3x = 42，解得x=14。（1）班有14人参与。
第3页：新知探究2——去括号解方程“四步法”
【例题示范】解一元一次方程：2(x - 1) - (x + 2) = 3(4 - x)
【完整步骤】
1. 第一步：去括号——严格遵循去括号法则，注意符号和系数分配
2(x - 1) = 2x - 2（正数乘括号，各项不变号）
2. -(x + 2) = -x - 2（负数乘括号，各项变号）
3. 3(4 - x) = 12 - 3x（正数乘括号，各项不变号）
4. 去括号后方程：2x - 2 - x - 2 = 12 - 3x
5. 第二步：合并同类项——整理左右两边的同类项
左边：2x - x - 2 - 2 = x - 4
6. 右边：12 - 3x
7. 合并后方程：x - 4 = 12 - 3x
8. 第三步：移项——含未知数项移左，常数项移右，注意变号
x + 3x = 12 + 4
9. 移项后方程：4x = 16
10. 第四步：系数化为1——根据等式性质2求解
x = 16 ÷ 4 = 4
11. 检验：左边=2(4-1)-(4+2)=6-6=0，右边=3(4-4)=0，左边=右边，解正确。
【核心总结】含括号的一元一次方程求解思路：去括号→化繁为简→回归已学方法（合并→移项→求解）。
第4页：基础巩固——去括号“实战”
【第一关：先去括号，再化简】化简下列方程（只去括号和合并同类项，不求解）：
- 1. 3(x + 5) = 21 → 3x + 15 = 21
- 2. -2(2x - 1) = 10 → -4x + 2 = 10
- 3. 5 - 3(x - 3) = 2 → 5 - 3x + 9 = 2 → -3x + 14 = 2
【第二关：完整求解】解下列方程，并检验：
- 1. 4(x - 2) = 3(x + 1)
去括号：4x - 8 = 3x + 3
- 移项：4x - 3x = 3 + 8
- 合并：x = 11（检验略）
2. 2(3y - 1) - 3(y + 2) = 12
去括号：6y - 2 - 3y - 6 = 12
合并：3y - 8 = 12
移项：3y = 20 → y = 20/3（检验略）
第5页：易错点辨析——避开常见错误
【易错点1：括号前有系数，漏乘括号内项】
错误示例：2(x + 3) = 14 → 2x + 3 = 14（漏乘3）
正确做法：2x + 6 = 14，解得x=4
【易错点2：括号前是负数，去括号后部分项不变号】
错误示例：-(x - 5) = 8 → -x - 5 = 8（-5未变号）
正确做法：-x + 5 = 8，解得x=-3
【易错点3：去括号后，同类项未及时合并导致移项错误】
错误示例：3x - 2(2x - 1) = 5 → 3x - 4x - 2 = 5（先移项未合并）
正确做法：3x - 4x + 2 = 5 → -x = 3 → x=-3
【避错技巧】去括号后先检查两点：① 系数是否乘遍括号内所有项；② 符号是否按法则改变，再进行后续步骤。
第6页：应用拓展——去括号的实际价值
【场景1：工程问题】某工程队修一段公路，第一天修了全长的一半多10米，第二天修了余下的一半少5米，两天共修了180米，求公路全长x米。
1. 列方程：第一天修的长度 + 第二天修的长度 = 180，即( x + 10) + [ (x - x - 10) - 5] = 180
2. 解方程：
去括号： x + 10 + ( x - 10) - 5 = 180 → x + 10 + x - 5 - 5 = 180合并： x = 180 → x = 240
3. 作答：公路全长240米。
【场景2：几何问题】一个长方形的周长是56厘米，长比宽的2倍多2厘米，求长方形的长和宽（设宽为x厘米）。
1. 列方程：2(长 + 宽) = 周长，即2[(2x + 2) + x] = 56
2. 解方程：
去括号：2(3x + 2) = 56 → 6x + 4 = 56移项合并：6x = 52 → x = 26/3（宽），长=2×26/3 + 2=58/3厘米
第7页：课堂小结——核心知识回顾
1. 解题关键：去括号是含括号方程的“突破口”，依据去括号法则将方程转化为不含括号的形式
2. 完整步骤：① 去括号（注意系数和符号）；② 合并同类项；③ 移项（变号）；④ 系数化为1；⑤ 检验
3. 易错提醒：① 系数别漏乘括号内项；② 负号别漏变括号内项符号；③ 去括号后先合并再移项
4. 知识关联：去括号是整式运算与方程求解的结合，是解更复杂一元一次方程的重要环节，为后续学习奠定基础。
解：设丢番图去世时的年龄为x岁，得出方程
你能解出这道方程吗？
把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好.
像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.
新课导入
解：设丢番图去世时的年龄为x岁，得出方程
思考：所列方程与已学方程有什么区别？你能否把它转化为已学方程的形式？
新知探索
问题 4 如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山 50 km，距绿水 70 km. 某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示. 王家庄距翠湖的路程有多远？
50 km
70 km
x km
王家庄
青山
翠湖
绿水
地名 王家庄 青山 绿水
时间 10∶00 13∶00 15∶00
设王家庄距翠湖的路程为 x km，则王家庄距青山的路程为 (x - 50) km，王家庄距绿水的路程为 (x + 70) km.
50 km
70 km
x km
王家庄
青山
翠湖
绿水
地名 王家庄 青山 绿水
时间 10∶00 13∶00 15∶00
由表可知，汽车从王家庄到青山的行驶时间为 3 h，从王家庄到绿水的行驶时间为 5 h.
根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程
这个方程中未知数的系数不是整数，该怎么办呢？
提示一
提示二
你还能列得其他方程吗？
用解形式为“ax + bx = c”的解法解该方程.
提示一
返回
（1）这个方程中各分母的最小公倍数是多少？
（2）你认为方程两边应该同时乘以多少？
（3）方程两边同乘上这个数以后分别变成了什么？依据是什么？
提示二
返回
解：方程两边都乘 15，得 5(x - 50) = 3(x + 70).
去括号，得 5x - 250 = 3x + 210.
移项，得 5x–3x = 210 +250.
合并同类项，得 2x = 460.
系数化为 1，得 x = 230.
因此，王家庄距翠湖的路程为 230 km.
根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程
一元一次方程中如果有分母，利用等式的性质 2，在方程的两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母.
特别提醒：（1）去分母是为了将分数系数化为整数；
（2）乘“各分母的最小公倍数”既能约去分母，又能使所乘的数最小.
试一试
5(3x + 1) - 10×2 = (3x - 2)- 2(2x + 3)
15x + 5 - 20 = 3x - 2- 4x - 6
15x - 3x + 4x = - 2–6 - 5 + 20
16x = 7
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为 1
分数线有括号作用，去掉分母后，若分子式一个多项式，要加括号，视多项式为一个整体.
解一元一次方程的一般步骤：
步骤 具体做法 依据 注意事项
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为 1
在方程两边乘各分母的最小公倍数，去掉分母
等式的性质 2
1.不要漏乘不含分母的项
2.分数线当括号用，去分母，则要加括号
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
分配律
分配律要满足分配到每一项，不要弄错符号
把含未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边
等式的性质 1
移项变号
把方程化为 ax = b（a ≠ 0，a，b为常数）的形式
分配律
注意符号
方程两边同除以未知数系数a
等式的性质 2
不要将分子与分母颠倒位置
例 题
【教材P128】
（1） ；
例 7 解下列方程：
解：去分母(方程两边乘4)，得
2(x + 1)– 4 = 8 +(2 – x).
去括号，得 2x + 2 – 4 = 8 + 2 – x.
移项，得 2x + x = 8 + 2 – 2 + 4 .
合并同类项，得 3x = 12.
系数化为1，得 x = 4.
对于 2x + 2 – 4 = 8 + 2 – x，也可以先合并同类项，再移项.
去分母（方程两边乘 6），得
18x + 3（x – 1）= 18 – 2（2x – 1）
去括号，得 18x + 3x – 3 = 18 – 4x + 2
移项，得 18x + 3x +4x = 18 + 2 + 3
合并同类项，得 25x = 23
系数化为1，得
（2） ；
解：去分母，得
14x+7x+12x+420+42x+336=84x.
移项，合并同类项，得
9x=756.
两边同除以9，得x=84.
【选自教材教材P129 练习 第1题】
1. 解下列方程：
（1） ；
解：去分母（方程两边乘 100），得
19x = 21(x – 2).
去括号，得 19x = 21x – 42.
移项，得 19x – 21x = – 42.
合并同类项，得 – 2x = – 42.
系数化为 1，得 x = 21.
去分母（方程两边乘 4），得
2（x + 1）– 8 = x .
去括号，得 2x + 2 – 8 = x .
移项，得 2x – x = 8 – 2 .
合并同类项，得 x = 6 .
（2） ；
去分母（方程两边乘 12），得
3（5x – 1） = 6（3x + 1）– 4（2 – x）
去括号，得 15x – 3 = 18x + 6 – 8 + 4x
移项，得 15x – 18x – 4x = 6 – 8 + 3
合并同类项，得 – 7x = 1
系数化为1，得
（3） ；
（4） .
去分母（方程两边乘20），得
10（3x + 2）– 20 = 5（2x – 1）– 4（2x + 1）
去括号，得 30x +20 – 20 = 10x – 5 – 8x – 4
移项，得 30x – 10x + 8x = – 5 – 4 – 20+20
合并同类项，得 28x = – 9
系数化为1，得
2. 伦敦的不列颠博物馆保存着一件极其珍贵的文物——莱茵德纸草书. 这是古埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作. 书中记载了许多数学问题，其中有一道著名的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33. 这个数是多少？请你用方程解决这个问题.
【选自教材教材P129 练习 第2题】
解：设这个数是 x .
根据题意，得 .
解得
答：这个数是 .
3. 一辆客车和一辆卡车同时从 A 地出发沿同一公路同方向匀速行驶，客车的行驶速度是 70 km/h，卡车的行驶速度是 60 km/h，客车比卡车早 1 h 经过 B 地. 求 A，B 两地相距的路程.
解：设 A，B 两地相距的路程是 x km.
根据题意，得 .
解得 x = 420.
答: A，B 两地相距的路程是 420 km.
【选自教材教材P129 练习 第3题】
习题5.2
1. 解下列方程：
（1）x + 3x = -16；
（2）16y - 2.5y - 7.5y = 5；
x = -4
（3）3x + 5 = 4x + 1；
（4）9-3y = 5y + 5.
x = 4
y = 0.5
2. 解下列方程：
（1）5c + (2 - 4c) = 0；
（2）25b - (b - 5) = 29；
（3）7x + 2(3x - 3) = 20；
（4）8y - 3(3y + 2) = 6.
c = -2
b = 1
x = 2
y = -12
3. 解下列方程：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
4. 用方程解答下列问题：
（1）x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 3倍与 4 的差，求 x；
（2）y 与 -5 的积等于 y 与 5 的和，求 y；
解：根据题意，得 5x + 2 = 3x - 4.
解得 x = -3.
根据题意，得 -5y = y + 5.
解得 y = - .
（3）x 与 4 的和的 1.2 倍等于 x 与 14 的差的 3.6 倍，求 x；
（4）y 的 3 倍与 1.5 的和的 等于 y 与 1 的差的 ，求 y；
根据题意，得 1.2(x + 4) = 3.6(x–14).
解得 x = 23.
根据题意，得 .
解得 x = - .
5. 用一根 60 m 长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽
的 1.5 倍.长方形的长和宽各应是多少米？
解：设宽是 x m，则长是1.5x m.
根据题意，得 2x + 2×1.5x = 60.
解得 x = 12. 所以 1.5x = 18.
答：长是 18 m，宽是 12 m.
6. 几个人共同种一批树苗，如果每人种 10 棵，则剩下 6 棵
树苗未种；如果每人种 12 棵，则缺 6 棵树苗. 求参加种
树的人数.
解：设参加种树的有 x 人.
根据题意，得 10x + 6 = 12x - 6.
解得 x = 6.
答：参加种树的有 6 人.
7. 买两种布料共 64 m，花了 550 元，其中蓝布料每米 8元，
黑布料每米 9 元. 两种布料各买了多少米？
解：设蓝布料买了 x m，则黑布料买了(64-x) m.
根据题意，得 8x + 9(64-x) = 550.
解得 x = 26. 所以 64-x = 38.
答：蓝布料买了 26 m，黑布料买了 38 m.
综合运用
8. 一个两位数的个位上数字的 3 倍加 1 是十位上的数字，
个位上的数字与十位上数字的和等于 9. 这个两位数是
多少？
解：设个位上的数字是 x，则十位上的数字是 3x + 1.
根据题意，得 x + 3x + 1 = 9.
解得 x = 2. 所以 3x + 1 = 7.
答：这个两位数是 72.
9. 随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广. 喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式. 灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式. 后两种方式的用水量分别是漫灌的 25% 和 15%.
（1）设第一块田地用水 x t，则另两块田地的用水量各如何表示
（2）如果三块田地共用水 420 t，三块田地各用水多少吨
解:（1）第二块田地的用水量为25%x t，第三块田地的用水量为 15%x t.
（2）根据题意，得 x + 25%x + 15%x = 420.
解得 x = 300. 所以 25%x = 75，15%x =45.
答：第一块田地用水300 t，第二块田地用水75 t，第三块田地用水45 t.
10.某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产，去年10月该厂生产再生纸 2050 t，比前年 10 月再生纸产量的 2 倍还多150 t. 前年 10 月该造纸厂生产再生纸多少吨？
解：设前年 10 月该造纸厂生产再生纸 x t，则去年 10 月
该造纸厂生产再生纸 (2x + 150) t.
根据题意，得 2x + 150 = 2050.
解得 x = 950.
答: 前年 10 月该造纸厂生产再生纸 950 t.
11. 张华和李明登一座山. 张华平均每分钟登高 10 m，并且先出发 30 min，李明平均每分钟登高 15 m，两人同时登上山顶，
设张华登山用了 x min.
（1）如何用含 x 的代数式表示李明登山所用时间？
解：李明登山所用时间为 (x－30) min.
11. 张华和李明登一座山. 张华平均每分钟登高 10 m，并且先出发 30 min，李明平均每分钟登高 15 m，两人同时登上山顶，
设张华登山用了 x min.
（2）试用方程求 x 的值. 由 x 的值能求出山高吗？如果能，
山高多少米？
根据题意，得 10x = 15(x - 30).
解得 x = 90. 所以 10x = 900.
因此，由 x 的值能求出山高，山高为 900 m.
12. 两辆汽车从相距 84 km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快 20 km/h，半小时后两车
相遇，两车的速度各是多少？
解:设甲车的速度是 x km/h，则乙车的速度是(x-20) km/h.
根据题意，得 .
解得 x = 94. 所以 x -20 = 74.
答:甲车的速度是 94 km/h，乙车的速度是 74 km/h.
13. 在风速为 24 km/h 的条件下，一架飞机顺风从 A 机场飞到
B 机场要用 2.8 h，它逆风飞行同一航线要用 3 h.求：
（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；
（2）两机场之间的航程.
解:（1）设无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 x km/h.
根据题意，得 2.8(x + 24) = 3(x-24).
解得 x ＝ 696.
答:无风时这架飞机在这一航线的平均航速为 696 km/h.
13. 在风速为 24 km/h 的条件下，一架飞机顺风从 A 机场飞到
B 机场要用 2.8 h，它逆风飞行同一航线要用 3 h.求：
（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；
（2）两机场之间的航程.
（2）由（1）知，3(x-24) = 3×(696-24) = 2016.
答:两机场之间的航程为 2016 km.
14. 如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列得三个日期数之和能否为 30？如果能，这三个日期数分别是多少？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
解:假设能.设第二行的日期数是 x，则第一行的日期数是 x－7，第三行的日期数是 x＋7.
根据题意，得 x－7＋ x ＋ x＋7 ＝ 30.
解得 x＝ 10. 所以 x－7 ＝ 3，x＋7 ＝ 17.
答:这三个日期数分别是 3，10，17.
拓广探索
15.有一些相同的房间需要粉刷墙面. 一天 3 名一级技工去粉刷 8 个房间，结果有 50m2 墙面没来得及粉刷；同样时间内 5 名二级技工除了粉刷了 10 个房间，还多粉刷了另外的 40 m2 墙面. 每名一级技工比二级技工每天多粉刷 10 m2 墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积.
解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是 x m2，则每名一级技工每天可粉刷 m2 墙面，每名二级技工每天可粉刷 m2 墙面.
根据题意，得
解得 x = 52.
答:每个房间需要粉刷的墙面面积是 52 m2.
16. 李明骑自行车从 A 地到 B 地，刘伟骑自行车从 B 地到 A 地，两人沿同一公路匀速前进，已知两人在上午 8 时同时出发，到上午 8 时半，两人相距 9 km，到上午 9 时，两人又相距 9 km. 求 A，B 两地相距的路程.
解:设 A，B 两地相距的路程为 x km.
根据题意，得 即 2(x - 9) = x + 9
解得 x ＝ 27.
答: A，B 两地相距的路程为 27 km.
17. 一列火车匀速行驶，经过一条长 300 m 的隧道需要 20 s 的时间. 隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10 s.
（1）设火车长 x m，用含 x 的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度.
解: 从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程
是 x m，这段时间内火车的速度是 m/s.
（2）设火车长 x m，用含 x 的代数式表示：从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程和这段时间内火车的速度.
（3）求这列火车的长度.
（2）从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是
(x + 300)m，这段时间内火车的速度是 m/s.
（3）由（1）（2）得 . 解得 x = 300.
答:这列火车的长度是 300 m.
解一元一次方程的步骤
去分母的注意事项
数学思想
去括号
去分母
移项
合并同类项
系数化为1
体现了转化以及整体的思想方法
利用去分母解一元一次方程
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