资源简介

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人教版（2024）版数学7年级上册
第五章 一元一次方程
5.3.1配套问题和工程问题
1. 会运用一元一次方程解决物品配套问题
和工程问题.
2. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基
本思路和步骤.
5.2.3 利用去括号解一元一次方程
第1页：复习导入——为新方法奠基
【回顾1：去括号法则】我们在整式运算中学习过去括号，大家快速化简下列式子：
- 1. 2(x + 3) = ______（括号前是正数，去括号后各项不变号：2x + 6）
- 2. -3(x - 2) = ______（括号前是负数，去括号后各项变号：-3x + 6）
- 3. 4 - (2x - 1) = ______（可看作+4 + (-1)(2x - 1)：4 - 2x + 1）
【回顾2：移项解方程步骤】用已学方法解下列方程：3x - 5 = 2x + 1（移项→合并→系数化1，解得x=6）
【新问题】请尝试解这个方程：2(x + 3) = 14。这个方程与上一个有什么不同？（引导发现：含有括号，无法直接移项）
【过渡】当方程中含有括号时，我们需要先去掉括号，将方程转化为熟悉的形式，这就是今天的重点——利用去括号解一元一次方程。
第2页：新知探究1——为什么要去括号？
【情境支撑】学校组织植树活动，七年级（1）班有x名同学参与，（2）班参与人数比（1）班的2倍少3人，两个班共有39名同学参与，求（1）班的参与人数。
【列方程】（1）班人数 + （2）班人数 = 总人数，即x + (2x - 3) = 39
【思考】方程中的括号把含未知数的项“包裹”起来，无法直接合并同类项和移项，怎么办？（引导学生说出“去括号”）
【依据】去括号法则（整式运算规则），去括号后方程可转化为已学过的形式，再用移项、合并同类项法求解。
【尝试求解】去括号得x + 2x - 3 = 39，合并同类项得3x - 3 = 39，移项得3x = 42，解得x=14。（1）班有14人参与。
第3页：新知探究2——去括号解方程“四步法”
【例题示范】解一元一次方程：2(x - 1) - (x + 2) = 3(4 - x)
【完整步骤】
1. 第一步：去括号——严格遵循去括号法则，注意符号和系数分配
2(x - 1) = 2x - 2（正数乘括号，各项不变号）
2. -(x + 2) = -x - 2（负数乘括号，各项变号）
3. 3(4 - x) = 12 - 3x（正数乘括号，各项不变号）
4. 去括号后方程：2x - 2 - x - 2 = 12 - 3x
5. 第二步：合并同类项——整理左右两边的同类项
左边：2x - x - 2 - 2 = x - 4
6. 右边：12 - 3x
7. 合并后方程：x - 4 = 12 - 3x
8. 第三步：移项——含未知数项移左，常数项移右，注意变号
x + 3x = 12 + 4
9. 移项后方程：4x = 16
10. 第四步：系数化为1——根据等式性质2求解
x = 16 ÷ 4 = 4
11. 检验：左边=2(4-1)-(4+2)=6-6=0，右边=3(4-4)=0，左边=右边，解正确。
【核心总结】含括号的一元一次方程求解思路：去括号→化繁为简→回归已学方法（合并→移项→求解）。
第4页：基础巩固——去括号“实战”
【第一关：先去括号，再化简】化简下列方程（只去括号和合并同类项，不求解）：
- 1. 3(x + 5) = 21 → 3x + 15 = 21
- 2. -2(2x - 1) = 10 → -4x + 2 = 10
- 3. 5 - 3(x - 3) = 2 → 5 - 3x + 9 = 2 → -3x + 14 = 2
【第二关：完整求解】解下列方程，并检验：
- 1. 4(x - 2) = 3(x + 1)
去括号：4x - 8 = 3x + 3
- 移项：4x - 3x = 3 + 8
- 合并：x = 11（检验略）
2. 2(3y - 1) - 3(y + 2) = 12
去括号：6y - 2 - 3y - 6 = 12
合并：3y - 8 = 12
移项：3y = 20 → y = 20/3（检验略）
第5页：易错点辨析——避开常见错误
【易错点1：括号前有系数，漏乘括号内项】
错误示例：2(x + 3) = 14 → 2x + 3 = 14（漏乘3）
正确做法：2x + 6 = 14，解得x=4
【易错点2：括号前是负数，去括号后部分项不变号】
错误示例：-(x - 5) = 8 → -x - 5 = 8（-5未变号）
正确做法：-x + 5 = 8，解得x=-3
【易错点3：去括号后，同类项未及时合并导致移项错误】
错误示例：3x - 2(2x - 1) = 5 → 3x - 4x - 2 = 5（先移项未合并）
正确做法：3x - 4x + 2 = 5 → -x = 3 → x=-3
【避错技巧】去括号后先检查两点：① 系数是否乘遍括号内所有项；② 符号是否按法则改变，再进行后续步骤。
第6页：应用拓展——去括号的实际价值
【场景1：工程问题】某工程队修一段公路，第一天修了全长的一半多10米，第二天修了余下的一半少5米，两天共修了180米，求公路全长x米。
1. 列方程：第一天修的长度 + 第二天修的长度 = 180，即( x + 10) + [ (x - x - 10) - 5] = 180
2. 解方程：
去括号： x + 10 + ( x - 10) - 5 = 180 → x + 10 + x - 5 - 5 = 180合并： x = 180 → x = 240
3. 作答：公路全长240米。
【场景2：几何问题】一个长方形的周长是56厘米，长比宽的2倍多2厘米，求长方形的长和宽（设宽为x厘米）。
1. 列方程：2(长 + 宽) = 周长，即2[(2x + 2) + x] = 56
2. 解方程：
去括号：2(3x + 2) = 56 → 6x + 4 = 56移项合并：6x = 52 → x = 26/3（宽），长=2×26/3 + 2=58/3厘米
第7页：课堂小结——核心知识回顾
1. 解题关键：去括号是含括号方程的“突破口”，依据去括号法则将方程转化为不含括号的形式
2. 完整步骤：① 去括号（注意系数和符号）；② 合并同类项；③ 移项（变号）；④ 系数化为1；⑤ 检验
3. 易错提醒：① 系数别漏乘括号内项；② 负号别漏变括号内项符号；③ 去括号后先合并再移项
4. 知识关联：去括号是整式运算与方程求解的结合，是解更复杂一元一次方程的重要环节，为后续学习奠定基础。
实际问题
一元一次方程
设未知数
列方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.
例 题
【教材P133】
例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
如果设应安排 x 名工人生产螺栓，则_______名工人生产螺母.
螺栓的数量为___________，螺母的数量为____________.
如何找出等量关系？
1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.
等量关系：螺母数量 = 螺栓数量×2
(22-x)
1200x
2000(22-x)
例 题
【教材P133】
例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1200
螺母 2000
(22-x)
1200x
2000(22-x)
解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22-x)名工人生产螺母.
根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列得方程
2000(22-x) = 2×1200x.
解方程，得 x = 10.
22-x = 12.
答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母.
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺栓 x 1200
螺母 2000
(22-x)
1200x
2000(22-x)
如果设 x 名工人生产螺母，怎样列方程？
2000x = 2×1200(22-x).
例 题
【教材P133】
例 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
配套问题
配套问题中的基本关系：
可得相等关系：m×B 的数量 = n×A 的数量.
若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则 ，
A 的数量
B 的数量
m
n
=
巩固练习
某服装厂要生产一批校服，已知每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子，1 件上衣和 2 条裤子配成一套. 现有 1008 m 的布料，应怎样计划用料才能做尽可能多的成套校服？
每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子
上衣的数量∶裤子的数量 = 1∶2
可得：裤子的数量 = 上衣的数量×2
上衣和裤子共用布料 1008 m
条件分析
解:设用 x m 布料做上衣，则用 (1008-x) m 布料做裤子.
由题意，得 3(1008 - x) = 2x×2，
解得 x = 432. 所以 1008 - x = 576.
答:用 432 m 布料做上衣，576 m 布料做裤子，才能做
尽可能多的成套校服.
巩固练习
某服装厂要生产一批校服，已知每米布料可以做 2 件上衣或 3 条裤子，1 件上衣和 2 条裤子配成一套. 现有 1008 m 的布料，应怎样计划用料才能做尽可能多的成套校服？
例 题
【教材P133】
例 2 整理一批图书，由 1 人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？
分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间
如果把总工作量设为 1，则人均效率为 ，
如果设先安排 x 人做 4 h，那么 x 人先做 4 h完成的工作量为 ，
增加 2 人后再做 8 h 完成的工作量为 ，
前部分工作总量 + 后部分工作总量 = 总工作量
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
解：设先安排 x 人整理 4 h.
根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，
答：应先安排 2 人进行整理.
列得方程 ，解得 x = 2.
工程问题
工程问题中常用的相等关系：
（1）工作量 = 工作效率 × 工作时间
（2）合作效率 = 各部分的工作效率之和
（3）总工作量 = 各部分的工作量之和
（4）总工作量 = 人均效率×人数×时间
巩固练习
有一批零件加工任务，甲单独做要 40 h 完成，乙单独做要 30 h 完成. 甲单独做了一段时间后另有任务，剩下的任务由乙接手并单独完成，最终完成任务时，乙比甲多做了 2 h. 甲做了多少小时？
甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量“1”
甲的工作效率×工作时间
乙的工作效率×工作时间
巩固练习
有一批零件加工任务，甲单独做要 40 h 完成，乙单独做要 30 h 完成. 甲单独做了一段时间后另有任务，剩下的任务由乙接手并单独完成，最终完成任务时，乙比甲多做了 2 h. 甲做了多少小时？
解：设甲做了 x h，则乙做了 (x + 2) h.
根据题意，得 ，解得 x = 16.
答：甲做了 16 h.
归 纳
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
一元一次方程
实际问题
的答案
一元一次方程的解
（x = m）
设未知数，列方程
检 验
解方程
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案. 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
练 习
【选自教材P134 练习 第1题】
1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12 天，由乙工程队单独铺设需要 24 天，如果由这两支工程队从两端同时施工，需要多少天可以铺好这条管线？
解: 设需要 x 天可以铺好这条管线.
根据题意，得 .
解得 x ＝ 8.
答: 需要 8 天可以铺好这条管线.
2. 在一次劳动课上，有 27 名同学在甲处劳动，有 19 名
同学在乙处劳动. 现在从其他班级另调 20 人去支援，
使得在甲处的人数为在乙处人数的 2 倍，应调往甲、
乙两处各多少人？
解：设调往甲处 x 人，则调往乙处 (20 - x) 人.
根据题意，得 27 + x = 2(19 + 20 - x).
解得 x = 17. 所以 20 - x = 3.
答：应调往甲处 17 人，乙处 3 人.
【选自教材P134 练习 第2题】
3. 一台仪器由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件构成. 用 1 m3 钢材可以做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件，现要用 6 m3 钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制成多少台仪器？
解:设用 x m3 钢材做 A 部件，则用 (6 - x) m3 钢材做 B 部件.
根据题意，3×40x = 240(6 - x). 解得 x = 4.
所以 6 - x = 2，40x = 160.
答:应用 4 m3 钢材做A部件，2 m3 钢材做 B 部件，才能制作
尽可能多的仪器，最多能制成 160 台仪器.
【选自教材P134 练习 第3题】
1. 汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史
上素有“汝窑为魁”之称.某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具
由1个茶壶和6只茶杯组成.用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶
杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用 千克瓷泥做茶壶时，
恰好使制作的茶壶和茶杯配套.根据题意，下面所列方程正确
的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. ［2024烟台］《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著
作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日
织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：
现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每
天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一
尺布，30天完工，问一共织了多少布？( )
C
A. 45尺 B. 88尺
C. 90尺 D. 98尺
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3.某工厂安排60名工人加工一批桌子，每张桌子由1张桌面和
4条桌腿组成.每名工人每天可以加工2张桌面或者4条桌腿
（每人只加工桌面或桌腿），为了使每天加工的桌面和桌腿
恰好配套，每天应该安排____名工人生产桌面.
20
【点拨】设每天应该安排名工人生产桌面，则有 名
工人生产桌腿，由题意，得，解得 ，
所以每天应该安排20名工人生产桌面.
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4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师傅
与徒弟每小时各检修多长的管道.
条件：
①该管道长 ；
②师傅每小时比徒弟多检修 ；
③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务；
④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务；
在上述四个条件中选择三个条件，并完成解答.（写一种即可）
【解】（答案不唯一，写一种即可）
当选择①②③时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择①②④时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择②③④时，
设师父每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 ，
答：师父每小时检修，徒弟每小时检修 .
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5. 某车间有技工85人，平均每人每天能生产甲种零件16个或
乙种零件10个，已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，
通过合理安排，分配恰当的人数生产甲种或乙种零件，可以
使得每天生产的两种零件刚好配套，则每天可以生产配套的
零件( )
A
A. 200套 B. 201套
C. 202套 D. 203套
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
一元一次方程
实际问题
的答案
一元一次方程的解
（x = m）
设未知数，列方程
检 验
解方程
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