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(共43张PPT)
人教版（2024）版数学7年级上册
第五章 一元一次方程
5.3.4方案选择问题
1.会寻找数量关系列方程，确定最优方案.
2.掌握分段计费问题.
5.3.4 方案选择问题
第一页：情境导入——生活中的“选择困难”
生活中我们常常面临这样的决策：
- 手机营业厅推出两种套餐：A套餐月租38元，含100分钟通话，超出后每分钟0.2元；B套餐无月租，每分钟0.4元。哪种套餐更省钱？
- 学校组织研学，旅行社提供两种方案：甲方案每人80元，含门票和车费；乙方案每人50元车费，门票另算，团体票（30人以上）每张25元。35名学生该选哪种？
- 超市促销：洗衣液买3送1，单价20元；另一种是直接打8折销售。买12瓶哪种方式更划算？
这些问题都需要通过数学分析做出最优选择。今天我们就用一元一次方程，科学破解“选择困难症”，找到最适合的方案。
第二页：核心思路——用数学量化方案优劣
方案选择的本质是“比较”，关键是找到不同方案的“等量关系”和“差异点”，核心步骤如下：
1. 明确变量：确定影响方案结果的关键变量（如通话时长、购买数量、人数等），设其为未知数x。
2. 建立模型：根据每种方案的规则，分别列出表示“费用”“收益”等核心指标的代数式（含x）。
3. 寻找临界点：令两个方案的代数式相等，列一元一次方程求解，得到的x值就是方案优劣的“临界点”。
4. 分类讨论：根据变量x与临界点的大小关系，分情况判断哪种方案更优，最终结合实际需求做出选择。
核心原则：当变量取值不同时，最优方案可能不同，必须通过分类讨论覆盖所有情况，避免“一刀切”的错误。
第三页：例题解析1——消费类方案（通话套餐）
例题：某通信公司有两种手机通话费收费方式：
收费方式
月租费
通话费（元/分钟）
方式一
20元
0.15
方式二
0元
0.25
每月通话多长时间时，两种方式费用相等？通话时间不同时，如何选择更省钱的方式？
解答步骤：
1. 设变量：设每月通话x分钟，方式一费用为y 元，方式二费用为y 元。
2. 列代数式：
方式一：y = 月租费 + 超出部分费用 = 20 + 0.15x
3. 方式二：y = 无月租，仅通话费 = 0.25x
4. 找临界点（列方程）：令y = y ，即20 + 0.15x = 0.25x，解得x = 200。
5. 分类讨论：
当x < 200分钟时，取x=100，y =20+15=35元，y =25元，此时方式二更省钱；
6. 当x = 200分钟时，y =y =50元，两种方式费用相同；
7. 当x > 200分钟时，取x=300，y =20+45=65元，y =75元，此时方式一更省钱。
第四页：例题解析2——团体收费类方案（研学活动）
例题：学校组织七年级学生研学，现有A、B两家旅行社可供选择，收费标准如下：
- A旅行社：每人收费100元，若人数超过30人，超出部分每人优惠20元；
- B旅行社：每人收费80元，无论人数多少，一律收取总价10%的服务费。
若参加研学的学生有x人（x>30），选择哪家旅行社更省钱？
解答步骤：
1. 列费用代数式：
A旅行社：30人按原价，(x-30)人优惠20元，费用y = 30×100 + (x-30)×(100-20) = 80x + 600；
2. B旅行社：总价为80x元，加10%服务费，费用y = 80x×(1+10%) = 88x。
3. 找临界点：令y = y ，即80x + 600 = 88x，解得x = 75。
4. 分类决策：
当30 < x < 75时，取x=50，y =80×50+600=4600元，y =88×50=4400元，B旅行社更省钱；
5. 当x = 75时，y =y =80×75+600=6600元，两家费用相同；
6. 当x > 75时，取x=100，y =80×100+600=8600元，y =88×100=8800元，A旅行社更省钱。
易错提醒：当方案中出现“人数限制”“阶梯收费”时，列代数式要分阶段考虑，确保覆盖所有取值范围，避免漏算优惠部分。
第五页：例题解析3——生产经营类方案（原料采购）
例题：某工厂生产零件需采购甲、乙两种原料，现有两家供应商报价如下：
供应商
甲原料（元/吨）
乙原料（元/吨）
优惠政策
甲供应商
2000
1500
购买甲原料满5吨，乙原料打9折
乙供应商
1900
1600
无论购买多少，总价打9.5折
工厂需采购甲原料6吨，乙原料x吨，选择哪家供应商更划算？
解答步骤：
1. 计算两家供应商费用：
甲供应商：甲原料6吨满5吨，乙原料打9折，费用y = 6×2000 + x×1500×0.9 = 12000 + 1350x；
2. 乙供应商：总价打9.5折，费用y = (6×1900 + x×1600)×0.95 = 10830 + 1520x。
3. 求临界点：令y = y ，即12000 + 1350x = 10830 + 1520x，解得x = 6.88（保留两位小数）。
4. 实际决策：
当x < 6.88吨时，乙供应商更划算；
5. 当x = 6.88吨时，两家费用相近；
6. 当x > 6.88吨时，甲供应商更划算（因乙原料折扣力度更大）。
第六页：变式练习——巩固决策方法
1. 某超市销售洗衣液，有两种促销方案：
- 方案一：单价25元，买4送1（不足4瓶不赠送）；
- 方案二：单价25元，一律打8.5折销售。
分别计算购买10瓶、12瓶时两种方案的费用，并说明购买多少瓶时方案一更划算。
2. 某快递公司收费标准：
- 普通快递：首重1kg内10元，续重每kg5元；
- 特快快递：首重1kg内15元，续重每kg3元。
寄多少重量的物品时，特快快递比普通快递更省钱？（物品重量超过1kg）
3. 某制衣厂承接订单，有两种生产方案：
- 方案A：雇佣临时工，每件付工资8元，无设备费；
- 方案B：租用设备（每天1000元），雇佣固定工，每件付工资3元。
若每天生产x件衣服，选择哪种方案成本更低？
第七页：课堂小结——方案选择“五步法”
1. 审：审题，明确各方案的收费/收益规则，找出关键变量（如x）。
2. 列：根据规则，分别列出各方案的核心指标代数式（费用/收益=y）。
3. 解：令代数式相等，列一元一次方程，求解临界点x 。
4. 分：分x < x 、x = x 、x > x 三种情况，代入具体值比较方案优劣。
5. 答：结合实际场景（如人数、数量为正整数），给出明确的最优方案结论。
第八页：拓展思考——数学与决策智慧
生活中还有很多复杂的方案选择问题，如买房时的“全款vs贷款”、投资时的“风险vs收益”等，都可以用类似的数学思维分析。
瑞士数学家欧拉提出的“37%法则”，就是一种经典的决策策略：在有限的选择中，前37%的选项作为“参考样本”不决策，之后遇到比样本更好的选项立即选择，能最大概率找到最优解。这体现了数学在理性决策中的重要作用。
核心启示：方案没有绝对的“好”与“坏”，只有“适合”与“不适合”，数学帮我们用数据找到最适合的那一个。
同学们，你们去过电器商场吗？
在冰箱、洗衣机、空调等家用电器上，我们常会看到右图这样的小标识，你知道这是什么意思吗？
课堂导入
中国能效标识又称能源效率标识，是附在耗能产品或其最小包装物上，表示产品能源效率等级等性能指标的一种信息标签.
等级越低，表示能耗越低，越节电.
我发现能耗低的电器比能耗高的电器价格贵，但能耗低的电器比较省电，电费低，我该怎么选择呢？
探究 3
【教材P138】
不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
分析：在这个问题中，
综合费用 = 空调的售价 + 电费
选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
设空调的使用年数是 t，则 1 级能效空调的综合费用（单位：元）是
3000 + 0.5×640t
即 3000 + 320t
3 级能效空调的综合费用（单位：元）是
2600 + 0.5×800t
即 2600 + 400t
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
先来看 t 取什么值时，两款空调的综合费用相等.
列方程 3000 + 320t = 2600 + 400t
解得 t = 5
1 级空调 3000 + 320t
3 级空调 2600 + 400t
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示 3 级能效空调的综合费用的式子 2600 + 400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即
(3000 + 320t) + (80t - 400)
也就是 3000 + 320t + 80(t–5)
3000 + 320t + 80(t–5)
当 t < 5 时，80(t-5) 是负数，这表明 3 级能效空调的综合费用较低；
当 t > 5 时，80(t-5) 是正数，这表明 1 级能效空调的综合费用较低；
综合以上的分析，可以发现：
（1）_______时，选择 3 级能效空调省钱；
（2）_______时，选择 1 级能效空调省钱；
（3）_______时，选择 1 级、3级能效空调均可.
t < 5
t > 5
t = 5
根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年（从生产日期计起），因此购买、使用 1 级能效空调更划算.
通常，1 级能效空调既节能又省钱
巩固练习
1. 在“清洁乡村”活动中，村里需购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案:
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，
以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，
以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
设交费时间为 x 个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用
共为 M 元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为 N 元.
请你分析该村采用哪种方案更省钱.
分析：总费用 ＝ 购买费用 + 垃圾处理费用.
选定一种方案后，购买费用是确定的，垃圾处理费用与交费时间有关.
用交费时间 x 分别表示两种方案的总费用，然后进行比较.
方案一:买分类垃圾桶，需要费用 4000 元，
以后每月的垃圾处理费用为 300 元；
方案二:买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，
以后每月的垃圾处理费用为 600 元.
解：依题意得 M＝ 300x + 4000，N＝600x + 1000.
先来看 x 取什么值时，两种方案费用相同，
列方程 300x + 4000 = 600x + 1000，解得 x ＝ 10.
故交费时间为 10 个月时，两种方案费用相同.
为了比较两种方案的费用，把方案二的费用的式子
600x + 1000 变形为方案一的费用与另外一个式子的和，
即 (300x + 4000) + (300x - 3000)，
也就是 (300x + 4000) + 300(x - 10).
这样，当 x < 10 时，300(x - 10) 是负数，这表明方案二的费用较低，当 x > 10 时，300(x - 10) 是正数，这表明方案一的费用较低.
由此可见，当交费时间少于 10 个月时，采用方案二更
省钱，当交费时间等于 10 个月时，两种方案费用相同，
当交费时间多于 10 个月时，采用方案一更省钱.
2. 为了倡导和鼓励居民节约用水，某市水务部门对城市居民生活用水采取分段收费办法:规定每月每户居民生活用水标准量为 22 m3，在标准用水量范围里免收生活污水处理费，超出标准用水量的部分收取一定的生活污水处理费，每月生活用水的收费标准 (单位：元/ m3) 及单价说明如下表所示:
月用水量 单价/(元/m3) 单价说明
不超过 22 m3 a 免收生活污水处理费
超过 22 m3 的部分 a+1.1 超过标准用水量的部分收取生活
污水处理费标准：1.1 元/m3
月用水量 单价/(元/m3) 单价说明
不超过 22 m3 a 免收生活污水处理费
超过 22 m3 的部分 a+1.1 超过标准用水量的部分收取生活
污水处理费标准：1.1 元/m3
（1）某居民用户某月用水 10 m3，共缴纳水费 23 元，求 a 的值；
解：由题意，得10a = 23，解得 a = 2.3 .
（2）在（1）的前提下，该居民用户 10 月份缴纳水费 71 元，则该居民用户 10 月份的用水量是多少？
因为 2.3×22 ＝ 50.6 < 71，
所以该居民用户 10 月份的用水量超过 22 m3.
设该居民用户 10 月份的用水量为 x m3.
由题意，得 50.6 + (2.3 + 1.1)(x - 22) ＝ 71，
解得 x ＝ 28.
答：该居民用户 10 月份的用水量是 28 m3.
习题5.3
1. 结合本节内容体会例 2 后归纳的框图.
解:将实际问题转化为数学问题（列一元一次方程），再通过解方程得到数学问题的解（x = a），最后将
得到的解代回原方程检验，得到实际问题的答案.
2. 制作一张桌子要用 1 个桌面和 4 条桌腿，1 m3 木材可制作 20 个桌面，或者制作 400 条桌腿. 现有 12 m3 木材，应怎样
计划用料才能制作尽可能多的桌子？
解:设用 x m3 木材制作桌面，则用 (12-x) m3 木材制作桌腿.
根据题意，得 4×20x ＝ 400(12-x).
解得 x = 10. 所以 12 - x ＝ 2.
答:用 10 m3 木材制作桌面，2 m3 木材制作桌腿，才能制作
尽可能多的桌子.
3. 某车间每天能制作 500 个甲种零件，或 250 个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各 1 个
配成 1 套产品. 现要用 30 天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？
解：设甲种零件应制作 x 天，则乙种零件应制作 (30 - x) 天.
根据题意，得 500x ＝ 250(30 - x).
解得 x ＝10. 所以 30 - x ＝ 20.
答：甲种零件应制作 10 天，乙种零件应制作 20 天.
4. 某项工作由甲、乙两人单独做分别需要 7.5 h 和 5 h. 如果让甲、乙两人一起工作 1 h，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？
解：设剩余部分由乙单独完成需 x h.
根据题意，得 .
解得 . 所以 .
答：一共需要 h.
5. 整理一批数据，由 1 人整理需 80 h 完成. 现在计划先由一些人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h，完成这项工作的 . 怎样安排参与整理数据的具体人数？
解：设先安排 x 人整理 2 h.
解得 x ＝ 2.
答:应先安排 2 人整理 2 h，再增加 5 人整理 8 h.
根据题意，得 .
综合运用
6. 用 A 型和 B 型机器生产同样的产品，已知 5 台 A 型机器一天生产的产品装满 8 箱后还剩 4 个，7 台 B 型机器一天生产的产品装满 11 箱后还剩 1 个，每台 A 型机器比 B 型机器一天多生产 1 个产品. 求每箱装多少个产品.
解：设每箱装 x 个产品.
根据题意，得 .
解得 x ＝ 12.
答:每箱装 12 个产品.
7. 下表中记录了一次实验中时间和温度的数据，假设温度的
变化是均匀的.
（1）实验进行 21 min 时的温度是多少？
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
解：由题意可知，实验开始 21 min 时的温度是
（℃）
时间/min 0 5 10 15 20 25
温度/℃ 10 25 40 55 70 85
（2）实验进行多长时间的温度是 34 ℃？
设实验开始 x min 后的温度是 34 ℃.
答：实验进行 8 min 的温度是 34 ℃.
根据题意，得 10 + x ＝ 34. 解得 x ＝ 8.
8. 某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装 2 块大月饼和 4 块小月饼. 制作 1 块大月饼要用 0.05 kg 面粉，制作 1 块小月饼要用 0.02 kg 面粉. 现有面粉 4500 kg，应各用多少千克面粉制
作两种月饼，才能生产最多的盒装月饼？
解:设制作 x 块大月饼，则需要制作 2x 块小月饼.
根据题意，得 0.05 + 0.02×2x ＝ 4500.
解得 x ＝ 50000
所以 0.05x ＝ 2500，0.05×2x ＝ 2000.
答：应用 2500 kg 面粉制作大月饼，2000 kg 面粉
制作小月饼，才能生产最多的盒装月饼.
9. 李明和刘伟分别从 A，B 两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发 24 min 后两人相遇，相遇时李明比刘伟多行进 4.8 km，相遇后 6 min 李明到达 B 地. 两人每小时分别行进多少千米？相遇后经过多长时间刘伟到达 A地？
解:设刘伟的行进速度是 x km/h，则李明的行进速度是(x + 12) km/h.
根据题意，得 0.4(x+x+12) ＝0.5(x + 12).
解得 x＝ 4.
所以 x + 12＝16，0.4×16÷4＝ 1.6 (h).
答:刘伟的行进速度是 4 km/h，李明的行进速度是 16 km/h，相遇后经过 1.6 h 刘伟到达 A 地.
10. 商店对某商品降价 20% 促销，为了使销售总金额不变，
销售量要比按原价销售时增加百分之几？
解：设销售量要比按原价销售时增加 x％ .
根据题意，得 (1-20％)(1 + x％) ＝ 1.
解得 x ＝ 25.
答：销售量要比按原价销售时增加 25％ .
1.某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具
体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在该保险公司得到的赔
偿金是2 000元，那么此人的汽车修理费是__________.
赔偿率
… …
元
【解析】因为 （元），
（元），
（元），且
， ，
，所以此人的汽车修理
费的取值范围是 ，由题意，得
，解得 ，
所以此人的汽车修理费是 元.
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2.某市有两家出租车公司，收费标准不同.甲公司收费标准：
起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.6元收费.
乙公司收费标准：起步价20元，超过8千米后，超过的部分
按照每千米1.3元收费.已知车辆行驶千米.本题中 取整数，
不足1千米的路程按1千米计费.
（1）根据题意，填写下表：
车辆行驶的路程/千米 1 3 5 8 15 20 …
甲公司收费/元 9 12.2 17 ____ 36.2 …
乙公司收费/元 20 20 20 __ __ 29.1 ____ …
28.2
20
35.6
【解】由题意得当 时，甲公司收费9元；
当时，甲公司收费 （元）;
当 时，乙公司收费20元；
当时，乙公司收费 （元）.
（2）当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙
两公司的收费分别是多少 （结果用化简后的含 的式子表示）
由题意得当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲
公司的收费为 （元），乙公司
的收费为 （元）.
（3）当行驶路程为____千米时，两家公司的费用相同.
18
【解析】由题意得,解得 ,所以
当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同.
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3.［2025石家庄校级月考］某校为了让学生体验农耕劳动，
开辟了一处耕种园，需采购一批某种菜苗开展种植活动.已知
甲、乙两菜苗基地该种菜苗每捆的标价都是15元（菜苗的质
量一样好），但甲、乙两菜苗基地的优惠条件却不同，如下
所示.
甲菜苗基地：若购买不超过10捆，则按标价付款；若一次性
购买10捆以上，前10捆按标价付款，超过10捆的部分按标价
的 付款；
乙菜苗基地：按标价的 付款.
（1）若学校决定购买该种菜苗15捆，则在甲菜苗基地购买，
需付款_____元，在乙菜苗基地购买，需付款_____元；
（2）设学校购买该种菜苗 捆，补全下列表格
（需化简）；
195
180
在甲菜苗基地购买 的费用/元 在乙菜苗基地购买
的费用/元
_____
________ _____
（3）根据购买该种菜苗的捆数选择哪个基地更省钱.
【解】①当 小于等于10时，选择乙菜苗基地更省钱；
②当大于10时，由，得 ，
所以易得当 时，选择乙菜苗基地更省钱；
当 时，选择甲菜苗基地更省钱.
当 时，两个菜苗基地购买费用一样.
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解决方案决策问题，先要找出费用随哪个量的变化而变化. 若变化量已知，则直接对各个方案进行计算求值，通过比较大小来确定方案；若变化量未知，则根据费用的关系列方程求变化量.
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