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(共40张PPT)
人教版（2024）版数学7年级上册
第六章 几何图形初步
6.1.1.2从不同方向看立体图形和
立体图形的展开图
1.会从不同方向看立体图形，得到不同形状的平面图形；
2.能画出简单的立体图形的展开图；
3.尝试把包装盒剪开铺平，再把它围成立体图形的过程，体会立体图形与平面图形的关系.
第六章 几何图形初步
第一页：情境导入——走进图形的世界
观察我们身边的世界，处处都有图形的身影：
- 教室里的课桌是长方形，篮球是圆形，粉笔是圆柱形；
- 马路上的交通标志有三角形、正方形，高楼的轮廓是长方体；
- 自然界中，蜂巢是正六边形，树叶的形状是不规则图形。
这些图形都属于几何图形。几何是研究图形的形状、大小和位置关系的学科，是数学的重要分支。从今天开始，我们就一起走进几何图形的世界，探索它们的奥秘。
第二页：几何图形的分类——立体图形与平面图形
根据图形的形状特点，几何图形可以分为两大类：
1. 立体图形（3D图形）
定义：各部分不都在同一平面内的图形，具有一定的空间结构，能体现“长、宽、高”三个维度。
常见类型：
- 柱体：圆柱（如易拉罐）、棱柱（如魔方）；
- 锥体：圆锥（如冰淇淋甜筒）、棱锥（如金字塔）；
- 球体：如篮球、地球仪。
2. 平面图形（2D图形）
定义：各部分都在同一平面内的图形，只具有“长、宽”两个维度。
常见类型：
- 多边形：三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形）、五边形等；
- 圆形：圆、扇形；
- 其他：线段、射线、直线。
联系：立体图形的表面往往是平面图形，将立体图形展开后得到的平面图形称为“展开图”，如正方体展开图有11种不同的形状。
第三页：立体图形的认识——特征与辨析
不同的立体图形具有独特的结构特征，我们可以通过“面的形状”“顶点数量”“棱的数量”来区分它们：
立体图形
面的组成
顶点数
棱数
生活实例
正方体
6个完全相同的正方形
8
12
魔方、骰子
长方体
6个长方形（可能有2个相对面是正方形）
8
12
书本、文具盒
圆柱
2个圆形底面 + 1个曲面侧面
0
0
易拉罐、灯管
圆锥
1个圆形底面 + 1个曲面侧面
1
0
漏斗、圣诞帽
球体
1个曲面
0
0
足球、乒乓球
第四页：平面图形的认识——从基本元素开始
平面图形是由基本几何元素组成的，其中“线段、射线、直线”是最基础的图形，它们的区别与联系是重点：
1. 线段定义：直线上两个点和它们之间的部分，有两个端点。
2. 特征：可以度量长度，不能向两端延伸。
3. 表示方法：用两个端点的字母表示，如线段AB（或线段BA）。
4. 射线定义：直线上的一个点和它一旁的部分，有一个端点。
5. 特征：不能度量长度，只能向一个方向无限延伸。
6. 表示方法：用端点字母和射线上另一个点表示，端点在前，如射线OA。
7. 直线定义：把线段向两端无限延伸所得到的图形，没有端点。
8. 特征：不能度量长度，能向两端无限延伸。
9. 表示方法：用直线上两个点表示（如直线AB），或用一个小写字母表示（如直线l）。
易错提醒：射线的表示方法中，端点字母必须写在前面，如“射线AO”和“射线OA”表示的是两条不同的射线，因为它们的延伸方向不同。
第五页：线段的性质与计算
线段的性质在生活中应用广泛，相关计算也是几何初步的基础：
1. 基本性质：两点之间，线段最短。
生活应用：修公路时尽量拉直以缩短距离，地图上两点间的“最短路径”是线段。
2. 两点间距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。距离是“长度”，是一个数值，而不是线段本身。
3. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。
若点M是线段AB的中点，则AM = MB = 1/2 AB，或AB = 2AM = 2MB。
4. 计算例题：已知线段AB = 10cm，点C是线段AB上一点，AC = 4cm，点M是AB的中点，求线段MC的长度。
解答：∵ M是AB中点，∴ AM = 1/2 AB = 5cm；又∵ AC = 4cm，∴ MC = AM - AC = 5 - 4 = 1cm。
第六页：角的认识——定义与表示
角是平面图形中另一个重要的基本元素，我们从定义、表示方法和组成部分来认识它：
1. 定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。
另一种定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
2. 组成部分：1个顶点 + 2条边（边是射线，可无限延伸）。
3. 表示方法（四种常见方式）：
用三个大写字母表示：顶点字母在中间，如∠AOB（O为顶点）；
4. 用顶点字母表示：当顶点处只有一个角时，如∠O；
5. 用数字表示：如∠1、∠2；
6. 用希腊字母表示：如∠α、∠β。
练习：图中有几个角？分别用不同方式表示出来。（提示：从一个顶点出发有n条射线，角的个数为n(n-1)/2）
第七页：角的度量与换算
角的大小用“度”来衡量，度量工具是量角器，同时涉及度、分、秒的换算：
1. 度量单位：
基本单位：度（°），把一个周角平均分成360份，每一份就是1度，记为1°；
2. 辅助单位：分（′）、秒（″），用于表示更小的角，1° = 60′，1′ = 60″（六十进制）。
3. 换算例题：
将3.2°转化为度分形式：0.2°×60 = 12′，∴ 3.2° = 3°12′；
4. 将5°15′转化为度：15′÷60 = 0.25°，∴ 5°15′ = 5.25°；
5. 计算18°25′ + 23°35′ = (18+23)° + (25+35)′ = 41°60′ = 42°（满60′进1°）。
6. 角的分类（按大小）：
锐角：小于90°的角；
7. 直角：等于90°的角（记为Rt∠）；
8. 钝角：大于90°且小于180°的角；
9. 平角：等于180°的角（两边成一条直线）；
10. 周角：等于360°的角（两边重合）。
第十页：章节知识整合——立体图形的观察与转化
“从不同方向看立体图形”和“立体图形的展开图”是立体图形与平面图形转化的两大核心视角，它们从“投影”和“表面展开”两个维度建立了空间图形与平面图形的联系，整合知识点如下：
从不同方向看（三视图）
- 核心视图：主视图（长、高）、左视图（宽、高）、俯视图（长、宽）；
- 绘制原则：拆分组合体、体现遮挡关系、视线垂直投影；
- 关键应用：通过平面视图还原立体图形结构，用于设计、制图等领域。
立体图形的展开图
- 重点：正方体11种展开形式及“田、凹”排除法；
- 特征：圆柱（圆+长方形）、圆锥（圆+扇形）的展开图规律；
- 关键应用：找相对面、计算立体图形表面积。
核心思想：几何图形的“转化思想”——将抽象的立体图形转化为具体的平面图形（视图或展开图），通过解决平面图形问题间接解决立体图形问题，这是几何学习的重要方法。
练习：1. 画出“下方长方体，上方右侧叠放一个正方体”的主视图和俯视图；2. 判断“凹”字形图形是否为正方体展开图，并说明理由；3. 已知正方体展开图中“数”相对“学”，“形”相对“思”，则剩下的两个面一定相对。
本章我们从生活实例出发，初步认识了几何图形的基本概念，核心知识框架如下：
1. 图形分类：立体图形（柱体、锥体、球体）与平面图形（线段、射线、直线、角、多边形等）；
2. 立体图形的观察与转化：从不同方向看：主视图、左视图、俯视图，反映立体图形的不同维度特征；
3. 展开图：正方体11种展开形式及判断方法，圆柱、圆锥等的展开图特征。
4. 基本元素：线：线段（有端点、可度量）、射线（一个端点、单向延伸）、直线（无端点、双向延伸）；
5. 角：定义、表示方法、度分秒换算、分类。
6. 核心性质：两点之间线段最短；
7. 基本计算与应用：线段长度计算（中点应用）；
8. 角的度量与换算；
9. 立体图形视图判断与展开图相对面寻找。
第八页：6.1.1.2 从不同方向看立体图形
观察立体图形时，从不同方向会得到不同的平面图形，这些图形是立体图形的“平面视角”，在建筑设计、机械制图等领域有着重要应用。通过这些平面图形，我们能间接认识立体图形的空间结构。
一、核心视图：三视图体系
为全面反映立体图形的形状，通常从三个相互垂直的方向观察，得到“三视图”，它们分别对应立体图形的不同维度特征：
- 主视图：从正面观察所得图形，核心反映物体的“长”和“高”，是最直观的视角；
- 左视图：从左面观察所得图形，核心反映物体的“宽”和“高”，补充侧面形态；
- 俯视图：从上面观察所得图形，核心反映物体的“长”和“宽”，呈现顶部布局。
关键联系：主视图与左视图的“高”相等，主视图与俯视图的“长”相等，左视图与俯视图的“宽”相等，这是三视图的基本对应规律。
二、常见立体图形的三视图对比
不同立体图形的三视图具有鲜明特征，是区分它们的重要依据：
立体图形
主视图
左视图
俯视图
正方体
正方形
正方形
正方形（各边相等）
长方体
长方形
长方形
长方形（对边相等）
圆柱（轴线水平）
长方形
圆形
长方形
圆柱（轴线竖直）
长方形
长方形
圆形
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆形（含表示顶点的中心点）
球体
圆形
圆形
圆形（大小完全相同）
三、组合立体图形的视图画法
由多个基本立体图形组合而成的物体，画视图时需遵循“先拆分，再组合，遮不画”的原则：
1. 拆分：将组合体分解为正方体、圆柱等基本立体图形，明确各部分的位置关系（上下、左右、前后）；
2. 组合：分别画出各部分的视图，再按位置关系拼接成完整视图；
3. 遮挡处理：被前面物体挡住的部分，不需要画出线条，体现“看得见画实线，看不见不画”的规则。
示例：下方一个正方体，上方中央叠放一个圆锥，其主视图为“下方正方形，上方等腰三角形”，俯视图为“正方形中央一个带中心点的圆形”。
观察技巧：观察时保持视线与被观察面垂直，确保画出的是“正投影”，避免因视角倾斜导致图形形状失真，比如看圆柱时，视线垂直侧面才能得到长方形视图。
本章我们从生活实例出发，初步认识了几何图形的基本概念，核心知识框架如下：
1. 图形分类：立体图形（柱体、锥体、球体）与平面图形（线段、射线、直线、角、多边形等）；
2. 基本元素：
线：线段（有端点、可度量）、射线（一个端点、单向延伸）、直线（无端点、双向延伸）；
3. 角：定义、表示方法、度分秒换算、分类。
4. 核心性质：两点之间线段最短；
5. 基本计算：线段长度计算（中点应用）、角的度量与换算。
第九页：6.1.1.2 立体图形的展开图
将立体图形的表面沿棱剪开，使其展开后铺成一个平面图形，这个图形就是立体图形的展开图。展开图是立体图形与平面图形相互转化的“桥梁”，也是解决立体图形表面问题的重要工具。
一、正方体展开图：11种形式与判断
正方体有6个完全相同的正方形面，展开后相邻的面在立体图形中也相邻，共有11种不同的展开形式，可按“中间正方形数量”分为四大类，便于记忆和判断：
类型
结构特征
数量
记忆口诀
“1-4-1”型
中间4个正方形连成一排，上下各1个正方形（上下正方形位置可在中间4个的正上方或正下方）
6种
一四一，中间四个串，两边各一随便安
“2-3-1”型
中间3个正方形连成一排，上方2个正方形（相邻），下方1个正方形（与中间3个的一端对齐）
3种
二三一，二三紧相连，三一错着站
“2-2-2”型
2个正方形为一组，共3组，每组依次错开排列，呈阶梯状
1种
二二二，阶梯来排队，两两不重叠
“3-3”型
3个正方形为一组，共2组，两组并排且相邻，无重叠部分
1种
三三三，两组并排站，紧紧靠一边
易错排除：以下两种图形一定不是正方体展开图——①“田”字形：出现4个正方形组成“田”字，折叠后会有面重叠；②“凹”字形：某一行正方形出现凹陷，无法围成封闭正方体。
二、常见立体图形的展开图特征
除正方体外，圆柱、圆锥等立体图形的展开图也有固定特征，结合它们的表面组成可快速识别：
- 圆柱：表面由2个圆形底面和1个曲面侧面组成，展开图为“2个等大的圆形 + 1个长方形”。其中长方形的长 = 底面圆形的周长，长方形的宽 = 圆柱的高；
- 圆锥：表面由1个圆形底面和1个曲面侧面组成，展开图为“1个圆形 + 1个扇形”。其中扇形的弧长 = 底面圆形的周长，扇形的半径 = 圆锥的母线长（顶点到底面圆周的距离）；
- 长方体：表面由6个长方形（可能有2个相对面是正方形）组成，展开图中相对的面完全相同且不相邻，共有多种展开形式，但核心是“相对面成对出现”。
三、展开图的核心应用：找相对面
在正方体展开图中，找到相对的面是解决立体图形问题的关键，核心方法是“相隔判断法”：相对的两个面之间一定相隔1个正方形，不会相邻。
例题：正方体展开图如下（“1-4-1”型），第一行是“甲”，第二行是“乙、丙、丁、戊”，第三行是“己”，找出各面的相对面。
解答：中间4个面（乙、丙、丁、戊）彼此相邻，上下两个面（甲、己）分别与中间面相对——甲相对丁，己相对丙，乙相对戊。
拓展：若在展开图中给某一面标上图案，折叠后可通过相对面关系快速判断图案的位置，这是立体图形与平面图形转化的典型应用。
我们观察立体图形时，从不同方向看会得到不同的平面图形，这些图形是认识立体图形的重要依据，在生活中（如建筑设计、产品制图）应用广泛。
1. 核心概念：三种视图
从三个基本方向观察立体图形，得到的平面图形称为“三视图”，是最常用的观察角度：
- 主视图：从立体图形的正面观察得到的图形，反映物体的长和高；
- 左视图：从立体图形的左面观察得到的图形，反映物体的宽和高；
- 俯视图：从立体图形的上面观察得到的图形，反映物体的长和宽。
2. 常见立体图形的三视图
立体图形
主视图
左视图
俯视图
正方体
正方形
正方形
正方形
长方体
长方形（或正方形）
长方形（或正方形）
长方形（或正方形）
圆柱
长方形
长方形
圆形
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆形（含圆心点）
球体
圆形
圆形
圆形
3. 组合立体图形的视图
由多个基本立体图形组合而成的图形，视图需分别观察各部分的形状并组合，注意“遮挡部分”不画出。
示例：由一个正方体和一个圆柱组成的组合体（正方体在下方，圆柱竖直放在正方体上表面中央），其主视图为“下方长方形，上方长方形”，俯视图为“正方形中央有一个圆形”。
观察技巧：观察时视线要与被观察面垂直，确保得到的是“正投影”图形，避免因视角倾斜导致图形变形。
将立体图形的表面沿棱剪开，展开后得到的平面图形称为“立体图形的展开图”，它是立体图形与平面图形转化的重要桥梁。
1. 正方体的展开图（重点）
正方体有6个完全相同的正方形面，展开后相邻面在立体图形中也相邻，共有11种不同的展开形式，可分为四大类：
- “1-4-1”型：中间4个正方形连成一排，上下各1个正方形（共6种），如“一四一，中间四个一连串，两边各一随便放”；
- “2-3-1”型：中间3个正方形连成一排，上方2个正方形，下方1个正方形（共3种），如“二三一，二三相连错一个，三一相连随便放”；
- “2-2-2”型：2个正方形连成一排，共3排，每排之间错开一个（共1种），如“二二二，阶梯形式排整齐”；
- “3-3”型：3个正方形连成一排，共2排，两排相邻且无重叠（共1种），如“三三三，三个三个并排站”。
易错提醒：正方体展开图中，“田”字形、“凹”字形的图形一定不是正方体的展开图，因为它们无法折叠成封闭的正方体。
2. 其他常见立体图形的展开图
- 圆柱：展开图由2个大小相同的圆形（底面）和1个长方形（侧面）组成，长方形的长等于底面圆的周长，宽等于圆柱的高；
- 圆锥：展开图由1个圆形（底面）和1个扇形（侧面）组成，扇形的弧长等于底面圆的周长；
- 长方体：展开图由6个长方形组成（可能有2个相对面是正方形），相对的面在展开图中不相邻。
3. 展开图的应用
例题：一个正方体展开图中，标有“数”字的面与标有哪些字的面是相对面？（展开图：第一行“学”，第二行“数、学、习、进”，第三行“步”——“1-4-1”型）
解答：“1-4-1”型中，中间4个面相邻，上下两个面分别与中间相对的面相对。标“数”的面在中间左起第一个，相对面为中间左起第三个“习”；上方“学”相对下方“步”，中间左起第二个“学”无相对面（此例为假设，实际展开图中各面唯一）。
方法总结：正方体展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，不会相邻。
回顾：平面图形和立体图形有什么区别和联系？
区别：
平面图形：各部分______同一平面内.
立体图形：各部分_________同一平面内.
联系：
立体图形中的某些部分是__________.
都在
不都在
平面图形
知识点一
从不同方向看立体图形
探究：如图是一个工件的立体图，你能分别画出从前面、左面、上面看到的平面图形吗？
从前面看
从左面看
从上面看
不同方向
立体图形
不同形状的平面图形
平面图形
转 化
三视图
做一做：画出长方体、圆柱、圆锥、四棱锥、三棱柱从前面、左面、上面看物体得到的平面图形．
从左面看
从前面看
从上面看
长方体
可见棱画实线段；不可见棱画虚线段
圆柱
从左面看
从前面看
从上面看
圆锥
从左面看
从前面看
从上面看
四棱锥
从左面看
从前面看
从上面看
三棱柱
从左面看
从前面看
从上面看
立体图形 从前面看 从左面看 从上面看
归纳：
立体图形 从前面看 从左面看 从上面看
例1 下图是一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从前面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？
从前面看
从左面看
从上面看
解：分别从前面、左面、上面观察这个立体图形，得到的平面图形如图所示.
知识点二
立体图形的展开图
做一做：动手把一个粉笔盒剪开铺平，看看它的展开后的形状由哪些平面图形组成？
展开
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当展开，可以展开成平面图形.这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
梯形
长方形
探究
下面是一些立体图形的展开图，用他们能围成什么样的立体图形？
提示：把它们画在一张硬纸片上，剪下
来，折叠、粘贴
正方体
圆柱
三棱柱
圆锥
长方体
6个正方形
1个长方形+2个圆
3个长方形+2个三角形
1个扇形+1个圆
6个长方形
正方体
圆柱
三棱柱
圆锥
长方体
6个正方形
1个长方形+2个圆
3个长方形+2个三角形
1个扇形+1个圆
6个长方形
正方形的展开图还能是什么样的平面图形？
“一四一”型
“二三一”型
“阶梯”型
观察：正方体相对两面在其展开图中的位置有什么特点？
相对两面不相连
正方体11种展开图
1
2
对于同一个立体图形，当我们按不同的方式展开时，得到的平面展开图是不一样的.
不是所有的立体图形都可以展开成平面图形，例如：球.
注意
例2 下列四个图形中，不是正方体的展开图的是（ ）
C
随堂演练
1.如图是一个由多个相同小正方体搭成的立体图形从上面看得到的平面图形，图中所标数字为该位置小正方体的个数，则这个立体图形从左面看得到的平面图形是（ ）
D
2.由7个棱长为1cm 的小正方体组成的立体图形如图所示，它的表面积为______cm2.
28
3.如图是一个正方体的展开图，若正方体中各相对面上的数的和均相等，则-xy的值为_____.
-9
4.如图，右面三幅图分别是从哪个方向看这个棱柱得到的？
上面
前面
左面
【选自教材P154 练习 第1题】
5. 如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来.
【选自教材P154 练习 第2题】
6.下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（ ）.
C
【选自教材P154 练习 第3题】
1. 下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 如图是一个球与三个正方体组成的几何体，则
从左面看到的平面图形是( )
B
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图是一个正方体的表面展开图，在原
来的正方体中，写有“你”字一面的对面上的
汉字是( )
D
A. 祝 B. 试 C. 顺 D. 利
返回
4. 中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手
需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙
而过，否则会被推入水池.类似地，一个几何体恰好无缝隙地
以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体
为( )
（第4题）
A. B.
C. D.
√
返回
5. 母题教材P187复习题T9 如图， 是圆锥的顶
点，是圆锥底面的直径，是 的中点.在圆
锥的侧面上过点， 嵌有一圈路径最短的金属
丝，现将圆锥侧面沿 剪开，所得圆锥的侧面
展开图是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.如图，要使图中的平面展开图按虚线折叠
成正方体后，相对面上两个数之和为0，求
的值.
【解】由展开图可知，与2相对， 与4相对，根据相对面上
两数之和为0，可得，.把， 代入
，得 .
返回
7. ［2025菏泽月考］如图所示的几何体是由9个相同的小立
方块搭成的，将小立方块①移走后，从三个不同的方向观察
所得几何体，没有发生变化的是( )
A
（第7题）
A. 从正面看和从左面看
B. 从正面看和从上面看
C. 从左面看和从上面看
D. 从正面看，从左面看和从上面看
返回
立体图形和平面图形的关系：
平面图形可以围成立体图形；
立体图形中某些部分是平面图形.
平面图形
立体图形
围成
转化
谢谢观看！

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