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人教版（2024）版数学7年级上册
第六章 几何图形初步
6.2.2.2线段的运算
1.能够运用线段的和、差关系求线段的长度;
2.理解线段等分点的意义;
3.体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
6.2.2.2 线段的运算
第1页：情境导入——线段的“组合”与“拆分”
生活思考：这些场景中，蕴含着怎样的线段关系？
- 场景1：把两支同样长的铅笔首尾相连，总长度是一支铅笔的几倍？
- 场景2：一根10cm长的彩带，剪去3cm，剩下的部分长多少？
- 场景3：建筑图纸上，梁的长度由两段组成，如何计算总长度？
引出主题：与数一样，线段也能进行“加、减”运算，今天我们就来学习线段的运算规则与方法。
核心定义：已知两条线段a和b，在同一直线上作线段AB，使AB的长度等于a的长度与b的长度之和，即AB = a + b，我们就说线段AB是线段a与线段b的和。
图形表示（三步法）：
1. 作射线AM（确定一个起始方向）；
2. 在射线AM上顺次截取AC = a，CB = b（C为AB上一点，AC与CB首尾相接）；
3. 则线段AB即为a与b的和，记为AB = AC + CB = a + b。
要点：“顺次截取”是关键，确保两条线段在同一直线、方向一致且无重叠，这样长度才能直接相加。
第2页：线段的和——概念与表示
第3页：线段的差——概念与表示
核心定义：已知两条线段a和b（a ＞ b），在同一直线上作线段AD，使AD的长度等于a的长度与b的长度之差，即AD = a - b，我们就说线段AD是线段a与线段b的差。
图形表示（三步法）：
1. 作射线AM，在射线上截取AB = a（确定较长线段的长度与位置）；
2. 在线段AB上截取DB = b（D为AB上一点，DB在AB内部，与AB共线）；
3. 则线段AD即为a与b的差，记为AD = AB - DB = a - b。
易错提醒：进行线段差运算时，必须满足“被减线段长于减线段”（a ＞ b），否则无法在线段上截取对应的长度。
例：若a = 5cm，b = 2cm，则a - b = 3cm，可在线段a上截取2cm后，剩余部分即为3cm。
第5页：基础运算例题——直接计算型
掌握线段运算的核心是“结合图形，明确线段间的和差关系”，以下是基础题型解析。
例题1：和差运算
已知线段AB = 8cm，点C在线段AB上，且AC = 3cm，求线段BC的长度。
分析：点C在AB上，AB是AC与BC的和 → BC = AB - AC。
解答：BC = 8 - 3 = 5cm。
例题2：中点相关运算
已知线段CD = 12cm，点M是CD的中点，点N是CM的中点，求线段DN的长度。
分析：先找中点分线段的关系 → CM = MD = 1/2 CD，CN = NM = 1/2 CM。
解答：① CM = 1/2 × 12 = 6cm；② CN = 1/2 × 6 = 3cm；③ DN = DC - CN = 12 - 3 = 9cm（或DN = DM + MN = 6 + 3 = 9cm）。
第6页：进阶运算例题——分类讨论型
当点的位置不确定时（如“点在直线上”而非“线段上”），需要考虑不同情况，避免漏解。
例题3：位置不确定的和差运算
已知线段AB = 6cm，线段BC = 2cm，点A、B、C在同一直线上，求线段AC的长度。
分析：点C可能在AB的延长线上，也可能在AB的反向延长线上，分两种情况讨论。
1. 情况1：C在AB延长线上（A—B—C） → AC = AB + BC = 6 + 2 = 8cm；
2. 情况2：C在AB反向延长线上（C—A—B） → AC = AB - BC = 6 - 2 = 4cm。
结论：线段AC的长度为8cm或4cm。
易错点：忽略点的位置多样性会导致漏解，解题时先画示意图，标注所有可能的位置。
第4页：线段的倍与分——特殊运算
当线段运算中出现“几倍”或“几分之几”时，可通过“重复截取”或“平分”实现，其中最常用的是“线段的中点”。
1. 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
如图，若点M是线段AB的中点，则：
- 数量关系：AM = MB = 1/2 AB，或AB = 2AM = 2MB；
- 图形特征：M在AB中间，将AB平分为两段等长线段。
2. 线段的n倍：要作线段等于线段a的n倍（n为正整数），可在射线上顺次截取n段长度均为a的线段，总长度即为n×a。
例：作线段CD = 3a，可顺次截取CE = EF = FD = a，则CD = CE + EF + FD = 3a。
第7页：尺规作图——作线段的和、差、倍
结合上节课尺规作图基础，我们可以用无刻度直尺和圆规完成线段运算的作图，确保结果准确。
1. 作线段等于a + b
1. 作射线AM；
2. 以A为圆心，a为半径画弧，交AM于C；
3. 以C为圆心，b为半径画弧，交CM延长线于B；
4. 则AB = a + b。
2. 作线段等于a - b（a ＞ b）
1. 作射线AM，以A为圆心，a为半径画弧，交AM于B；
2. 以B为圆心，b为半径画弧，交AB于D；
3. 则AD = a - b。
3. 作线段等于2a（倍长）
1. 作射线AM，以A为圆心，a为半径画弧，交AM于C；
2. 以C为圆心，a为半径画弧，交CM延长线于B；
3. 则AB = 2a。
第8页：知识梳理与方法总结
一、核心运算关系
- 和：AB = AC + CB（C在AB上，顺次截取）；
- 差：AD = AB - DB（D在AB上，a ＞ b）；
- 倍分：中点→AM = MB = 1/2 AB，n倍→顺次截取n段等长线段。
二、解题关键步骤
1. 画：根据题意画出准确图形，标注已知线段与点的位置；
2. 找：找出线段间的和差倍分关系（紧扣“点在线上”的位置特征）；
3. 算：代入已知长度计算，位置不确定时需分类讨论。
核心口诀：线段运算看位置，和是顺次加起来，差是长减短线段；中点平分等两段，位置不明分情况，画图分析不含糊。
已知线段a，请用尺规作图的方法作一条线段AB等于线段a.
a
步骤：①作直线l；
②在直线l上截取AB=a.
A
B
l
知识点一
线段的和、差
探究1：线段a和线段b的大小关系是怎样的？
a
b
a＞b
探究2：怎样通过尺规作图得到线段a和线段b的和、差关系？
a
b
步骤：①在直线上作线段AB=a；
②在AB的延长线上作线段BC=b.
a
A
B
b
C
线段a与线段b的和
线段AC就是a与b的和
记作
AC = a+b
动画展示
探究2：怎样通过尺规作图得到线段a和线段b的和、差关系？
a
步骤：①在直线上作线段AB=a；
②在线段AB上作线段BD=b.
a
A
B
b
D
线段a与线段b的差
线段AD就是a与b的差
记作
AD = a-b
设线段a＞b
b
动画展示
例1 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a-b.
a
b
解：①在直线上作线段AB=a；
②在线段AB的延长线上作线段BC=a，
则线段AC=2a；
③在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2a-b.
a
a
A
B
C
D
b
知识点二
线段的中点、等分点
探究3：已知线段a，求作线段AB=2a.
a
a
A
M
B
a
想一想：线段 AB上的点M 位于什么位置？
若点M把线段AB分为相等的两条线段AM与MB，则点M叫作线段AB的中点.
A
M
B
思考
若点M是线段AB的中点，你能得到哪些线段之间的数量关系？
若点M是线段AB的中点，则AM=______=________
MB
若点M是线段AB的中点，则AB=_______=________
2AM
2MB
线段的中点只有1个
做一做：如何找到已知线段的中点？
在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点.
探究4：类比线段的中点，想一想什么叫线段的三等分点、四等分点？
A
M
B
N
三等分点：将一条线段分成三条相等的线段的点叫作线段的三等分点.
AM=MN=NB= AB
线段的三等分点有2个
探究4：类比线段的中点，想一想什么叫线段的三等分点、四等分点？
四等分点：将一条线段分成四条相等的线段的点叫作线段的四等分点.
AM=MN=NP=PB= AB
A
M
B
N
P
线段的四等分点有3个
例2 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度．
A
B
D
C
线段AB、AD、DB、之间的数量关系
已知AB，可以求出AD或BD
已知AD，可以求出CD
例2 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度．
A
B
D
C
解：因为AB=4cm，且点D是线段AB的中点，
所以AD= = ×4=2cm，
因为点C是线段AD的中点，
所以CD= AD= ×2=1cm.
解题方法总结
1.无图无真相，没有图就先画图；
2.先把已知线段长都标在图上；
3.利用线段的和差关系、倍数关系以及已知的线段长，把能求的线段尽量先求出来，最后答案自然就出来了。
3.如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于a+2b.
解：如图所示.
【选自教材P166 练习 第2题】
解：当点 P在线段 MN 的延长线上时，如图①，MP=MN+NP=3+1=4(cm)；
当点P在线段MN上时，如图②，MP=MN-NP=3-1=2(cm).
综上所述，线段 MP 的长为 4 cm 或2 cm.
4.点M，N，P，在同一直线上，MN=3cm，NP=1cm.求线段MP的长.
【选自教材P166 练习 第3题】
习题6.2
1.如图，已知三点A，B，C，
（1）画直线AB；
（2）画射线 AC；
（3）连接 BC.
2.读下列语句，并分别画出图形:
（1）直线l经过A，B，C三点，并且点C在点A与点B之间；
（2）两条线段m与n相交于点P；
（3）P是直线a外一点，过点P有一条直线b与直线a相交于点Q；
（4）直线l，m，n 相交于点Q.
A
C
B
l
A
B
C
l
（1） 或
（2）
P
n
m
Q
b
a
（3）
P
解：如题所示：
Q
l
m
n
（4）
3.用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明______________________；在细木条上再钉一个钉子，细木条就被固定在木板上，这说明_____________________.
经过一点的直线不止一条
两点确定一条直线
4.如图，点C，D在线段AB上，且AC=CB，CD=DB.
（1）点_____是线段AB的中点，点C是线段_____的三等分点.
（2）AC是DB的几倍？AB是CD的几倍？
C
AD
解：AC是DB的2倍，AB是CD的4倍.
综合运用
5.已知线段AB，延长AB至点C，使BC= AB，D是线段AC的中点，如果DC=2，那么AB的长为（ ）
B
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
6.（1）如图（1），把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？
（2）如图（2），公园里修建了曲折迂回的桥.与修一座直的桥相比，修建弯曲的桥能对游人观赏湖面风景起什么作用？你能用所学数学知识说明其中的道理吗？
解：（1）A，B两地间的河道长度变小了
（2）可使游人更长时间地、更好地观赏湖面的风景.若修一座直的桥，则桥的路程大大缩短，即减少了游人在桥上行走的路程，其中的道理：两点之间，线段最短.
7. A，B，C是数轴上的三个点，点 A 表示数 3，且线段 AB的长为 4，C为AB的中点. 点C表示的数是多少？
解:点C表示的数是1或 5.
b
b
8.如图，已知线段a，b，c，作一条线段，使它等于a+2b-c.
A
B
C
D
E
解：如图所示，AE= a+2b-c.
c
a
拓广探索
9.（1）如图（1），一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬行到它正上方的点B处，怎样爬行路线最短？（2）如图（2），如果蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬行一圈到达点B，怎样爬行路线最短？从点 A沿圆柱侧面爬行两圈到达点 B呢？说出你的理由.
B
A
B
A
解：（1）沿从点A到点B的线段爬行路线最短.
（2）若沿圆柱侧面爬行一圈，则将圆柱的侧面按图①展开，得到一个长方形，这个长方形的长为圆柱的底面圆周长，宽为圆柱的高，沿从点A到点B的线段爬行路线最短；
若沿圆柱侧面爬行两圈，则将圆柱的侧面按图②展开，得到一个长方形，这个长方形的长为圆柱的底面圆周长的2倍，宽为圆柱的高，沿从点A到点B的线段爬行路线最短.
10.如图，两条直线相交，有一个交点. 三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律？
解：三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点.
规律:一般地，n条直线相交，最多有 个交点.
知识点1 尺规作图
1.尺规作图的工具是( )
D
A.量角器和直尺 B.刻度尺
C.刻度尺和圆规 D.无刻度的直尺和圆规
知识点2 线段的比较
（第2题）
2.［教材素材变式］用圆规比较两条线段
和 的长短（如图），下列结论正确的是( )
A
A. B.
C. D.不能确定
3.［2025郑州月考］点为线段 的延长线上的一点，则下列各式中成
立的是( )
D
A. B. C. D.
知识点3 线段的基本事实及两点间的距离
（第4题）
4.如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，
则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象
的数学道理是( )
D
A.两点之间,直线最短 B.经过一点有无数条直线
C.两点确定一条直线 D.两点之间,线段最短
5.下列说法错误的是( )
B
A.，两点间的距离为
B.，两点间的距离就是线段
C.，两点间的距离就是线段 的长度
D.， 两点间的距离是连接两点的所有线的长度的最小值
知识点4 线段的和差
6.如图，，，则 ( )
（第6题）
A
A. B. C. D.
7.如图，请根据图形填空：
（第7题）
（1）____ ____；
（2）____ ____；
（3）____ ；
（4） ____.
8.（8分）［教材P练习T变式］如图，已知线段， .求作：线段
，使得 .
解：如图，线段 就是所求作的线段.
知识点5 线段的中点、等分点及相关计算
9.如图，点在线段上，则下列条件不能确定是 中点的是( )
（第9题）
B
A. B.
C. D.
10.［2025武汉东西湖区期末］如图，，是线段上的两点，且 是
线段的中点，若，，则 的长为( )
（第10题）
A
A.14 B.13 C.12 D.11
线段
尺规作图
比较长短的方法
基本事实
两点的距离
线段的中点
作一条线段等于已知线段
作线段的和差
度量法
叠合法
两点之间，线段最短
把一条线段分成两条相等线段的点
连接两点间的线段的长度
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