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人教版（2024）版数学7年级上册
第六章 几何图形初步
6.3.1 角的概念
1.明确角的意义及其表示方法.
2.知道角的度量单位，会进行简单的单位换算.
3.了解方位角的表示方法.
6.3.1 角的概念
第1页：情境导入——生活中的“角”
观察身边的物体，这些场景中都藏着“角”的身影，你能找出来吗？
- 场景1：时钟上时针与分针形成的夹角，随时间不断变化；
- 场景2：三角尺的两个邻边组成的图形，有固定的形状；
- 场景3：打开的剪刀两刃之间、屋顶的倾斜坡面与墙面之间，都存在“角”。
思考：这些“角”有什么共同的特征？今天我们就来揭开“角”的数学面纱。
第2页：角的定义——从“静态”到“动态”
角的概念有两种表述方式，分别从不同角度描述角的本质：
1. 静态定义（构成式）
由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。
- 核心要素：两条射线、一个公共端点；
- 图形解读：两条射线是角的“边”，公共端点是角的“顶点”。
2. 动态定义（运动式）
一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
- 运动视角：起始位置的射线叫“始边”，终止位置的射线叫“终边”；
- 理解延伸：旋转的幅度越大，角的大小就越大，这为后续学习角的度量奠定基础。
两种定义的联系：静态定义是动态定义的“瞬间快照”，动态定义更能体现角的大小变化特性。
第4页：角的分类——按大小划分
根据角的终边与始边的旋转关系，可将角分为以下几类，核心区别在于“度数范围”：
1. 1. 锐角定义：大于0°且小于90°的角；
2. 特征：开口较小，如三角尺中30°、45°的角。
3. 2. 直角定义：等于90°的角；
4. 特征：两边互相垂直，常用“┐”符号标注，如课本的四个角。
5. 3. 钝角定义：大于90°且小于180°的角；
6. 特征：开口大于直角，小于平角，如时钟上4点时，时针与分针的夹角。
7. 4. 平角定义：等于180°的角；
8. 特征：终边与始边成一条直线（但不是一条射线），如12点30分时，时针与分针的夹角角。
9. 5. 周角定义：等于360°的角；
10. 特征：终边旋转一周后与始边重合，如时钟上12小时，时针旋转形成的角。
易错辨析：平角不是一条直线，周角不是一条射线，它们都有两条边，只是位置特殊（平角两边共线反向，周角两边重合）。
第5页：基础题型——角的识别与表示
通过例题巩固角的核心概念，掌握识别与表示的关键。
例题1：角的识别
如图，指出图中所有的角，并说明它们的顶点和边。
解答：
1. ∠AOB：顶点O，边OA、OB；
2. ∠BOC：顶点O，边OB、OC；
3. ∠AOC：顶点O，边OA、OC。
例题2：规范表示角
已知∠1的顶点为点P，两边分别为射线PM、PN，用三种不同的方法表示这个角。
解答：∠P、∠MPN、∠1（若图形中已标注数字1）。
例题3：角的分类判断
判断下列角的类型：35°、90°、105°、180°、360°。
解答：35°（锐角）、90°（直角）、105°（钝角）、180°（平角）、360°（周角）。
第3页：角的基本要素与表示方法
一、基本要素（缺一不可）
1. 顶点：两条射线的公共端点，用大写字母表示（如点O）；
2. 边：组成角的两条射线，分别称为角的两条边（如射线OA、射线OB）。
二、规范表示方法（四种常用形式）
表示方法
书写格式
适用场景
注意事项
1. 顶点字母表示
∠O
顶点O处只有一个角
避免顶点处多个角时使用，易混淆
2. 三边字母表示
∠AOB
任意情况，最常用
顶点字母O必须写在中间
3. 数字表示
∠1、∠2
角的数量较少时
需在角内部标注数字
4. 希腊字母表示
∠α、∠β（读“阿尔法”“贝塔”）
几何证明或复杂图形中
需在角内部标注希腊字母
示例：如图，顶点为O，边为OA、OB，可表示为∠O、∠AOB、∠1或∠α（根据标注情况选择）。
第6页：拓展思考——角的大小相关因素
思考：角的大小由什么决定？与哪些因素无关？
1. 决定因素：角的两边张开的幅度（即终边与始边的旋转角度）
实验感知：用两根硬纸条做成活动角，固定顶点，张开幅度越大，角越大；张开幅度越小，角越小。
2. 无关因素：角的两边的长度
原理：角的两边是射线，射线可以无限延伸，因此边长不影响角的大小。例如，用放大镜看一个30°的角，角的大小仍为30°。
应用：比较两个角的大小时，只需关注它们张开的幅度，无需考虑边的长短。
第7页：知识梳理与方法总结
一、核心概念
- 定义：静态（两射线+公共端点）、动态（射线旋转）；
- 要素：顶点（1个）、边（2条射线）；
- 大小：由两边张开幅度决定，与边长无关。
二、表示方法
牢记“三边字母优先用，顶点字母单角用，数字希腊辅助用”，确保表示规范不混淆。
三、分类体系（按度数）
0°＜锐角＜90° → 直角=90° → 90°＜钝角＜180° → 平角=180° → 周角=360°
核心口诀：角有顶点和两边，静态构成动态转；表示方法有四种，顶点居中记心中；大小只看张开度，分类全凭度数定。
问题
观察下面的实物，你发现这些实物能抽象出什么样的几何图形？
有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，
这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边.
公共端点
——角的顶点
两条射线
——角的边
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
始边
终边
O
A
B
如果射线OB继续旋转，还会形成什么角呢？
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角.
O
A
B
O
A
(B)
当终边又和始边重合时，所成的角叫作周角.
归纳：角的概念
(1)静态：角由两条具有公共端点的射线组成.
(2)动态：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
注意：(1)顶点、两边是构成角的两个要素：
每个角都有两条边，这两条边都是射线；
角的两边有公共端点，即顶点.
(2)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关.
分析：若两条射线没有公共点，则不能组成角；
角的两边为射线，需将射线绕端点旋转，才能形成角；
角的大小只与构成角的两边的射线张开幅度有关；
平角和周角都是角，平角的始边和终边互为反向延长线，
周角的终边和始边重合，平角不是直线，周角不是射线.
例1 给出下列说法：①两条射线组成的图形是角；②将一条线段绕它的一个端点旋转得到的图形是角；③把一个角放在放大镜下观察，角的度数不变；④平角是一条直线，周角是一条射线.其中，正确说法的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
角的表示：
∠BAC 或∠A
B
C
A
α
1
∠α
∠1
注意：用数字或希腊字母表示角时，一定要在图形中用角弧标出.
注意：必须把顶点字母放在中间
A
例2
(1)用适当的方式分别表示图中的每个角.
解：∠BAC ，∠BAD ，∠CAD.
(2)图中，∠BAC，∠CAD和∠BAD能用∠A来表示吗？
解：不能.
B
D
A
C
当两个以上的角共用一个顶点时，不能用一个大写字母表示．
归纳：
方法 图示 记法 适用范围
用三个大写字母
用一个大写字母
用一个希腊字母
用一个数字 任何角
顶点处只有一个角
只能表示单独一个角
O
A
B
O
∠AOB或∠BOA
∠O
∠ α
α
1
∠ 1
角的表示方法总结
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位.
如图，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；
把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′；
把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，
记作1″.
1周角＝　　　°；1平角＝　　　°.
360
180
1°＝　　　′；1′＝　　　″.
60
60
∠α的度数是48度56分37秒，
记作：∠α=48°56′37″.
角的度、分、秒是60进制，这和计量时间的时、分、秒是一样的.
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.
此外，还有其他度量角的单位制.
例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，
在军事上经常使用的角的密位制，等等.
归纳：角的换算:
(1)高级单位化低级单位：1°=60′，1′=60″，1°=3 600″.
(2)低级单位化高级单位：1′=()°，1″=()′，1″=()°．
计算：
(1)1.45°等于多少分？等于多少秒？
(2)1 800″ 等于多少分？等于多少度？
解：(1)60′×1.45＝87′，
即1.45°＝87′＝5 220″；
(2)()′×1 800＝30′ ，
60″×87＝5 220″，
()°×30 ＝0.5°，
即1 800″＝30′＝0.5°.
例3
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东 60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D，仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线.
北
A
O
西
南
东
60°
新知探究
知识点4 方向角
解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间.
射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
同理可画出：
表示货轮C（南偏西10°）、
海岛D（西北(北偏西45°)）
的方向的射线.
北
A
O
西
南
东
60°
40°
B
10°
C
45°
D
新知探究
知识点4 方向角
在航行、测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.
“北偏东30°”和“南偏西60°”是用来表示方向的角，叫作方向角.
通常以正南或正北为基准，配以偏东或偏西来描述方向.
新知探究
知识点4 方向角
注意：
(1)方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西；
(2)用角表示的四个特殊方向：
东北方向(北偏东45°)、西北方向(北偏西45°)、
东南方向(南偏东45°)、西南方向(南偏西45°).
知识点1 角的定义和表示方法
1.下列说法正确的是( )
C
A.由两条射线组成的图形叫作角
B.角的大小与角的两边长度有关
C.角的两边是两条射线
D.用放大镜看一个角,这个角的度数会变大
2. 如图是平板电脑支架侧面的平面示意图，其中 还可
以表示为( )
B
A. B. C. D.
3.下列4个图形中,能用,, 三种方法表示同一角的图形是
( )
B
A. B. C. D.
4.［教材P练习T 变式］请将图中的角用不同方法表示出来，并填写
下表：
表示方法1 ____ _______ ____
表示方法2 _______ ________________
（或）
知识点2 角的度量与换算
5.下列说法正确的是( )
C
A.平角就是一条直线
B.小于平角的角是钝角
C.平角的两条边在同一条直线上
D.周角的终边与始边重合，所以周角的度数是
6.下列各角中，为锐角的是( )
B
A.平角 B.周角 C.直角 D. 周角
7.计算：
（1）___________ ；
（2）____ ；
（3）__________ ；
（4）_____ ；
（5）____ ________ .（共9空，共18分）
60
3 600
75
105
1.75
15.5
34
10
48
知识点3 方向角
8.嘉嘉一家去赵州桥参观.如图，嘉嘉站在点 处，赵州桥
在点处，则从点看点 的方向是( )
A
A.南偏东 B.南偏东 C.北偏西 D.北偏西
9.［2025西安期末］如图，货轮 在航行过程中，发现航
标船在其南偏东 的方向上，那么货轮 相对于航标
船 的方向是( )
A
A.北偏西 B.北偏西 C.南偏东 D.南偏西
10.（12分）［教材 例1变式］在图中画出下列方向的射线.
（1）射线南偏东 ；
（2）射线北偏东 ；
（3）射线 西南方向.
解：如图所示.
知识点4 钟面角
11.钟面上，分针每小时旋转_____ ，每分钟旋转___ ；时针每小时旋
转____ ，每分钟旋转____ .
360
6
30
0.5
角的表示方法：
课堂小结
角
角的概念：
角由两条具有公共端点的射线组成.
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
角的度量和换算：
单位：度、分、秒. 1°＝60′，1′＝60″ .
方向角
谢谢观看！

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