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人教版（2024）版数学7年级上册
第六章 几何图形初步
6.3.2 角的比较与运算
1.类比线段的大小、和与差、中点，学习角的比较、角的加与减、角平分线，体会类比等思维方式.
2.理解角的大小、角的加与减、角平分线的意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述.
3.利用已有知识解决新问题，培养数感.
6.3.2 角的比较与运算
第1页：复习衔接——温故知新
回顾旧知，为新知铺垫：
- 角的定义：由公共端点的两条射线组成（静态），或射线绕端点旋转形成（动态）；
- 角的要素：顶点、两条边（射线）；
- 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角（按度数划分）。
引入新知：线段有比较与运算的方法，角作为几何基本图形，同样可以进行比较和运算。今天我们就来探索角的比较技巧与运算规则。
第8页：知识梳理与方法总结
一、角的比较方法
方法
核心操作
优点
叠合法
顶点重合、一边重合，看另一边位置
直观，无需测量工具
度量法
量角器测度数，比较数值
精确，可量化角度差
二、角的运算核心
- 和差：∠AOB=∠AOC±∠COB（根据C的位置判断“+”或“-”）；
- 倍分：角平分线→∠AOC=∠COB=1/2∠AOB；
- 关键：先画图形，明确角的组成关系，位置不确定时分类讨论。
核心口诀：角的比较有两法，叠合度量都靠它；和差运算看位置，平分线来分等角；尺规作图复制角，圆规作用别忘啦。
第2页：角的比较——核心方法（一）叠合法
类比线段的叠合法，角的叠合核心是“顶点重合、一边重合，看另一边位置”。
操作步骤（以比较∠AOB和∠COD为例）：
1. 顶点重合：将∠COD的顶点O与∠AOB的顶点O重合；
2. 一边重合：使∠COD的边OC与∠AOB的边OA重合，且两边都在OA的同侧；
3. 观察判断：根据∠COD的另一边OD与∠AOB的另一边OB的位置关系确定大小。
三种情况：
- 若OD与OB重合 → ∠AOB = ∠COD；
- 若OD在∠AOB内部 → ∠AOB ＞ ∠COD；
- 若OD在∠AOB外部 → ∠AOB ＜ ∠COD。
关键：叠合时确保“顶点对齐、一边对齐、同侧放置”，避免因位置错误导致判断偏差。
第3页：角的比较——核心方法（二）度量法
利用量角器测量角的度数，通过比较度数大小确定角的大小，这是最直接的量化方法。
操作步骤：
1. 点对齐：将量角器的中心与角的顶点重合；
2. 线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边重合；
3. 读度数：角的另一条边所对应的量角器刻度，即为角的度数。
比较规则：度数大的角大，度数小的角小，度数相等则角相等。
实例：测量得∠1=35°，∠2=50°，则∠1＜∠2；∠3=90°，∠4=90°，则∠3=∠4。
量角器使用提醒：注意区分内圈刻度与外圈刻度，当角的边与内圈0°刻度线重合时，读内圈度数，反之读外圈。
第4页：角的运算——和与差
角的和差运算与线段类似，核心是“结合图形，明确角之间的组成关系”。
1. 角的和
在∠AOB的内部作射线OC，那么∠AOB就是∠AOC与∠COB的和，记为：∠AOB = ∠AOC + ∠COB。
理解：将∠AOC与∠COB“拼接”在一起，就组成了∠AOB。
2. 角的差
若∠AOB = ∠AOC + ∠COB（且∠AOB＞∠AOC，∠AOB＞∠COB），则其中一个角是另外两个角的差，记为：∠AOC = ∠AOB - ∠COB 或 ∠COB = ∠AOB - ∠AOC。
实例：已知∠AOB=80°，∠AOC=30°，且OC在∠AOB内部，则∠COB=80°-30°=50°。
通过例题巩固角的核心概念，掌握识别与表示的关键。
第5页：角的运算——倍与分（角平分线）
当角的运算涉及“几倍”或“几分之几”时，最常用的工具是“角平分线”。
1. 角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
如图，若OC是∠AOB的平分线，则：
- 数量关系：∠AOC = ∠COB = 1/2 ∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB；
- 图形特征：OC在∠AOB内部，将∠AOB平分为两个等角。
2. 角的n倍：要作一个角等于已知角∠α的n倍，可通过“顺次作n个相等的∠α”实现，总角度为n×∠α的度数。
实例：∠α=20°，则2∠α=40°，可作∠β=∠α+∠α=40°。
示例：如图，顶点为O，边为OA、OB，可表示为∠O、∠AOB、∠1或∠α（根据标注情况选择）。
第6页：基础例题——和差与角平分线运算
结合图形分析角的关系，是解题的核心。
例题1：和差运算
已知∠AOB=120°，射线OC在∠AOB外部，∠BOC=30°，求∠AOC的度数。
分析：OC在外部，分两种情况——OC在OB外侧或OA外侧。
解答：① 若OC在OB外侧：∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°；② 若OC在OA外侧：∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-30°=90°。结论：∠AOC=150°或90°。
例题2：角平分线运算
已知∠COD=100°，OE是∠COD的平分线，OF是∠COE的平分线，求∠DOF的度数。
分析：先利用角平分线求等分角的度数，再计算和差。
解答：① ∠COE=∠EOD=1/2×100°=50°；② ∠COF=1/2×∠COE=25°；③ ∠DOF=∠COD-∠COF=100°-25°=75°（或∠DOF=∠EOD+∠EOF=50°+25°=75°）。
思考：角的大小由什么决定？与哪些因素无关？
1. 决定因素：角的两边张开的幅度（即终边与始边的旋转角度）
实验感知：用两根硬纸条做成活动角，固定顶点，张开幅度越大，角越大；张开幅度越小，角越小。
2. 无关因素：角的两边的长度
原理：角的两边是射线，射线可以无限延伸，因此边长不影响角的大小。例如，用放大镜看一个30°的角，角的大小仍为30°。
应用：比较两个角的大小时，只需关注它们张开的幅度，无需考虑边的长短。
第7页：尺规作图——作一个角等于已知角
类比线段的尺规作图，用无刻度直尺和圆规可精准作出与已知角相等的角。
已知：∠AOB，作∠A'O'B'=∠AOB。
作图步骤：
1. 作射线O'A'；
2. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
3. 以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
4. 以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第3步所画弧交于点D'；
5. 作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求（与∠AOB相等）。
关键：圆规的作用是“复制”角的两边张开幅度，确保两个角的度数相等。
一、核心概念
- 定义：静态（两射线+公共端点）、动态（射线旋转）；
- 要素：顶点（1个）、边（2条射线）；
- 大小：由两边张开幅度决定，与边长无关。
二、表示方法
牢记“三边字母优先用，顶点字母单角用，数字希腊辅助用”，确保表示规范不混淆。
三、分类体系（按度数）
0°＜锐角＜90° → 直角=90° → 90°＜钝角＜180° → 平角=180° → 周角=360°
核心口诀：角有顶点和两边，静态构成动态转；表示方法有四种，顶点居中记心中；大小只看张开度，分类全凭度数定。
角的表示方法：
①大写英文字母
②小写希腊字母
③数字
O
A
B
α
1
∠AOB或∠BOA
∠α
∠1
A
B
C
D
回顾：已知线段AB，CD，你有那些办法比较它们的大小？
方法一：目测法
方法二：度量法
方法三：叠合法
想一想：类比比较线段的方法，如何比较两个角的大小？
O
A
B
O'
A'
B'
方法一：目测法
∠AOB＞∠A'O'B'
如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？
知识点一
角的比较
方法二：度量法
∠AOB＞∠A'O'B'
O
A
B
O'
A'
B'
70°
40°
如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？
方法三：叠合法
O
A
B
O'
A'
B'
将两个角的顶点重合，把它们一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小.
如何比较∠AOB与∠A'O'B'的大小？
O
A
B
（O'）
（A'）
B'
O
A
B
（O'）
（A'）
（B'）
O
A
B
（A'）
（O'）
B'
∠AOB＞∠A'O'B'
∠AOB＜∠A'O'B'
∠AOB=∠A'O'B'
①O B 在∠AOB内部
②O B 在∠AOB外部
③O B 与OB重合
O
A
B
（O'）
（A'）
B'
O
A
B
（O'）
（A'）
（B'）
O
A
B
（A'）
（O'）
B'
两个角的三种大小关系：
∠AOB＞∠A'O'B'
∠AOB＜∠A'O'B'
∠AOB=∠A'O'B'
大于
小于
等于
知识点二
角的和、差
O
A
C
B
思考：类比两条线段的和与差，你能结合右图说明什么是两个角的和与差吗？
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，
记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；
O
A
C
B
∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，
记作∠AOB=∠AOC－∠BOC；
∠BOC是∠AOC与∠AOB的差，
记作∠BOC=∠AOC－∠AOB.
O
A
C
B
探究：借助一副三角尺的角，结合角的和差运算，可以画出那些度数的角？
90°
90°
60°
30°
45°
45°
画75°的角
75°
画15°的角
75°= 45°+30°
15°= 60°-45°
15°= 45°-30°
15°
15°
120°
105°
135°
150°
用类似的方法，小明同学画出了其它度数的角， 你知道他画出来的是多少度数的角吗？
知识点三
角度的四则运算
加法：
①度与度、分与分、秒与秒分别相加；
②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.
减法：
①度与度、分与分、秒与秒分别相减；
②从低位算起，秒相减不够向分借，分相减不够向度借，借1作60.
例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数.
A
C
O
B
分析：AB是直线
∠AOB=180°
∠AOB=∠AOC（已知）+∠BOC
即可得∠BOC的度数
例2 如图，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17′，求∠BOC的度数.
A
C
O
B
解：由题意可知，∠AOB是平角，
∠AOB=∠AOC+∠BOC，
所以∠BOC =∠AOB-∠AOC
=180°-53°17′
=126°43′.
先将180°化为179°60′再进行减法运算
乘法：
①度、分、秒分别与倍数相乘；
②秒逢60向分进1，分逢60向度进1.
除法：
①度、分、秒分别与除数相除；
②从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化.
例3 把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？
360°÷7
= 51°+3°÷7
=51°+180′÷7
≈51°26′
解：
答：每份是约51°26′的角.
知识点四
角的平分线
线段中点的定义：
点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点.
思考：类比线段的中点，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间有怎样的关系？
角平分线的定义：
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
几何语言：
所以OB平分∠AOC.
（角的平分线的定义）
如图，因为
角平分线的性质：
因为OB平分∠AOC，
所以
∠AOC＝2∠1＝2∠2.
注意：角平分线满足的三个条件
①从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分.
类似地，还有角的三等分线、四等分线等.
因为射线OB，OC是∠AOD的三等分线，
三等分线：
所以 .
因为射线OB，OC，OD是∠AOE的四等分线，
四等分线：
所以∠1=∠2=∠3=∠4= ∠AOE
探究：如何在一张半透明的纸上通过折纸作角的平分线？
4.按图填空.
（1）∠AOB+∠BOC= _______；
（2）∠AOC+∠COD= _______；
（3）∠BOD-∠COD= _______；
（4）∠AOD-_______=∠AOB.
【选自教材P174 练习 第2题】
3.填空题.
（1）如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1_____∠3；
（2）如果∠1＞∠2，∠2＞∠3，则∠1_____∠3.
【选自教材P174 练习 第1题】
O
A
B
C
D
=
＞
∠AOC
∠AOD
∠BOC
∠BOD
5.计算：
（1）48°39′+67°31′ （2）41°12′-11°27′
（3）21°17′×5 （4）180°÷11（精确到分）
解： 48°39′+67°31′
=115°70′
=116°10′
解： 41°12′-11°27′
=40°72′-11°27′
=29°45′
解： 21°17′×5
=21°×5+17′×5
=105°+85′
=106°25′
解： 180°÷11
≈16°22′
【选自教材P174 练习 第3题】
【选自教材P176 练习 第3题】
6. 如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？要使每份中的角是15°，这个蛋糕应等分成多少份？
解：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是 45°；要使每份中的角是 15°，这个蛋糕应等分成 24 份.
【选自教材P175 练习 第1题】
7. 如图，О是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′，求∠AOD的度数.
解：因为OC是∠AOB的平分线，
所以
所以∠AOD=∠AOC-∠COD
=90°-31°28′=58°32′
【选自教材P176 练习 第2题】
（第1题）
1. ［2024广东］如图，一把直尺、
两个含 角的三角尺拼接在一起，
则 的度数为( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 若， ，
，则( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】因为 ，所以
，所以 .
返回
（第3题）
3. 如图，已知 ,
,那么 ( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 用一副三角尺可以画一些指定度数的角.下面的角中，不
能用一副三角尺直接画出的是( )
C
A. B. C. D.
返回
5. 如图所示，由正方形
组成的网格中，点，，，， 是网
格线的交点，那么与 的大小
（第5题）
【点拨】如图,连接 ，由题意得
.因为 ，所
以 .
关系是___.（填“ ”“ ”或“ ”）
返回
角的比较与运算
两个角的三种大小关系
角度的四则运算
角的和、差
角的平分线
大于、小于、相等
加、减、乘、除
角平分线的定义与性质
角的三等分线、角的四等分线
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