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人教版（2024）版数学7年级上册
第六章 几何图形初步
6.3.3 余角和补角
1.认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.
2.通过简单的推理，归纳出余角和补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
第1页：复习衔接——温故知新第1页：情境引入——特殊的角关系
观察思考：这些生活与数学场景中，角之间存在怎样的特殊联系？
- 场景1：三角尺中，30°角与60°角拼在一起是90°直角，45°角与45°角拼在一起也能组成直角；
- 场景2：平角的两条边是直线，若在平角内部画一条射线，会把平角分成两个角，这两个角的和是180°；
- 场景3：时钟上6点时，时针与分针成180°平角，若分针转动30°，时针与分针的夹角和转动的角有什么关系？
引出主题：像这样和为90°或180°的角，分别具有特殊的名称——余角和补角，今天我们就来学习它们的定义、性质及应用。
回顾旧知，为新知铺垫：
- 角的定义：由公共端点的两条射线组成（静态），或射线绕端点旋转形成（动态）；
- 角的要素：顶点、两条边（射线）；
- 角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角（按度数划分）。
引入新知：线段有比较与运算的方法，角作为几何基本图形，同样可以进行比较和运算。今天我们就来探索角的比较技巧与运算规则。
第8页：知识梳理与方法总结第2页：核心定义——余角与补角
余角和补角的定义核心是“角度和”，需明确区分两种角的度数特征：
1. 余角的定义
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称“互余”。
- 表述规范：若∠1 + ∠2 = 90°，则∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角（“互为”体现双向关系）；
- 实例：35°角与55°角互余，因为35°+55°=90°；90°角没有余角（无法找到另一个角与它相加得90°）。
2. 补角的定义
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称“互补”。
- 表述规范：若∠α + ∠β = 180°，则∠α与∠β互为补角；
- 实例：120°角与60°角互补，因为120°+60°=180°；180°角没有补角，0°角也没有补角。
易错提醒：“互余”“互补”是两个角之间的关系，不能单独说某个角是“余角”或“补角”，必须成对出现。
一、角的比较方法
方法
核心操作
优点
叠合法
顶点重合、一边重合，看另一边位置
直观，无需测量工具
度量法
量角器测度数，比较数值
精确，可量化角度差
二、角的运算核心
- 和差：∠AOB=∠AOC±∠COB（根据C的位置判断“+”或“-”）；
- 倍分：角平分线→∠AOC=∠COB=1/2∠AOB；
- 关键：先画图形，明确角的组成关系，位置不确定时分类讨论。
核心口诀：角的比较有两法，叠合度量都靠它；和差运算看位置，平分线来分等角；尺规作图复制角，圆规作用别忘啦。
第2页：角的比较——核心方法（一）叠合法第3页：余角与补角的性质
通过推理可得出余角和补角的重要性质，这些性质是解决几何问题的常用依据：
性质1：同角（等角）的余角相等
推理过程：已知∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°（∠1是同角），则∠2 = 90°-∠1，∠3 = 90°-∠1，因此∠2 = ∠3；若∠1 = ∠4，且∠1 + ∠2 = 90°，∠4 + ∠5 = 90°（等角的余角），则∠2 = ∠5。
性质2：同角（等角）的补角相等
推理过程：已知∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠C = 180°（∠A是同角），则∠B = 180°-∠A，∠C = 180°-∠A，因此∠B = ∠C；若∠A = ∠D，且∠A + ∠B = 180°，∠D + ∠E = 180°（等角的补角），则∠B = ∠E。
记忆口诀：同角等角余补等，核心就是“减同一个（或相等）的角，结果相等”。
类比线段的叠合法，角的叠合核心是“顶点重合、一边重合，看另一边位置”。
操作步骤（以比较∠AOB和∠COD为例）：
1. 顶点重合：将∠COD的顶点O与∠AOB的顶点O重合；
2. 一边重合：使∠COD的边OC与∠AOB的边OA重合，且两边都在OA的同侧；
3. 观察判断：根据∠COD的另一边OD与∠AOB的另一边OB的位置关系确定大小。
三种情况：
- 若OD与OB重合 → ∠AOB = ∠COD；
- 若OD在∠AOB内部 → ∠AOB ＞ ∠COD；
- 若OD在∠AOB外部 → ∠AOB ＜ ∠COD。
关键：叠合时确保“顶点对齐、一边对齐、同侧放置”，避免因位置错误导致判断偏差。
第3页：角的比较——核心方法（二）度量法第4页：基础题型——余角与补角的计算
利用余角和补角的定义，可直接计算未知角的度数，解题关键是找准“和为90°”或“和为180°”的关系。
例题1：直接计算余角/补角
已知∠α = 38°，求它的余角和补角的度数。
分析：余角=90°-∠α，补角=180°-∠α。
解答：余角=90°-38°=52°；补角=180°-38°=142°。
例题2：已知余角/补角关系求角
一个角的补角比它的余角大多少度？若一个角的补角是它的3倍，求这个角的度数。
分析：设这个角为x°，则补角为(180-x)°，余角为(90-x)°，根据关系列等式。
解答：① 补角-余角=(180-x)-(90-x)=90°，即补角比余角大90°；② 由180-x=3x，解得x=45°，这个角为45°。
利用量角器测量角的度数，通过比较度数大小确定角的大小，这是最直接的量化方法。
操作步骤：
1. 点对齐：将量角器的中心与角的顶点重合；
2. 线对齐：将量角器的0°刻度线与角的一条边重合；
3. 读度数：角的另一条边所对应的量角器刻度，即为角的度数。
比较规则：度数大的角大，度数小的角小，度数相等则角相等。
实例：测量得∠1=35°，∠2=50°，则∠1＜∠2；∠3=90°，∠4=90°，则∠3=∠4。
量角器使用提醒：注意区分内圈刻度与外圈刻度，当角的边与内圈0°刻度线重合时，读内圈度数，反之读外圈。
第4页：角的运算——和与差第5页：进阶题型——利用性质解决问题
当题目中出现多个角的互余、互补关系时，利用“同角（等角）的余角/补角相等”可快速推导角的关系。
例题3：利用性质证明角相等
如图，∠AOB = ∠COD = 90°，求证：∠AOC = ∠BOD。
证明：∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠AOC + ∠COB = 90°（∠AOC与∠COB互余）；又∵ ∠COD = 90°，∴ ∠BOD + ∠COB = 90°（∠BOD与∠COB互余）；根据“同角的余角相等”，可得∠AOC = ∠BOD。
例题4：综合应用
已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，∠1 = 40°，求∠3的度数。
分析：先由∠1与∠2互余求∠2，再由∠2与∠3互补求∠3。
解答：∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠1=40°，∴ ∠2=50°；又∵ ∠2 + ∠3=180°，∴ ∠3=180°-50°=130°。
角的和差运算与线段类似，核心是“结合图形，明确角之间的组成关系”。
1. 角的和
在∠AOB的内部作射线OC，那么∠AOB就是∠AOC与∠COB的和，记为：∠AOB = ∠AOC + ∠COB。
理解：将∠AOC与∠COB“拼接”在一起，就组成了∠AOB。
2. 角的差
若∠AOB = ∠AOC + ∠COB（且∠AOB＞∠AOC，∠AOB＞∠COB），则其中一个角是另外两个角的差，记为：∠AOC = ∠AOB - ∠COB 或 ∠COB = ∠AOB - ∠AOC。
实例：已知∠AOB=80°，∠AOC=30°，且OC在∠AOB内部，则∠COB=80°-30°=50°。
通过例题巩固角的核心概念，掌握识别与表示的关键。
第5页：角的运算——倍与分（角平分线）第6页：方位角中的余补角应用
在方位角问题中，常利用余角和补角的关系计算角度，需先明确“上北下南，左西右东”的方位原则。
核心方位关系：
- 正北与正东、正北与正西、正南与正东、正南与正西的夹角均为90°（互余关系的基础）；
- 正北与正南、正东与正西的夹角均为180°（互补关系的基础）。
例题5：方位角计算
如图，点A在点O的北偏东30°方向，点B在点O的北偏西40°方向，求∠AOB的度数及点A相对于点O的补角方位。
解答：① 正北方向为射线OC，则∠AOC=30°，∠BOC=40°，∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°；② 点A的补角方位：与北偏东30°成180°的方向，为南偏西30°。
当角的运算涉及“几倍”或“几分之几”时，最常用的工具是“角平分线”。
1. 角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
如图，若OC是∠AOB的平分线，则：
- 数量关系：∠AOC = ∠COB = 1/2 ∠AOB，或∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB；
- 图形特征：OC在∠AOB内部，将∠AOB平分为两个等角。
2. 角的n倍：要作一个角等于已知角∠α的n倍，可通过“顺次作n个相等的∠α”实现，总角度为n×∠α的度数。
实例：∠α=20°，则2∠α=40°，可作∠β=∠α+∠α=40°。
示例：如图，顶点为O，边为OA、OB，可表示为∠O、∠AOB、∠1或∠α（根据标注情况选择）。
第6页：基础例题——和差与角平分线运算第7页：知识梳理与方法总结
一、核心定义（牢记度数和）
类型
角度和关系
关键提醒
余角
两个角和为90°
仅锐角有余角，“互为”体现双向性
补角
两个角和为180°
锐角、直角、钝角都可能有补角
二、重要性质（解题核心）
- 同角（等角）的余角相等；
- 同角（等角）的补角相等。
三、解题步骤
1. 找：找出题目中互余或互补的角的关系；
2. 列：根据定义或性质列出角度等式；
3. 算：代入已知角度计算未知角，或推导角的关系。
核心口诀：余角和为九十度，补角一百八十整；同角等角余补等，性质应用证相等；解题先找角关系，列等式来算分明。
结合图形分析角的关系，是解题的核心。
例题1：和差运算
已知∠AOB=120°，射线OC在∠AOB外部，∠BOC=30°，求∠AOC的度数。
分析：OC在外部，分两种情况——OC在OB外侧或OA外侧。
解答：① 若OC在OB外侧：∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°；② 若OC在OA外侧：∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°-30°=90°。结论：∠AOC=150°或90°。
例题2：角平分线运算
已知∠COD=100°，OE是∠COD的平分线，OF是∠COE的平分线，求∠DOF的度数。
分析：先利用角平分线求等分角的度数，再计算和差。
解答：① ∠COE=∠EOD=1/2×100°=50°；② ∠COF=1/2×∠COE=25°；③ ∠DOF=∠COD-∠COF=100°-25°=75°（或∠DOF=∠EOD+∠EOF=50°+25°=75°）。
思考：角的大小由什么决定？与哪些因素无关？
1. 决定因素：角的两边张开的幅度（即终边与始边的旋转角度）
实验感知：用两根硬纸条做成活动角，固定顶点，张开幅度越大，角越大；张开幅度越小，角越小。
2. 无关因素：角的两边的长度
原理：角的两边是射线，射线可以无限延伸，因此边长不影响角的大小。例如，用放大镜看一个30°的角，角的大小仍为30°。
应用：比较两个角的大小时，只需关注它们张开的幅度，无需考虑边的长短。
第7页：尺规作图——作一个角等于已知角
类比线段的尺规作图，用无刻度直尺和圆规可精准作出与已知角相等的角。
已知：∠AOB，作∠A'O'B'=∠AOB。
作图步骤：
1. 作射线O'A'；
2. 以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
3. 以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
4. 以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第3步所画弧交于点D'；
5. 作射线O'B'，则∠A'O'B'即为所求（与∠AOB相等）。
关键：圆规的作用是“复制”角的两边张开幅度，确保两个角的度数相等。
一、核心概念
- 定义：静态（两射线+公共端点）、动态（射线旋转）；
- 要素：顶点（1个）、边（2条射线）；
- 大小：由两边张开幅度决定，与边长无关。
二、表示方法
牢记“三边字母优先用，顶点字母单角用，数字希腊辅助用”，确保表示规范不混淆。
三、分类体系（按度数）
0°＜锐角＜90° → 直角=90° → 90°＜钝角＜180° → 平角=180° → 周角=360°
核心口诀：角有顶点和两边，静态构成动态转；表示方法有四种，顶点居中记心中；大小只看张开度，分类全凭度数定。
O
A
C
B
你能说说图中角的和差关系吗？
∠AOC=∠AOB+_______
∠AOB=∠AOC-_______
∠BOC=∠AOC-_______
∠BOC
∠BOC
∠AOB
推进新课
知识点一
余角和补角的概念
探究1：图中∠A与∠B有怎样的数量关系？
∠A+∠B=90°
A
B
C
A
B
C
探究2：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1.∠1与∠2有什么数量关系？
∠1+∠2=90°
2.∠3与∠4有什么数量关系？
∠3+∠4=180°
余角的概念
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角.
如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
∠1和∠2互为余角
∠1+∠2=90°
（∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1 ）
补角的概念
如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角.
如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.
∠3和∠4互为补角
∠3+∠4=180°
（∠3=180°-∠4或∠4=180°-∠3 ）
注意：
(1)余(补)角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关,且它们是成对出现的,单独的一个角或两个以上的角不能称为余(补)角.
(2)若两个角互余,则这两个角一定都是锐角;若两个角互补，则这两个角可能都是直角,也可能是一个锐角、一个钝角.
知识点二
余角、补角的性质
思考1：如图，∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？
解：因为∠1与∠2互为余角，
所以∠2＝ 90°-∠1，
又∠1与∠3互为余角，
所以∠3＝ 90°-∠1，
根据等式的性质，∠2=∠3.
同角的余角相等
思考2：已知：∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
解：因为∠1与∠2互为余角，
所以∠2＝ 90°-∠1，
又∠3与∠4互为余角，
所以∠4＝ 90°-∠3，
因为∠1=∠3
根据等式的性质，∠2=∠4.
等角的余角相等
思考3：如图，如果∠1与∠2，∠3都互补，那么∠2与∠3的大小有什么关系？
解：因为∠1与∠2互为补角，
所以∠2＝ 180°-∠1，
又∠1与∠3互为补角，
所以∠3＝ 180°-∠1，
根据等式的性质，∠2=∠3.
同角的补角相等
2
解：因为∠1与∠2互为补角，
所以∠2＝ 180°-∠1，
又∠3与∠4互为补角，
所以∠4＝ 180°-∠3，
因为∠1=∠3
根据等式的性质，∠2=∠4.
思考4：已知：∠1与∠2互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？
等角的补角相等
归纳：
类型 性质 数学语言
余角
补角
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
①如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
那么∠2＝∠3；
②如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，
且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4
①如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，
那么∠2＝∠3；
②如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，
且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4
例4 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
分析：
找90°
点A，O，B在同一直线上
平角180°
角平分线
两个角互为余角
解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OC分别平分∠AOC和∠BOC，所以
所以，∠COD和∠COE互为余角.
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
3.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
【选自教材P177 练习 第1题】
解：互为余角的角是 10°和 80°、30°和 60°，互为补角的角是10°和 170°、30°和 150°、60°和 120°、80°和 100°.
【选自教材P177 练习 第2题】
4. 一个角是70°39'，求它的余角和补角.
解：它的余角是 19°21′，补角是 109°21′.
5. ∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
解：设∠α= x.则 3x=180°-x，解得 x=45°.所以∠α是 45°
【选自教材P177 练习 第3题】
6.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？
解：先将其一边 OA 反向延长为 OC，便可测出∠BOC 的度数，而∠AOB与∠BOC互为补角，故∠AOB=180°-∠BOC
C
【选自教材P177 练习 第4题】
习题6.3
1.图中以 OC 为边的角有几个？请把它们表示出来.
解：以 OC 为边的角有3个，分别是∠COD，∠BOC，∠AOC.
2.判断题.
（1）两条射线组成的图形叫作角；
（2）平角是一条直线；
（3）互补且相等的两个角都是直角；
（4）一个锐角的补角比这个角的余角大90°；
（5）在同一平面内，∠AOB=60°，∠COB=30°，则∠AOC=90°.
×
×
×
√
√
3.填空题.
（1）0.4°=_______′；
（2）12″=______′；
（3）57°31′+17°39′=______°______′；
（4）25°36′×4=______°______′；
（5）46.8°÷6=_____°=______°______′
24
0.2
75
10
102
24
7.8
7
48
4.一个角的补角是 150°，这个角的余角是多度？
解:这个角的余角是 60°.
5.按照上北下南、左西右东的规定，画出表示东、南、西、北的十字线，然后在图上画出表示下列方向的射线：
（1）北偏西30°；（2）南偏东75°；
（3）北偏东40°；（4）西南 （南偏西 45°）.
解：如图所示（1）射线 OA；
（2）射线 OB；
（3）射线 OC；
（4）射线 OD.
6.（1）时钟的时针1h旋转多少度？
（2）时钟的分针1min旋转多少度？
（3）3时25分，时钟的时针与分针所成的角是多少度？
解：（1）30°；（2）6°；（3）47.5°.
7.如图，∠AOC=∠BOD=90°.比较∠AOB 与∠COD的大小，并说明理由.
解：∠AOB=∠COD.理由如下:
因为∠AOC=∠BOD，
所以∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，
即∠AOB=∠COD.
8.如图，∠COD=35°，OC平分∠AOB，OD 平分∠AOC.求∠AOB 的度数.
解：因为 OD 平分∠AOC，
所以∠AOC=2∠COD=2×35°=70°
因为 OC平分∠AOB，所以∠AOB=2∠AOC=2×70°=140°.
综合运用
9.已知∠AOB=70°，以 OA 为边画∠AOC=32°.求∠BOC 的度数.
解：当 OC 在∠AOB 内部时，
如图①，∠BOC=∠AOB-∠AOC=
70°-32°=38°；
当OC在∠AOB 外部时，
如图②，∠BOC= ∠AOB+ ∠AOC=70°+32°=102°
综上所述， ∠BOC 的度数为 38°或 102°.
10.如图，在∠AOB内部任意画一条射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，根据图形填空：
（1）∠AOB= ∠AOC+_______；
（2）∠COD=_______= _______；
（3）∠DOE=_______+______= ______；
（4）若∠DOE=60°，则∠AOB=_____°；
若∠AOB=n°，则∠DOE =______°.
∠BOC
∠AOD
∠COE
∠COD
∠AOC
∠AOB
120
11.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余？在哪种摆放方式中∠α与∠β互补？在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？
解：在第（1）种摆放方式中∠α与∠β互余，在第（4）种摆放方式中∠α与∠β 互补，在第（2）（3）种摆放方式中∠α与∠β相等.
12.如图，一个齿轮有24个齿，每相邻两齿中心线的夹角都相等，这个夹角是多少度？如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是多少度（精确到分）？
解：因为有 24 个齿，所以这个夹角是 360°÷24=15°；如果是 22 个齿，那么这个夹角是 360°÷22≈16°22′.
13.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东60°方向上有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它北偏东30°方向上.试在图中确定这艘船的位置.
60°
30°
P
解：如图，点P位置即为这艘船的位置.
拓广探索
14.画几个不同的四边形，使每个四边形中都有30°，90°，105°的角.量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？
解：画图略.这些四边形中另一角的度数均为135°，可以的规律：四边形的内角和为360°.
15.（1）如图（1），射线 AD，BE，CF 构成∠1，∠2，∠3，量出∠1，∠2，∠3的度数，并计算∠1十∠2+∠3.画出几个类似的图，计算相应的三个角的和，你有什么发现？
解：（1）图（1）中，∠1+∠2+∠3= 360°，画图略，可以发现类似的这样三个角的和均为360°；
（2）类似地，量出图（2）中∠1，∠2，∠3，∠4的度数，计算∠1+∠2+∠3+∠4.再换几个类似的图试试，你有什么发现？
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
解：（2）图（2）中，∠1+∠2+∠3+∠4= 360° ，画图略，可以发现类似的这样四个角的和也均为360°.
（3）猜想：多边形的外角和都是360°.
2.［2025合肥期末］下列4个角中，最有可能与 角互补的角是( )
D
A. B. C. D.
3.［2025重庆期末］已知的余角是 ，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
4.已知 ，，则与 的关系为( )
C
A.相等 B.互余 C.互补 D.以上都不对
5.如果一个角的余角是 ，那么这个角的补角的度数是( )
A
A. B. C. D.
6.若一个角的余角的5倍等于它的补角，则这个角的度数为_______.
7.（8分）如图， ，是 的平
分线，与互余，求 的度数.
解：因为平分 ，
所以 .
又因为与 互余.
所以 .
知识点2 余角和补角的性质
8.［2025北京大兴区期末］已知与互为余角，与 互为余角，
若 ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
9.已知 ， ，若，则 ，
依据是( )
D
A.同角的余角相等 B.等角的余角相等
C.同角的补角相等 D.等角的补角相等
10.如图， ，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判
断正确的是( )
结论Ⅰ： ；
结论Ⅱ：是 的补角.
A
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对，Ⅱ对 D.Ⅰ对，Ⅱ不对
11.（8分）如图， ， .
（1）与有怎样的数量关系，为什么？与 有怎
样的数量关系，为什么？
解：， .理由：因为
，所以 ， .
因为，所以 .
因为 ，
所以，即 .
（2）的余角为______________； 的补角为______________.
，
，
12.［教材习题 变式］如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下
列摆放方式中， 与 互余的是( )
A
A. B. C. D.
互为余角 互为补角
两角间的关系
性质
同角（等角）的余角相等
同角（等角）的补角相等
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
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