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人教版（2024）版数学7年级上册
第二章 有理数的运算
章末复习
联系第一章有理数的学习，请你梳理从非负有理数系扩充到有理数系的过程，并谈谈对数系扩充的认识.
第二章 有理数的运算
第1页：引言——运算的意义
有理数的运算的是数学运算的基础，更是解决实际问题的工具。回顾生活场景，感受运算的价值：
- 温度变化：某天最高温8℃，最低温-3℃，温差是多少？（涉及有理数减法）
- 财务收支：收入500元记为+500，支出300元记为-300，最终结余多少？（涉及有理数加法）
- 路程计算：向东走10米记为+10，向西走6米记为-6，两次行走的总位移是多少？（涉及有理数加减）
本章核心：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算，明确法则、熟练技巧、规避错误。
第10页：章节核心总结
一、核心法则梳理
- 加减运算：减变加，数变反，加法分情况定符号；
- 乘除运算：除变乘，数变倒，乘除同号得正、异号得负；
- 乘方运算：底数定符号，指数定奇偶；
- 混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。
二、核心思想方法
- 转化思想：将减法转化为加法，除法转化为乘法，复杂运算转化为简单运算；
- 分类讨论思想：加法、乘法法则均按“同号、异号、含0”分类，确保覆盖所有情况；
- 简便思想：利用运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）简化计算。
三、解题口诀
有理数运算并不难，符号绝对是关键；
加减转化找相反数，乘除转化找倒数；
乘方注意底和幂，混合运算按序算；
运算律来帮大忙，易错点要记心间；
分步计算稳又准，结果验证保安全。
第2页：运算基础——符号与绝对值
有理数运算的核心是“先定符号，再算绝对值”，需先明确以下基础概念：
- 符号规则前提：有理数由“符号”和“绝对值”两部分组成（正数符号为“+”可省略，负数符号为“-”不可省略）；
- 绝对值性质：任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，具体为：
当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a；
- 运算核心思路：所有有理数运算，先根据法则确定结果的符号，再对绝对值进行相应的算术运算。
示例：分析-7、+3、0的符号与绝对值：
-7：符号为“-”，绝对值为7；+3：符号为“+”，绝对值为3；0：无符号，绝对值为0。
核心主线：以“数轴”为工具，串联“相反数、绝对值”等概念，支撑有理数的各类运算及应用。
第3页：有理数的加法——法则与应用
加法是有理数运算的基础，法则分情况明确，需精准掌握：
一、加法法则（分三类情况）
两数类型
符号确定
绝对值运算
示例
同号两数
取与两数相同的符号
绝对值相加
(-5)+(-3)=-(5+3)=-8；3+6=9
异号两数
取绝对值较大数的符号
用大绝对值减小绝对值
(-5)+3=-(5-3)=-2；5+(-3)=2
与0相加
与原数符号相同
绝对值不变
0+(-6)=-6；7+0=7
二、特殊情况：互为相反数的两数相加得0，即a+(-a)=0，如(-4)+4=0，这是加法中的重要简便运算依据。
三、解题步骤：
1. 确定两数的符号类型（同号、异号、含0）；2. 根据对应法则确定结果符号；3. 对绝对值进行相应运算；4. 组合符号与绝对值得结果。
1. 正数与负数
- 正数：大于0的数（如+3、2.5、1/2，“+”可省略）；
- 负数：在正数前加“-”的数（如-5、-1.8、-3/4，“-”不可省略）；
- 0的意义：既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界，可表示“没有”“基准量”（如海拔0米）。
2. 有理数的分类（两种标准）
按定义分类
- 整数：正整数、0、负整数（如1、0、-2）；
- 分数：正分数、负分数（如3/4、-0.6）；
- 整数和分数统称有理数。
按性质分类
- 正有理数：正整数、正分数；
- 0；
- 负有理数：负整数、负分数。
易错点：π不是有理数（它是无限不循环小数），但3.14是有理数。
第4页：有理数的减法——转化思想的应用
减法可通过“转化思想”转化为加法，降低运算难度，核心是掌握转化法则：
一、减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为：a - b = a + (-b)；
文字口诀：“减变加，数变反”（即减号变加号，被减数不变，减数变为它的相反数）。
二、转化关键
- 明确“减数”：是减号后面的数，转化时只变减数的符号，被减数符号不变；
- 注意符号叠加：若减数本身是负数，转化后会出现“负负得正”的情况，如a - (-b) = a + b。
三、典型例题
1. 基础计算：(-8) - 3 = (-8) + (-3) = -11；7 - (-5) = 7 + 5 = 12；
2. 实际应用：某地白天温度为12℃，夜间温度下降15℃，夜间温度是多少？
解答：12 - 15 = 12 + (-15) = -3℃，即夜间温度为-3℃。
概念
定义/特征
性质/结论
数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线
1. 数轴上的点与有理数一一对应；2. 右边的点表示的数总比左边的大
相反数
只有符号不同的两个数（0的相反数是0）
1. 若a与b互为相反数，则a+b=0；2. 数轴上表示相反数的点关于原点对称
绝对值
数轴上表示数a的点到原点的距离，记为|a|
1. |a|≥0（非负性）；2. 当a>0时，|a|=a；a=0时，|a|=0；a<0时，|a|=-a
示例：| -3 | = 3，-（-2）= 2，数轴上表示-1和3的点，距离原点分别为1和3，且3在-1右侧，故3 > -1。
第5页：有理数的加减混合运算——技巧与简化
加减混合运算可通过“统一成加法”简化，再运用运算律优化计算，提升效率：
一、核心步骤：统一成加法算式
根据减法法则，将所有减法转化为加法，式子化为“省略加号的和的形式”，方便观察和计算：
示例：-5 - 3 + 2 - (-4) = -5 + (-3) + 2 + 4（此时式子可读作“-5、-3、2、4的和”）。
二、简便运算技巧（利用加法运算律）
- 1. 同号结合法：将正数与正数结合，负数与负数结合，分别计算后再相加：
示例：(-5) + (-3) + 2 + 4 = [(-5)+(-3)] + (2+4) = -8 + 6 = -2；
- 2. 相反数结合法：将互为相反数的数结合，和为0简化计算：
示例：(-7) + 3 + 7 + (-2) = [(-7)+7] + (3-2) = 0 + 1 = 1；
- 3. 凑整结合法：将和为整数的数结合（如和为10、20或0.5等）：
示例：1.2 + (-3.5) + 4.8 + (-6.5) = (1.2+4.8) + [(-3.5)+(-6.5)] = 6 - 10 = -4；
- 4. 同分母/易通分结合法：分数运算中，将同分母或易通分的分数结合：
示例：-1/2 + 3/4 + (-1/4) = -1/2 + (3/4 - 1/4) = -1/2 + 1/2 = 0。
1. 加法法则（核心：先定符号，再算绝对值）
- 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加（如3+5=8，-3+(-5)=-8）；
- 异号两数相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3+(-5)=-2，-3+5=2）；
- 互为相反数相加得0（如3+(-3)=0）；一个数加0仍得原数。
2. 减法法则（转化思想：减变加，数变反）
a - b = a + (-b)（如5 - 8 = 5 + (-8) = -3，-5 - (-8) = -5 + 8 = 3）
3. 加减混合运算技巧
- 统一成加法：将式子化为省略加号的和的形式（如-3 - 5 + 2 = -3 + (-5) + 2）；
- 简便运算：同号结合、相反数结合、凑整结合（如(3+7)+(-5-2)=10-7=3）。
第6页：有理数的乘法——法则与运算律
乘法法则与加法类似，核心仍是“符号优先”，同时需掌握乘法运算律简化计算：
一、乘法法则
运算情况
符号确定
绝对值运算
示例
两数相乘
同号得正，异号得负
绝对值相乘
(-4)×(-5)=20；(-4)×5=-20
与0相乘
结果为0
无需计算绝对值
(-6)×0=0；0×8=0
多个数相乘
负因数个数为偶数得正，奇数得负
所有数的绝对值相乘
(-2)×(-3)×(-4)=-(2×3×4)=-24；(-2)×3×(-4)=24
二、乘法运算律（简化运算的核心）
- 交换律：ab=ba，如(-3)×4=4×(-3)=-12；
- 结合律：(ab)c=a(bc)，如[(-2)×(-3)]×5=(-2)×[(-3)×5]=30；
- 分配律：a(b+c)=ab+ac（核心常用），如(-5)×(2+3)=(-5)×2 + (-5)×3=-10-15=-25；
反向应用：ab+ac=a(b+c)，如3×(-4) + 3×(-6)=3×[(-4)+(-6)]=-30。
1. 乘法法则
- 符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0（如3×5=15，-3×(-5)=15，-3×5=-15）；
- 多个有理数相乘：负因数个数为偶数得正，奇数得负，再算绝对值乘积。
2. 除法法则（转化思想：除变乘，数变倒）
a ÷ b = a × (1/b)（b≠0），符号规则同乘法（如6÷(-2)=6×(-1/2)=-3，-6÷(-2)=3）
3. 乘方法则（核心：底数为正，结果为正；底数为负，看指数奇偶）
- 定义：n个相同因数a相乘，记为a （如2×2×2=2 ，(-2)×(-2)=(-2) ）；
- 符号规则：(-a) ：n为奇数得负，n为偶数得正（如(-2) =-8，(-2) =4）；
- 注意：-a 与(-a) 的区别（如-2 =-4，(-2) =4）。
4. 混合运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（如-2 + 3×(-4) = -4 -12 = -16）。
第7页：有理数的除法与乘方——转化与规则
除法可转化为乘法，乘方是特殊的乘法（相同因数相乘），需明确各自核心规则：
一、除法法则（转化思想：除变乘，数变倒）
- 基本法则：a÷b = a×(1/b)（b≠0），符号规则与乘法一致（同号得正，异号得负）；
- 具体运算：先确定符号，再将除数变为倒数，转化为乘法计算；
- 示例：(-12)÷(-3)=(-12)×(-1/3)=4；(-12)÷3=(-12)×(1/3)=-4；0÷(-5)=0（0除以非零数得0）。
二、乘方法则（特殊乘法，关注底数与指数）
- 定义：n个相同因数a相乘，记为a ，其中a叫底数，n叫指数，a 读作“a的n次幂”；
- 符号规则：
- 底数为正：无论指数奇偶，结果均为正（如2 =8，2 =16）；
- 底数为负：指数为偶数得正，指数为奇数得负（如(-2) =-8，(-2) =16）；
- 注意区分：-a 与(-a) （-a 是“a 的相反数”，(-a) 是“-a的n次幂”），如-2 =-8，(-2) =-8；-2 =-16，(-2) =16；
- 特殊情况：0的任何正整数次幂都是0（0 =0，n为正整数），1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。
1. 科学记数法
- 表示形式：a×10 （1≤|a|<10，n为整数）；
- n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于整数位数减1（如567000=5.67×10 ）；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于左起第一个非零数前零的个数（如0.000567=5.67×10 ）。
2. 近似数与有效数字
- 近似数：与实际接近的数（如π≈3.14，是精确到百分位的近似数）；
- 有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位数字止的所有数字（如0.0314有3个有效数字：3、1、4；3.14×10 有3个有效数字：3、1、4）。
易错点：用科学记数法表示的数，有效数字只看a的部分，精确位数需还原后判断（如3.14×10 精确到千位）。
第8页：有理数的混合运算——顺序与技巧
混合运算涉及多种运算，“顺序”是核心，“技巧”是提升效率的关键：
一、混合运算顺序（严格遵循，不可颠倒）
1. 第一级：乘方（先算乘方，确定幂的结果）；
2. 第二级：乘除（再算乘除，从左到右依次进行）；
3. 第三级：加减（最后算加减，从左到右依次进行）；
4. 特殊规定：有括号先算括号内，括号顺序为“小括号→中括号→大括号”。
二、典型例题解析（按顺序分步计算）
例：计算 -2 + (-3)×[4 - (-2) ] ÷ (-6)
步骤1：算乘方：-2 =-4，(-2) =-8；
步骤2：算小括号内：4 - (-8)=4+8=12；
步骤3：算中括号内（此时中括号简化为乘法）：(-3)×12=-36；
步骤4：算乘除：-36 ÷ (-6)=6；
步骤5：算加减：-4 + 6=2；
最终结果：2。
三、混合运算技巧
- 先标运算顺序：用横线、波浪线等标注不同级别的运算，避免顺序错误；
- 分步计算：每完成一级运算，记录中间结果，再进行下一级；
- 灵活用运算律：在乘除运算中用交换律、结合律，加减运算中用分配律，简化计算。
易错点1：概念混淆
例：判断“带负号的数都是负数”“有理数包括正数、负数和0”是否正确？
解析：① 错误（如-(-2)=2是正数）；② 正确（有理数分类的基本结论）。
易错点2：运算符号错误
例：计算-3 - (-2) 错解：9 - (-8)=17 正解：-9 - (-8)=-1
解析：注意乘方符号优先级，-3 是“3的平方的相反数”，(-2) 是“-2的立方”。
易错点3：绝对值非负性应用
例：已知|a+2| + |b-3|=0，求a+b的值。
解析：绝对值非负，和为0则每一项为0 → a+2=0，b-3=0 → a=-2，b=3 → a+b=1。
易错点4：科学记数法的n值判断
例：将0.0000201用科学记数法表示 错解：20.1×10 正解：2.01×10
解析：a需满足1≤|a|<10，n的绝对值是左起第一个非零数前零的个数。
第9页：常见易错点辨析与规避
有理数运算中，错误多源于法则混淆、顺序颠倒、符号失误，需针对性规避：
易错点1：乘方符号判断错误
错例：计算(-3) 时误算为-9，计算-3 时误算为9；
规避：明确底数范围，(-3) 的底数是-3，指数2为偶得正，结果为9；-3 的底数是3，先算3 再取反，结果为-9。
易错点2：混合运算顺序颠倒
错例：计算2×3+4时先算3+4=7，再算2×7=14；
规避：牢记“先乘方，再乘除，最后加减”，标注运算级别，分步计算，上述例子先算2×3=6，再算6+4=10。
易错点3：除法转化时符号失误
错例：计算(-8)÷(-2)时误转化为(-8)×(-1/2)=-4；
规避：转化后符号规则与乘法一致，同号得正，上述例子结果应为4，计算时先定符号再算绝对值。
易错点4：分配律应用不完整
错例：计算(-5)×(2-3)时误算为(-5)×2 - 3=-13；
规避：分配律需将括号内所有数与乘数结合，应为(-5)×2 + (-5)×(-3)=-10+15=5，或先算括号内2-3=-1，再算(-5)×(-1)=5。
易错点5：忽略“0”的特殊运算
错例：计算0÷(-5)时误算为-5，或计算(-5)÷0时认为结果为0；
规避：牢记“0除以任何非零数得0，0不能作除数”，上述前者结果为0，后者无意义。
1. 三大核心思想
- 转化思想：减法转加法、除法转乘法、复杂运算转简便运算；
- 分类讨论思想：有理数分类、加法法则、乘方法则等均体现分类；
- 数形结合思想：用数轴表示有理数，将抽象数与具体点结合。
2. 核心公式与结论
- 相反数：a的相反数是-a，a+b=0 a、b互为相反数；
- 绝对值：|a|=| -a |，|a|≥0；
- 运算律：加法交换律a+b=b+a、结合律(a+b)+c=a+(b+c)，乘法交换律ab=ba、结合律(ab)c=a(bc)、分配律a(b+c)=ab+ac。
3. 解题步骤口诀
遇运算，先定号，再算绝对值错不了；遇概念，抓本质，数轴相反数记心间；遇应用，明题意，科学记数近似要精准。
一、本章知识结构图
有理数的运算
加法
减法
乘法
乘方
除法
交换律
结合律
分配律
加 法
同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得 0.
一个数与 0 相加，仍得这个数.
减 法
减去一个数，等于加这个数的相反数.
a－b = a + (－b)
乘 法
两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与 0 相乘，都得 0.
倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数.
0 没有倒数，倒数和相反数一样都是成对出现的.
除 法
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0.
乘 方
求 n 个相同乘数的积的运算，叫作乘方.
负数的奇次幂是负数.
负数的偶次幂是正数.
正数的任何次幂都是正数.
0 的任何正整数次幂都是 0.
混合运算
先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左到右进行；
如有括号先做括号内的运算，
按小括号、中括号、大括号依次进行.
运算律
加法交换律：a + b = b + a
加法结合律：(a + b)+ c = a + (b + c)
乘法交换律：ab = ba
乘法结合律：(ab)c = a(bc)
分配律：a(b + c) = ab + ac
科学记数法
把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中 a 大于或等于 1， 且 a 小于 10，n 是正整数），使用的是科学记数法.
复习巩固
1. 计算：
【教材P61】
（1）-150 + 250； （2）-15+(-23)；
（5）(-6)×(-16)； （6）(- )×27；
（3）-5-65； （4）-26-(-15)；
100
-38
-70
-11
96
-9
（7）8÷(-16) ； （8） ； （9） .
2. 计算：
（1）6 + (- )-2-(-1.5)；
（2）(-0.02)×(-20)×(-5)×4.5；
（3）(-6.5)×(-2)÷(- )÷(-5)；
（4）(-66)×4-(-2.5)÷(-0.1)；
-9
5.3
-289
（5）(-2)2×5-(-2)3÷4；
（6）-(3-5)+ 32×(1-3).
22
-16
3. 互为相反数的两个数的和是多少？互为倒数的两个数的积是多少？
解：互为相反数的两数的和是 0，互为倒数的两数的积是 1.
4. 用科学记数法表示下列各数：
（1）100 000 000；（2）4 500 000；（3）692 400 000 000.
解：（1）100 000 000 = 1×108
（2）4 500 000 = 4.5×106
（3）692 400 000 000 = 6.924×1011
5. 用四舍五入法对下列各数取近似数：
（1）245.635（精确到 0.1）；
（2）175.65（精确到个位）；
（3）12.004（精确到百分位）；
（4）6.537 8（精确到 0.01）.
245.635 ≈ 245.6
175.65 ≈ 176
12.004 ≈ 12.00
6.5378 ≈ 6.54
6. 计算：
（1）-2-|-3|； （2）|-2-(-3)|.
-5
1
综合运用
7. 红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜
黄队，比分为 4∶2；蓝队胜黄队，比分为 3∶1；红队
负蓝队，比分为 2∶3. 如果进球数记为正，失球数记为
负，那么三队的净胜球数各是多少？
红队：(4-2) + (2-3) = 1
黄队：(2-4) + (1-3) = -4
蓝队：(3-1) + (3-2) = 3
8. 下列各数是十名学生的数学检测成绩：
82，83，78，66，95，75，61，93，82，81.
先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值能力.
解：估算他们的平均成绩是 75，再重新记写他们的成绩：将成绩超过 75 的部分记作正数，低于 75 的部分记作负数，等于 75 的记作 0.
他们的成绩如下：7，8，3，-9，20，0，-14，18，7，6.
[7 + 8 + 3 + (-9) + 20 + 0 + (-14) + 18 + 7 + 6]÷10 = 4.6，
平均成绩是 75 + 4.6 = 79.6
9. 某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）.
表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈利还是亏损，金额是多少.
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计
-27.8 -70.3 200 138.1 -8 188 458
458-(-27.8-70.3 + 200 + 138.1-8 + 188) = 38 (元)
答：星期六盈利，盈利了 38 元.
【教材P62】
10. 巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先
向东走了 7 km，又向东走了 3 km，然后折返向西走了 11.5 km. 此时他在驻地的什么方向？与驻地的距离是多少千米？
7 km
3 km
11.5 km
11.5-7-3 = 1.5（km）
答：他在驻地的西方，与驻地的距离是 1.5 km.
驻地
11. 在 0~40 ℃ 范围内，当温度每上升 1 ℃ 时，某种金属丝约伸长 0.002 mm；反之，当温度每下降 1 ℃ 时，金属丝约缩短 0.002 mm. 把 20 ℃ 的这种金属丝加热到 30 ℃，再使它冷却降温到 5 ℃，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度约伸长多少毫米？
解：把 20℃ 的金属丝加热到 30℃，其伸长的长度约为0.002×(30-20) = 0.002×10 = 0.02(mm)；
再把 30℃ 的金属丝冷却降温到 5℃，其缩短的长度约为0.002×(30-5) = 0.002×25 = 0.05(mm).
最后的长度比原长度约伸长 0.02 + (-0.05) = -0.03(mm).
12. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1 个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为 1.496 亿千米. 试用科学记数法表示 1 个天文单位
是多少千米.
1.496 亿千米 = 149 600 000 km = 1.496×108 km
答：一个天文单位是 1.496×108 千米。
13. 结合具体的数的运算，通过特例进行归纳，然后
比较下列数的大小：
拓广探索
（1）小于 1 的正数 a，a 的平方，a 的立方；
（2）大于 -1 的负数 b，b 的平方，b 的立方.
解:（1）当a = 0.1时，a2= 0.01，a3 = 0.001，a>a2>a3.
（2）当b = -0.2 时，b2 = 0.04，b3 = -0.008，b2>b3>b.
14. 结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法
是否正确. 如果认为正确，请说明理由；如果认为错误，
请举出反例.
（1）任何数都不等于它的相反数；
错， 0 的相反数是其本身.
（2）互为相反数的两个数的同一正偶数次幂相等；
（3）如果 a 大于 b，那么 a 的倒数小于 b 的倒数.
对，因为互为相反数的两个数的同一偶数次方符号相同，绝对值相等.
错，例如 a = 1，b = -1，则a > b，其倒数
15. 用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：
1×1=________； 11×11=_______；
111×111=________； 1111×1111=__________.
（1）你发现了什么？
1
121
12321
1234321
发现如下规律：1…1×1…1 = 123…(n-1)n(n-1)…321
n个
n个
（2）不用计算器，你能直接写出 111 111 111×111 111 111 的结果吗？
12345678987654321
考点1 倒数
1. 下列说法中，正确的是( )
B
A. 任何数都有倒数
B. 互为倒数的两个数的积为1
C. 一个数的倒数一定比这个数小
D. 互为倒数的两个数的和为零
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考点2 有理数的加减运算
2. 计算
，这
个运算应用了( )
C
A. 加法交换律 B. 加法结合律
C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对
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3.［2025重庆万州区期中］如图，有一根小棍,
在的左边在数轴上移动，数轴上， 两点之间的距离
为20，当移动到与，其中一个端点重合时，点 所对应
的数为8，当移动到线段的中点时，点 所对应的数为
________.
18或
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考点3 有理数的乘除运算
4. 如图，数轴上有①，②，③，④四部分，数轴上的三个点
分别表示数，，且， ，则原点落在( )
C
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
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5.［2025温州期中］小明有5张卡片，如图.请你按要求抽出
卡片，完成下列各题.
（1）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字乘积最大，
最大是___;
（2）从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除商最小，
最小是____;
8
（3）从中抽出除0以外的4张卡片，将卡片上的4个数字进行
加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24（注：每个
数字都要用且只能用一次），如： ，
请另写出一种符合要求的运算式子：
____________________________________________.
（答案不唯一）
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6.用简便方法计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
考点4 有理数的乘方
7. 下列各组数中，不相等的一组是( )
A
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
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8. 乐乐发现一个神奇的箱子，当正数钻进这
个箱子以后，结果就转化为它的相反数；当负数或零钻进这
个箱子以后，结果没有发生变化，乐乐把 放进了
这个神奇的箱子，则结果是( )
C
A. 13 B. 5 C. D. 10
【点拨】 .因为负数钻进这
个箱子以后，结果没有发生变化，所以结果是 .
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考点5 有理数的混合运算
9.计算：
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式 .
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考点6 科学记数法
10. ［2024达州］大米是我国居民最重要的主食之一，与此
同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳
定在2亿吨以上，将2亿用科学记数法表示为( )
B
A. B. C. D.
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11.若一个整数用科学记数法表示为 ，
则原数中“0”有___个.
8
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考点7 近似数
12.光在不同介质中由于折射率的不同会产生不同的传输速度，
比如在纯净水中其速度大约为 ，其中近似数
精确到______位.
百万
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思想1 数形结合思想
13.在数轴上，有理数，的位置如图，将与 的对应点间
的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为， ，
，，，且， .下列结论：
；； ；
.
其中所有正确结论的序号是______.
①④
【点拨】因为，，所以 ，且距离原点比
较远，，且距离原点比较近，所以中点所表示的数 在
原点的左侧，所以 ，所以①正确；由数轴所表示的数
可知，可能大于0，也可能小于0，所以 的符号
不确定，所以②不正确；因为 可能大于0，也可能小于0，
所以与 不一定相等，所以③不正确；因为
在原点的左侧，而在原点右侧，所以表示数 的点到表
示数的点的距离为，所以到 的距离为
，即 ，所以④正确.
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思想2 分类讨论思想
14.［2025金华期中］【阅读理解】 表示5与2的差的绝
对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距
离；同理可以理解为 与1两数在数轴上所对应的两点
之间的距离，就表示 在数轴上对应的点
到表示 的点的距离.
（1）【概念理解】
的几何意义是___选择A或 ，
的最小值为___；
A.数轴上表示实数 的点与表示有理数4的点、与表示有理数
2的点的距离之和
B.数轴上表示实数 的点与表示有理数4的点、与表示有理数
的点的距离之和
B
6
【点拨】理解为在数轴上表示的点到 和
4的距离之和，所以当点在 和4之间的线段上，即
时， 有最小值，最小值为
.
（2）【尝试应用】
若，则 _______；
或5
【点拨】当 在3的右边时，原等式可变形为
，解得;当在 的左边时，原等式可
变形为，解得;当在3与 之间时，
距离为，即不成立.故答案为 或5.
（3）【拓展延伸】
已知整数，，满足 ，
则式子 的最大值和最小值分别为多少？
【解】因为， ，
，且,, 均为整数,所以110只能分解为
.
因为 ，
所以， ，
，
从而，，或 ，
易知当，，时， 的值最大，最大
为 ，
易知当，，时， 的值最小,最小
为 .
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