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人教版（2024）版数学7年级上册
第三章 代数式
章末复习
本章知识结构图
用字母表示数
代数式
代数式的意义
列代数式
代数式的值
第三章 代数式
第1页：引言——代数式的产生与意义
在数学学习中，我们常常需要用符号表示数，以解决更具普遍性的问题。观察以下场景，感受符号的价值：
- 购买文具：一支钢笔售价15元，买x支钢笔需要多少元？（用15x表示，x为购买数量）
- 图形面积：一个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，它的面积是多少？（用ab表示，a、b为边长）
- 年龄问题：小明今年m岁，爸爸的年龄比他大28岁，爸爸今年多少岁？（用m+28表示，m为小明年龄）
上述场景中，15x、ab、m+28都是代数式。本章核心：理解代数式的概念，掌握整式的相关知识及代数式的化简与求值，为后续方程、函数学习奠定基础。
第2页：代数式的定义与书写规则
一、代数式的定义
用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。
代数式示例
- 单独的数：3、-5、0.8
- 单独的字母：a、x、y
- 数与字母的组合：2a、x-3、$\frac{1}{2}$xy
- 字母与字母的组合：ab、m n
非代数式示例（判断依据）
- x+3=5（含等号，是等式）
- 2x>1（含不等号，是不等式）
- $\sqrt{x}+1$（开方运算，初中阶段暂不重点研究）
二、代数式的书写规范（避免歧义，统一标准）
- 数字与字母相乘：数字在前，字母在后，乘号可省略或用“·”表示（如3×a写作3a或3·a，不能写作a3）；
- 字母与字母相乘：乘号可省略（如a×b写作ab）；
- 带分数与字母相乘：先把带分数化为假分数（如$1\frac{1}{2}x$写作$\frac{3}{2}x$，不能写作1$\frac{1}{2}$x）；
- 除法运算：用分数形式表示（如a÷b写作$\frac{a}{b}$，不能写作a÷b）；
- 含有加减运算的代数式：若后面接单位，需加括号（如“(m+28)岁”，不能写作m+28岁）。
第3页：整式的分类——单项式与多项式
代数式中，整式是最基础的类型，根据组成形式可分为单项式和多项式：
类型
定义
核心要素
示例
单项式
由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式
1. 系数：单项式中的数字因数（包括符号）；2. 次数：单项式中所有字母的指数和
3a：系数3，次数1；-2x y：系数-2，次数3（2+1）；5：系数5，次数0（常数项次数为0）
多项式
几个单项式的和组成的代数式
1. 项：多项式中的每个单项式（含符号）；2. 常数项：不含字母的项；3. 次数：多项式中次数最高的项的次数
2x +3x-1：项为2x 、3x、-1，常数项-1，次数2（最高次项2x 的次数）；a b - ab + 5：次数4（a b的次数3+1）
易错点：1. 单项式的系数包含符号（如-5xy的系数是-5，不是5）；2. 多项式的项要带符号（如3x - 2x + 1的第二项是-2x，不是2x）；3. 常数项的次数为0（如7的次数是0，不是1）。
整式的定义：单项式和多项式统称为整式（分母中不含字母的代数式）。
第4页：整式的加减——核心运算规则
整式的加减运算本质是“合并同类项”，在运算前常需先“去括号”，两者是加减运算的核心步骤：
一、合并同类项（基础前提）
1. 同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）；
示例：2x与3x是同类项，-5xy 与7xy 是同类项，3与-8是同类项；2x与2x 不是同类项（字母指数不同），3x与2y不是同类项（字母不同）。
2. 合并法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变（“变系数，不变字母与指数”）；
示例：3x + 5x = (3+5)x = 8x；-2xy + 7xy = (-2+7)xy = 5xy ；4a - 2a + 3 = (4-2)a + 3 = 2a + 3。
二、去括号法则（运算准备）
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变；
示例：(2x + 3y) - (x - 2y) = 2x + 3y - x + 2y（去括号后-x变+x，-2y变+2y）；3(a - b) + 2(a + b) = 3a - 3b + 2a + 2b（分配律展开后符号正确）。
三、整式加减的完整步骤
1. 去括号：根据去括号法则或乘法分配律去掉括号；
2. 找同类项：用不同符号标注同类项，避免遗漏；
3. 合并同类项：按照合并法则化简，得到最简整式。
示例：计算(3x - 2x + 1) - 2(x - x + 3)
步骤1：去括号：3x - 2x + 1 - 2x + 2x - 6；
步骤2：找同类项：3x 与-2x ，-2x与+2x，1与-6；
步骤3：合并同类项：(3x -2x )+(-2x+2x)+(1-6)=x - 5。
第5页：代数式的值——从“式”到“数”的转化
代数式的值是指用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，是代数式的重要应用。
一、求代数式的值的步骤
1. 代入：用指定的数值代替代数式中的相应字母（注意：字母的值为负数或分数时，需加括号）；
2. 计算：按照代数式中的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）进行计算，得出结果。
二、典型例题
1. 基础计算：已知x=-2，求代数式3x - 2x + 1的值。
解答：代入x=-2，得3×(-2) - 2×(-2) + 1 = 3×4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。
2. 整体代入：已知a + b = 5，求代数式2(a + b) - 3 + (a + b) 的值。
解答：将a + b=5整体代入，得2×5 - 3 + 5 = 10 - 3 + 25 = 32（无需单独求a、b的值，简化计算）。
技巧：当已知条件是字母的和、差或积时，优先考虑“整体代入法”，可避免复杂计算，提高效率。
三、注意事项
- 代入时要“对号入座”：确保每个字母都用对应的数值代替，不重复、不遗漏；
- 计算时要遵循运算顺序和符号规则：尤其是乘方运算和负数参与运算时，避免符号错误；
- 代数式化简后再求值：若代数式较复杂，先化简（如合并同类项）再代入，可减少计算量。
第6页：列代数式——数学建模的初步体验
列代数式是将实际问题中的数量关系用代数式表示出来，是代数式应用的核心能力，也是后续列方程的基础。
一、列代数式的核心步骤
1. 审清题意：明确问题中的数量关系，区分已知量和未知量（未知量用字母表示）；
2. 找准关系：分析数量之间的运算关系（和、差、积、商、倍、分等）；
3. 规范表达：按照代数式的书写规范写出代数式。
二、常见数量关系及示例
实际场景
数量关系
代数式表示
和差关系
x与5的和；x比y大3
x+5；x - y = 3（或x = y + 3）
倍分关系
x的3倍；x的$\frac{1}{2}$与y的和
3x；$\frac{1}{2}x + y$
行程问题
速度为v km/h，时间t小时的路程
vt（路程=速度×时间）
工程问题
工作效率为a，工作时间b的工作量
ab（工作量=效率×时间）
价格问题
单价m元，数量n件的总价；降价10%后的价格
mn；0.9m（或m - 10%m）
三、注意事项
- 明确“多、少、倍、分”的含义：“多”用加，“少”用减，“倍”用乘，“分”用除；
- 区分“平方和”与“和的平方”：x与y的平方和是x + y ，x与y的和的平方是(x + y) ；
- 结合实际意义：字母的取值要符合实际（如人数、数量为正整数，长度为正数）。
第7页：易错点辨析与规避
代数式学习中，易错点集中在概念混淆、书写不规范、运算失误等方面，需针对性规避：
易错点1：同类项判断错误
错例：认为2x y与3xy 是同类项；
规避：同类项需满足“字母相同且相同字母指数相同”，2x y中x的指数是2，y的指数是1；3xy 中x的指数是1，y的指数是2，故不是同类项。
易错点2：去括号符号错误
错例：化简-(2x - 3y)时误算为-2x - 3y；
规避：括号前是“-”号，去括号后各项符号都要改变，正确结果应为-2x + 3y，可通过分配律验证：-1×2x + (-1)×(-3y) = -2x + 3y。
易错点3：代数式求值代入错误
错例：已知x=-3，求x 的值时误算为-9；
规避：代入负数时加括号，x =(-3) =9，明确乘方运算的符号规则（负数的偶次幂为正）。
易错点4：列代数式语义理解错误
错例：“x的3倍与y的差”误列为3(x - y)；
规避：明确运算顺序，“x的3倍”是3x，再与y的差，应为3x - y，可通过“先读先写”原则梳理关系。
第8页：章节核心总结
一、核心概念体系
graph TD
A[代数式] --> B[单项式（系数、次数）]
A --> C[多项式（项、常数项、次数）]
B & C --> D[整式]
A --> E[代数式的值（代入、计算）]
D --> F[整式加减（去括号、合并同类项）]
二、核心运算规则
- 合并同类项：系数相加，字母及指数不变；
- 去括号：“+”不变，“-”全变；
- 代数式求值：先化简（可选），再代入，后计算。
三、核心思想方法
- 抽象概括思想：用字母表示数，将具体问题抽象为数学表达式；
- 转化思想：将整式加减转化为合并同类项，将代数式求值转化为数值运算；
- 整体思想：在代数式求值中，通过整体代入简化计算。
四、解题口诀
代数式，要规范，数字字母先乘方；
单项式，看系数，次数相加莫慌张；
多项式，分清楚，项和次数记心上；
去括号，辨符号，正负变化要记牢；
同类项，连一线，系数相加字母保；
求数值，先化简，代入计算错不了。
代数式
1. 概念
用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式.
2. 意义
运算意义
实际意义
几何意义
代数式
3. 列代数式
（1）列代数式可以把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性
（2）列代数式表示规律
代数式
4. 反比例关系
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
（1）概念
如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k ≠ 0），反比例关系可以 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数.
代数式
4. 反比例关系
（2）表示
怎么判断两个量是否成反比例关系？
先判断两个量是否是相关联的量，再看这两个量的乘积是否一定，满足
这两个条件的两个量成反比例关系.
代数式的值
1. 概念
一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值.
2. 求代数式的值
3. 几何中的代数式求值
复习巩固
1. 用代数式表示：
（1）比 a 的 3 倍小 4 的数
（2）a 的一半与 b 的和的平方.
【教材P86~87】
（3）我国自主研发的一种近防炮，每分钟可发射 10000
发炮弹，近防炮 t min 能发射多少发炮弹？
3a - 4
能发射 10000t 发炮弹
（4）购买 n 件单价为 c 元的商品要花多少元？若支付1000 元还有剩余，应找回多少元？
要花 cn 元，应找回 (1000-cn) 元.
2. 用代数式表示：
（1）某地冬季一天的温差是 15 ℃，这天最低气温
是 t ℃，最高气温是多少？
最高气温是 (t + 15) ℃
（2）某种商品原价为每件 b 元，第一次降价打八折，
第二次降价每件又降 10 元，第一次降价后的售
价是多少元？第二次降价后的售价是多少元？
第一次降价后的售价是 0.8b 元，第二次降价后的售价是 (0.8b - 10) 元.
（3）30 天中，李明的长跑路程累计达到 45000 m，刘伟的长跑路程累计为 a m，李明和刘伟平均每天各跑多少米？若刘伟的累计长跑路程多于李明，则刘伟平均每天比李明多跑多少米？
李明和刘伟平均每天各跑1500 m 和 ，
刘伟平均每天比李明多跑 m .
3.（1）若一个长方形的长为 p，宽为 q，则 2(p + q) 表示什么？
（2）举两个例子说明代数式 3a + 2b 表示的实际问题中的数量关系.
2(p + q) 表示这个长方形的周长.
4.用一根绳子围成一个长方形，相邻两边的长分别为 x m和 y m.
（1）当绳子的长为 12 m 时，用式子表示 y 与 x 的关系.
（2）当长方形的面积为 12 m2 时，用式子表示 y 与 x 的关系.
y = 6 - x
（3）当长方形的周长一定时，相邻两边的长成反比例关系吗？当长方形的面积一定时呢？为什么？
当长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系.
理由:因为它们的乘积不是定值；当长方形的面积一定时，相邻两边的长成反比例关系.
理由:一边长随着与它相邻的一边长的变化而变化，且
它们的乘积一定.
5. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2-b2 与 (a-b)2
的值：
（1）a = -1，b = -3； （2）a = 2，b = - .
解：（1）当 a = -1，b = -3 时，
a2-b2 = (-1)2-(-3)2 = -8，
(a-b)2 = [-1-(-3)]2 = 4.
5. 根据下列 a，b 的值，分别求代数式 a2-b2 与 (a-b)2
的值：
（1）a = -1，b = -3； （2）a = 2，b = - .
(a-b)2 = [2-(- )]2 = .
（2）当 a = 2，b = - 时，
a2-b2 = 22-(- )2 = ，
综合运用
6. 礼堂第 1 排有 a 个座位，后面每排都比前一排多 1 个
座位.
（1）第 2 排有多少个座位？第 3 排呢？用代数式表示
第 n 排的座位数.
解：第 2 排有(a + 1)个座位，第 3 排有(a + 2)个座位，第 n 排有 (a+n-1) 个座位.
（2）当 a = 20 时，计算第 19 排的座位数.
6. 礼堂第 1 排有 a 个座位，后面每排都比前一排多 1 个
座位.
当 a = 20，n = 19 时，a + n-1 = 20 + 19-1 = 38.
因此，第 19 排有 38 个座位.
7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 a.
（1）根据图中数据，用含 a，b 的代数式表示阴影部分的面积 S；
（2）当 a = 6，b = 2 时，求阴影部分的面积.
解：（1）
（2）当 a = 6，b = 2 时，
拓广探索
8.如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第 n 个图形需要多少枚棋子？
第 1 个
第 2 个
第 3 个
……
解：摆第 n 个图形需要 4n 枚棋子.
9. 冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰糖液制作而成.
（1）若每根竹签穿 5 个山楂，穿 n 串冰糖葫芦需要多少个山楂？需要的山楂总数与冰糖葫芦的串数成什么比例关系？
解：穿 n 串冰糖葫芦需要 5n 个山楂. 成正比例关系.
（2）若用 200 个山楂穿了 b 串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是多少？每串冰糖葫芦的山楂个数与冰糖葫芦的总串数成什么比例关系？
解：每串冰糖葫芦的山楂个数是 . 成反比例关系.
（3）若有 a 个山楂，按每串冰糖葫芦的山楂个数相等的规定，穿了 b 串冰糖葫芦，还剩余 c 个山楂，则每串冰糖葫芦的山楂个数是多少？当 a = 130，b = 16，c = 2 时，求每串冰糖葫芦的山楂个数.
解：每串冰糖葫芦的山楂个数是 .
当 a = 130，b = 16，c = 2 时， .
因此，每串冰糖葫芦的山楂个数为 8 .
考点1 代数式
1. 下列各式中，是代数式的有( )
；；； ；
； .
B
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【解析】由代数式的定义可知，是代数式的有： ；
；； ，共4个.
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2. ［2025重庆綦江区期中］下列代数式符合书写规范的是
( )
B
A. B. C. 元 D.
【解析】选项A正确的书写格式是 ，故此选项不符合题意；
选项B正确，故此选项符合题意；选项C正确的书写格式是
元，故此选项不符合题意；选项D正确的书写格式
是 ，故此选项不符合题意.
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3. 下列关于代数式的意义不正确的是( )
A
A. 表示 的3倍与4的和的一半
B. 表示 与5的和的2倍
C. 表示 的2倍与5的和
D. 表示与 的和的平方
【解析】表示 的3倍与4的和的一半.
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考点2 列代数式
4. 一个两位数，十位数字是 ，十位数字比个位数字小2，这
个两位数是( )
C
A. B.
C. D.
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5. 如图，，两地之间有一条东西走向的道路.在 地的东
边处设置第一个广告牌,之后每往东 就设置一个广
告牌.一辆汽车从地的东边 处出发,沿此道路向东行驶.
当经过第 个广告牌时,此车所行驶的路程为( )
D
A. B.
C. D.
【解析】由题意得当经过
第 个广告牌时,此车所行
驶的路程为 .
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考点3 正、反比例关系
6. 下面各组变量关系中，成正比例关系的是( )
D
A. 人的身高与年龄
B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C. 正方形的面积与它的边长
D. 圆的周长与它的半径
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7.母题教材P74例5 俊俊想存钱购买一套售价为6 000元的户
外活动设备，若他目前已有存款2 000元，后期每个月计划
存相同金额，用式子表示他存够买设备的钱所需月数 与每
个月存款额元之间的关系，与 成什么比例关系？
【解】根据题意，得 ，
所以或 .
所以与 成反比例关系.
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考点4 求代数式的值
8. 若，则 的值为( )
B
A. 8 B. 10 C. D.
【解析】因为，所以 ，
，所以， ，所以
.
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9. ［2025成都锦江区月考］已知 ，则
的值是( )
A
A. 2 019 B. 2 022
C. 2 028 D. 2 031
【解析】由，得，所以 .
返回
10.已知有理数,,满足且 .若
，，则 的
值为_____.
【解析】因为，所以 ，所以
.
因为有理数,,满足且 ，所以有理数
, ,必有一个正数，两个负数，不妨设， ，
，
所以，所以 .
返回
11.如图是一个长为、宽为 的长方形，两个
阴影图形都是一对底边长为1，且这对底边在
长方形的对边上的平行四边形.
（1）用含字母, 的代数式表示长方形中空白部分的面积；
【解】由题意得长方形中空白部分的面积为
.
（2）当， 时，求长方形中空白
部分的面积.
当， 时，
.
则长方形中空白部分的面积为2.
返回
12. 在“生命，幸‘盔’有你”为主题的交通安全宣
传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高.
某电动自行车店计划分别购买30个安全头盔和若干副电动自行
车手套，该店经理联系了批发商，他们之间的对话如下：
（1）电动自行车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若
选择方案一共需要花费______元.
【解析】方案一需要花费：
元 .
【解析】若选择方案一购买，需要花费
元；
若选择方案二购买，需要花费
元.
（2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和 副手套
.
若选择方案一购买，需要花费______________元
（用含 的代数式表示）；
若选择方案二购买，需要花费______________元
（用含 的代数式表示）；
（3）当 时，如何选择购买方案能更省钱？
【解】当 时，若选择方案一购买，需要花费
（元）；
若选择方案二购买，需要花费
（元）.
因为,所以当 时，选择方案一购买能更省钱.
返回
思想1 整体思想
13.［2025西安未央区月考］已知 ，求
的值.
【解】根据题意，得 ,
所以 .
返回
思想2 从特殊到一般的思想
14.如图，这是某小组用小木棒摆放的图形，第1个图形需要9
根小木棒，第2个图形需要17根小木棒，第3个图形需要25根
小木棒……按此规律，第4个图形需要____根小木棒.第 个图
形需要_________根小木棒.
33
返回
思想3 转化思想
15. 某款手机的后置摄
像头可抽象出6个圆形，如图所示，大圆的
半径为，中间圆形的半径为 ，周边4个
圆形的半径为 .
（1）请用含 的代数式表示图中阴影部分的面积；
【解】题图中阴影部分的面积为
.
（2）当时，求图中阴影部分的面积 取 .
当时， .
返回
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