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人教版（2024）版数学7年级上册
第四章 整式的加减
章末复习
1.加深本章学过的有关概念和运算法则的认识和理解.
2.理清本章的知识结构，提升本章知识运用的方法技巧.
3.进一步学会运用整式的加减表示实际问题中的数量关系.
第四章 整式的加减
第1页：引言——整式加减的本质与价值
在代数式的运算中，整式的加减是连接整式概念与实际应用的桥梁。观察生活与数学中的问题，思考整式加减的作用：
- 零件加工：一个零件的截面是由两个整式表示的图形组成，总面积需用整式相加计算；
- 费用核算：某套餐的基础费用为(2x+3)元，优惠减免(0.5x-1)元，实际费用需通过整式相减得出；
- 图形拼接：将两个边长分别为a和b的正方形拼接，重叠部分面积为ab/4，总面积需用整式加减求解。
本章核心：整式的加减本质是“合并同类项”，需掌握去括号、合并同类项的核心法则，实现整式的化简与应用，为后续因式分解、方程求解筑牢基础。
在数学学习中，我们常常需要用符号表示数，以解决更具普遍性的问题。观察以下场景，感受符号的价值：
- 购买文具：一支钢笔售价15元，买x支钢笔需要多少元？（用15x表示，x为购买数量）
- 图形面积：一个长方形的长为a厘米，宽为b厘米，它的面积是多少？（用ab表示，a、b为边长）
- 年龄问题：小明今年m岁，爸爸的年龄比他大28岁，爸爸今年多少岁？（用m+28表示，m为小明年龄）
上述场景中，15x、ab、m+28都是代数式。本章核心：理解代数式的概念，掌握整式的相关知识及代数式的化简与求值，为后续方程、函数学习奠定基础。
第2页：基础铺垫——同类项的精准识别
同类项是整式加减的“运算单元”，只有精准识别同类项，才能进行后续加减运算，这是整式加减的核心前提。
一、同类项的定义（双重标准，缺一不可）
所含字母完全相同，并且相同字母的指数也完全相同的项，叫做同类项。特别地，所有常数项都是同类项。
同类项示例（符合双重标准）
- 3x与-5x（字母x相同，指数均为1）
- -2xy 与7xy （字母x、y相同，指数分别为1、2）
- 4与-9（常数项，均为同类项）
- a b 与-3a b （字母a、b相同，指数分别为2、3）
非同类项示例（不符合双重标准）
- 2x与2x （相同字母x的指数不同）
- 3xy与2x（所含字母不同，缺少y）
- -5a b与3ab （相同字母的指数不同）
- π与3x（一个是常数，一个含字母）
易错提醒：同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关。如2xy与yx是同类项（字母及指数相同），-3a与5b不是同类项（字母不同）。
二、同类项的识别步骤
1. 圈出各项中的字母；
2. 标注每个字母的指数；
3. 对比“字母种类”和“对应指数”，完全一致即为同类项。
一、代数式的定义
用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。
代数式示例
- 单独的数：3、-5、0.8
- 单独的字母：a、x、y
- 数与字母的组合：2a、x-3、$\frac{1}{2}$xy
- 字母与字母的组合：ab、m n
非代数式示例（判断依据）
- x+3=5（含等号，是等式）
- 2x>1（含不等号，是不等式）
- $\sqrt{x}+1$（开方运算，初中阶段暂不重点研究）
二、代数式的书写规范（避免歧义，统一标准）
- 数字与字母相乘：数字在前，字母在后，乘号可省略或用“·”表示（如3×a写作3a或3·a，不能写作a3）；
- 字母与字母相乘：乘号可省略（如a×b写作ab）；
- 带分数与字母相乘：先把带分数化为假分数（如$1\frac{1}{2}x$写作$\frac{3}{2}x$，不能写作1$\frac{1}{2}$x）；
- 除法运算：用分数形式表示（如a÷b写作$\frac{a}{b}$，不能写作a÷b）；
- 含有加减运算的代数式：若后面接单位，需加括号（如“(m+28)岁”，不能写作m+28岁）。
第3页：核心运算1——合并同类项法则
合并同类项是整式加减的“核心动作”，通过合并同类项可将复杂整式化简为最简形式，其法则简洁明确。
一、合并同类项的法则
同类项的系数相加，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数保持不变。
口诀：“系数相加，字母不变，指数不变”。
二、法则的本质
合并同类项的本质是“逆用乘法分配律”，即ac + bc = (a + b)c，将同类项看作“相同字母部分与系数的乘积”，仅对系数进行加减运算。
三、典型例题与步骤
例1：合并同类项3x - 2x + 5x + 7x - 1
1. 找同类项：用不同符号标注同类项，3x 与5x （△标注），-2x与7x（○标注），-1（□标注）；
2. 移同类项：将同类项按顺序排列，3x + 5x - 2x + 7x - 1；
3. 合并系数：(3 + 5)x + (-2 + 7)x - 1 = 8x + 5x - 1。
例2：合并同类项-xy + 3xy - 2xy + xy
解答：(-1 + 3)xy + (-2 + 1)xy = 2xy - xy。
例3：合并同类项4a b - 3a b + a b
解答：(4 - 3 + 1)a b = 2a b（系数和为2，字母及指数不变）。
特殊情况：若同类项系数和为0，合并后该项消失。如2x - 2x + 3 = 0x + 3 = 3。
代数式中，整式是最基础的类型，根据组成形式可分为单项式和多项式：
类型
定义
核心要素
示例
单项式
由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式
1. 系数：单项式中的数字因数（包括符号）；2. 次数：单项式中所有字母的指数和
3a：系数3，次数1；-2x y：系数-2，次数3（2+1）；5：系数5，次数0（常数项次数为0）
多项式
几个单项式的和组成的代数式
1. 项：多项式中的每个单项式（含符号）；2. 常数项：不含字母的项；3. 次数：多项式中次数最高的项的次数
2x +3x-1：项为2x 、3x、-1，常数项-1，次数2（最高次项2x 的次数）；a b - ab + 5：次数4（a b的次数3+1）
易错点：1. 单项式的系数包含符号（如-5xy的系数是-5，不是5）；2. 多项式的项要带符号（如3x - 2x + 1的第二项是-2x，不是2x）；3. 常数项的次数为0（如7的次数是0，不是1）。
整式的定义：单项式和多项式统称为整式（分母中不含字母的代数式）。
第4页：核心运算2——去括号法则（运算前置条件）
整式加减中，若式子含有括号，需先去括号再合并同类项，去括号的准确性直接影响运算结果，务必掌握其符号变化规律。
一、去括号的核心法则（分两种情况）
括号前符号
去括号操作
符号变化规律
示例
“+”号（或无符号）
去掉括号和前面的“+”号
括号内各项符号不变
+(2x - 3y) = 2x - 3y；3(2x + y) = 6x + 3y（分配律）
“-”号
去掉括号和前面的“-”号
括号内各项符号全变
-(2x - 3y) = -2x + 3y；-3(2x + y) = -6x - 3y（分配律）
二、去括号的关键技巧
- “分配律优先”：当括号前有数字因数时，先将数字因数分配到括号内每一项，再判断符号（如-2(x - 1) = -2×x + (-2)×(-1) = -2x + 2）；
- “逐层去括号”：若有多层括号，从最内层开始，逐层应用法则（如2[x - (y - 1)] = 2[x - y + 1] = 2x - 2y + 2）；
- “符号标记法”：去括号前标注括号内各项符号，去括号后对照检查（如-(+a - b + c) = -a + b - c，标注后避免漏变符号）。
三、去括号常见错误规避
错例1：- (x + y - z) = -x + y - z（漏变y的符号）；正解：-x - y + z。
错例2：2(3x - 1) = 6x - 1（分配律漏乘-1）；正解：6x - 2。
错例3：3 - (2x - 5) = 3 - 2x - 5（括号前是“-”，漏变-5的符号）；正解：3 - 2x + 5 = 8 - 2x。
整式的加减运算本质是“合并同类项”，在运算前常需先“去括号”，两者是加减运算的核心步骤：
一、合并同类项（基础前提）
1. 同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（常数项都是同类项）；
示例：2x与3x是同类项，-5xy 与7xy 是同类项，3与-8是同类项；2x与2x 不是同类项（字母指数不同），3x与2y不是同类项（字母不同）。
2. 合并法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变（“变系数，不变字母与指数”）；
示例：3x + 5x = (3+5)x = 8x；-2xy + 7xy = (-2+7)xy = 5xy ；4a - 2a + 3 = (4-2)a + 3 = 2a + 3。
二、去括号法则（运算准备）
括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；
括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变；
示例：(2x + 3y) - (x - 2y) = 2x + 3y - x + 2y（去括号后-x变+x，-2y变+2y）；3(a - b) + 2(a + b) = 3a - 3b + 2a + 2b（分配律展开后符号正确）。
三、整式加减的完整步骤
1. 去括号：根据去括号法则或乘法分配律去掉括号；
2. 找同类项：用不同符号标注同类项，避免遗漏；
3. 合并同类项：按照合并法则化简，得到最简整式。
示例：计算(3x - 2x + 1) - 2(x - x + 3)
步骤1：去括号：3x - 2x + 1 - 2x + 2x - 6；
步骤2：找同类项：3x 与-2x ，-2x与+2x，1与-6；
步骤3：合并同类项：(3x -2x )+(-2x+2x)+(1-6)=x - 5。
第5页：整式加减的完整流程与规范步骤
整式加减的最终目标是将式子化为“最简整式”（即不含同类项的整式），需遵循“去括号—找同类项—合并同类项”的固定流程，确保运算有序准确。
一、整式加减的核心流程
graph LR
A[已知整式加减式子] -- 步骤1 --> B[去括号：按法则去掉所有括号]
B -- 步骤2 --> C[找同类项：标注不同类别的同类项]
C -- 步骤3 --> D[合并同类项：按法则化简系数]
D -- 步骤4 --> E[验证：检查是否还有同类项，确保最简]
二、规范步骤示例（分类型讲解）
类型1：单项式与多项式的加减
例：计算3x 与(2x - 5x + 1)的和与差。
（1）和：3x + (2x - 5x + 1)
步骤1：去括号：3x + 2x - 5x + 1；
步骤2：找同类项：3x 与2x ；
步骤3：合并：(3+2)x - 5x + 1 = 5x - 5x + 1。
（2）差：3x - (2x - 5x + 1)
步骤1：去括号：3x - 2x + 5x - 1；
步骤2：找同类项：3x 与-2x ；
步骤3：合并：(3-2)x + 5x - 1 = x + 5x - 1。
类型2：多项式与多项式的加减
例：计算(2x - 3x + x - 1) - (x - 2x - 3x + 2)。
步骤1：去括号：2x - 3x + x - 1 - x + 2x + 3x - 2；
步骤2：找同类项：2x 与-x ，-3x 与+2x ，x与+3x，-1与-2；
步骤3：合并：(2-1)x + (-3+2)x + (1+3)x + (-1-2) = x - x + 4x - 3。
类型3：含多层括号的加减
例：化简2[a - (2b - 3c)] + 3(2a - b)。
步骤1：去内层括号：2[a - 2b + 3c] + 6a - 3b；
步骤2：去外层括号：2a - 4b + 6c + 6a - 3b；
步骤3：合并同类项：(2+6)a + (-4-3)b + 6c = 8a - 7b + 6c。
代数式的值是指用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，是代数式的重要应用。
一、求代数式的值的步骤
1. 代入：用指定的数值代替代数式中的相应字母（注意：字母的值为负数或分数时，需加括号）；
2. 计算：按照代数式中的运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内）进行计算，得出结果。
二、典型例题
1. 基础计算：已知x=-2，求代数式3x - 2x + 1的值。
解答：代入x=-2，得3×(-2) - 2×(-2) + 1 = 3×4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17。
2. 整体代入：已知a + b = 5，求代数式2(a + b) - 3 + (a + b) 的值。
解答：将a + b=5整体代入，得2×5 - 3 + 5 = 10 - 3 + 25 = 32（无需单独求a、b的值，简化计算）。
技巧：当已知条件是字母的和、差或积时，优先考虑“整体代入法”，可避免复杂计算，提高效率。
三、注意事项
- 代入时要“对号入座”：确保每个字母都用对应的数值代替，不重复、不遗漏；
- 计算时要遵循运算顺序和符号规则：尤其是乘方运算和负数参与运算时，避免符号错误；
- 代数式化简后再求值：若代数式较复杂，先化简（如合并同类项）再代入，可减少计算量。
第6页：整式加减的技巧与整体思想应用
在复杂的整式加减中，灵活运用技巧可简化运算，其中“整体思想”是解决含字母代数式求值的核心方法，能大幅提升运算效率。
一、常见运算技巧
- 1. 同类项分组法：将同类项用括号分组，再分别合并（适合项数较多的整式）。
示例：(3x - 2x) + (5x + 7x) - (x - 4) = (3x +5x -x ) + (-2x+7x) - 4 = 7x + 5x - 4；
- 2. 符号归类法：将正数项和负数项分别归类，再合并（适合系数符号复杂的整式）。
示例：-3x + 5y - 2x - 7y + 1 = (-3x - 2x) + (5y - 7y) + 1 = -5x - 2y + 1；
- 3. 先化简再求值：若整式加减后需求值，先化简整式再代入数值（减少计算量）。
示例：先化简(2x - 3xy + y ) - (x - xy + y )，再求x=2，y=-1时的值。
化简：2x - 3xy + y - x + xy - y = x - 2xy；
代入：2 - 2×2×(-1) = 4 + 4 = 8。
二、整体思想的核心应用（重点）
当已知条件是“字母的和、差、积”等整体形式，而非单个字母的值时，将整体作为一个“新字母”代入计算，无需单独求字母值。
例1：已知x - y = 3，求整式2(x - y) - (x - y) + 3(x - y)的值。
解答：将x - y=3整体代入，得2×3 - 3 + 3×3 = 6 - 3 + 9 = 12。
例2：已知a + 2a = 5，求2a + 4a - 3的值。
解答：观察到2a + 4a = 2(a + 2a)，将a + 2a=5整体代入，得2×5 - 3 = 10 - 3 = 7。
例3：已知A = 2x + 3x - 1，B = x - x + 2，求2A - B的值（A、B作为整体）。
解答：2A - B = 2(2x + 3x - 1) - (x - x + 2) = 4x + 6x - 2 - x + x - 2 = 3x + 7x - 4。
整体思想关键：观察所求整式与已知整体的“倍数关系”，通过提取公因式等方式构造整体形式，实现快速求值。
列代数式是将实际问题中的数量关系用代数式表示出来，是代数式应用的核心能力，也是后续列方程的基础。
一、列代数式的核心步骤
1. 审清题意：明确问题中的数量关系，区分已知量和未知量（未知量用字母表示）；
2. 找准关系：分析数量之间的运算关系（和、差、积、商、倍、分等）；
3. 规范表达：按照代数式的书写规范写出代数式。
二、常见数量关系及示例
实际场景
数量关系
代数式表示
和差关系
x与5的和；x比y大3
x+5；x - y = 3（或x = y + 3）
倍分关系
x的3倍；x的$\frac{1}{2}$与y的和
3x；$\frac{1}{2}x + y$
行程问题
速度为v km/h，时间t小时的路程
vt（路程=速度×时间）
工程问题
工作效率为a，工作时间b的工作量
ab（工作量=效率×时间）
价格问题
单价m元，数量n件的总价；降价10%后的价格
mn；0.9m（或m - 10%m）
三、注意事项
- 明确“多、少、倍、分”的含义：“多”用加，“少”用减，“倍”用乘，“分”用除；
- 区分“平方和”与“和的平方”：x与y的平方和是x + y ，x与y的和的平方是(x + y) ；
- 结合实际意义：字母的取值要符合实际（如人数、数量为正整数，长度为正数）。
第7页：整式加减的实际应用场景
整式加减不仅是数学运算，更是解决实际问题的工具，在几何图形、经济生活、工程计算等场景中应用广泛，需掌握“列整式—再加减—求结果”的解题思路。
场景1：几何图形的周长与面积计算
例：一个长方形的长为(2x + 3)cm，宽为(x - 1)cm，将两个这样的长方形拼成一个大长方形，求大长方形的周长（分两种拼接方式）。
解答：单个长方形周长=2[(2x+3)+(x-1)]=2(3x+2)=6x+4；
方式1：长拼接（大长方形长=2(2x+3)，宽=x-1）
周长=2[2(2x+3)+(x-1)]=2[4x+6+x-1]=2(5x+5)=10x+10；
方式2：宽拼接（大长方形长=2x+3，宽=2(x-1)）
周长=2[(2x+3)+2(x-1)]=2[2x+3+2x-2]=2(4x+1)=8x+2。
场景2：经济生活中的费用与利润计算
例：某商店销售一种商品，进价为(15x + 20)元/件，售价为(20x + 30)元/件，本月卖出(100 - 5x)件，求本月的利润（利润=总售价-总进价）。
解答：总售价=(20x+30)(100-5x)（暂不展开），总进价=(15x+20)(100-5x)；
利润=总售价-总进价=(20x+30 - 15x - 20)(100-5x)=(5x+10)(100-5x)=5(x+2)×5(20-x)=25(x+2)(20-x)（化简结果）。
场景3：工程问题中的工作量计算
例：甲工程队的工作效率为(a + 2)平方米/天，乙工程队的工作效率为(a - 1)平方米/天，两队合作3天后，甲队单独做2天，求总工作量。
解答：总工作量=3[(a+2)+(a-1)] + 2(a+2)
=3(2a+1) + 2a+4
=6a+3 + 2a+4
=8a+7（平方米）。
场景4：代数式的比较大小
例：比较整式3x - 2x + 1与2x + x - 3的大小（用作差法：若A - B > 0，则A > B）。
解答：(3x - 2x + 1) - (2x + x - 3) = 3x - 2x + 1 - 2x - x + 3 = x - 3x + 4；
因x - 3x + 4 = (x - 1.5) + 1.75 ≥ 1.75 > 0，故3x - 2x + 1 > 2x + x - 3。
代数式学习中，易错点集中在概念混淆、书写不规范、运算失误等方面，需针对性规避：
易错点1：同类项判断错误
错例：认为2x y与3xy 是同类项；
规避：同类项需满足“字母相同且相同字母指数相同”，2x y中x的指数是2，y的指数是1；3xy 中x的指数是1，y的指数是2，故不是同类项。
易错点2：去括号符号错误
错例：化简-(2x - 3y)时误算为-2x - 3y；
规避：括号前是“-”号，去括号后各项符号都要改变，正确结果应为-2x + 3y，可通过分配律验证：-1×2x + (-1)×(-3y) = -2x + 3y。
易错点3：代数式求值代入错误
错例：已知x=-3，求x 的值时误算为-9；
规避：代入负数时加括号，x =(-3) =9，明确乘方运算的符号规则（负数的偶次幂为正）。
易错点4：列代数式语义理解错误
错例：“x的3倍与y的差”误列为3(x - y)；
规避：明确运算顺序，“x的3倍”是3x，再与y的差，应为3x - y，可通过“先读先写”原则梳理关系。
第8页：易错点汇总与章节核心总结
一、整式加减十大易错点汇总
1. 同类项判断错误：混淆字母与指数，如认为2xy与x y是同类项；规避：严格对照“字母相同、指数相同”双重标准。
2. 去括号符号漏变：括号前是“-”，仅变部分项符号；规避：去括号前标注各项符号，逐项检查。
3. 分配律漏乘：如2(x - 3) = 2x - 3；规避：将数字因数与括号内每一项相乘，不遗漏常数项。
4. 合并同类项系数计算错误：如-3x + 2x = -5x；规避：先确定系数符号，再算绝对值加减。
5. 多层括号运算混乱：未按“从内到外”顺序；规避：逐层去括号，每步只处理一层。
6. 整体代入时构造错误：如已知a - a = 2，求a - a + 3时未直接代入；规避：观察所求式与整体的直接关系。
7. 化简后未验证：结果仍含同类项；规避：化简后再次检查是否有同类项。
8. 字母取值忽略实际意义：如人数为负数；规避：结合场景确定字母取值范围（正整数、正数等）。
9. 作差比较大小时符号错误：如A - B计算错误导致大小判断反；规避：作差后先化简再判断符号。
10. 书写不规范：如将x 写作x2，系数为分数未化成最简；规避：遵循代数式书写规范。
二、章节核心知识体系
graph TD
A[整式的加减] -- 基础 --> B[同类项（定义、识别）]
A -- 前置步骤 --> C[去括号（法则、技巧）]
A -- 核心动作 --> D[合并同类项（法则、本质）]
A -- 拓展应用 --> E[整体思想（求值、化简）]
A -- 实际场景 --> F[几何、经济、工程等问题]
C & B --> G[整式化简（最简整式）]
G --> H[整式求值、比较大小]
三、核心口诀
整式加减并不难，核心步骤记心间；
先去括号再合并，同类项识别是关键；
括号前是正号，各项符号都不变；
括号前是负号，各项符号全改变；
同类项合并时，系数相加字母不变；
整体思想来帮忙，复杂求值变简单；
实际问题先列式，加减运算解疑难。
一、核心概念体系
graph TD
A[代数式] --> B[单项式（系数、次数）]
A --> C[多项式（项、常数项、次数）]
B & C --> D[整式]
A --> E[代数式的值（代入、计算）]
D --> F[整式加减（去括号、合并同类项）]
二、核心运算规则
- 合并同类项：系数相加，字母及指数不变；
- 去括号：“+”不变，“-”全变；
- 代数式求值：先化简（可选），再代入，后计算。
三、核心思想方法
- 抽象概括思想：用字母表示数，将具体问题抽象为数学表达式；
- 转化思想：将整式加减转化为合并同类项，将代数式求值转化为数值运算；
- 整体思想：在代数式求值中，通过整体代入简化计算。
四、解题口诀
代数式，要规范，数字字母先乘方；
单项式，看系数，次数相加莫慌张；
多项式，分清楚，项和次数记心上；
去括号，辨符号，正负变化要记牢；
同类项，连一线，系数相加字母保；
求数值，先化简，代入计算错不了。
同学们，我们学完整式的加减这章后，你的印象如何？掌握得怎么样？还有哪些不够清楚？下面我们一起来进行本章的复习和小结.
新知导入
列式表示数量关系
单项式
多项式
整式
合并同类项
去括号
整式加减运算
知识结构图
表示数或字母的积的式子叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式次数.
知识点1
知识复习
单项式
1. 对于式子-7πx2yz，下列说法正确的是（ ）
A.它的系数为-7 B.它的次数为3
C.它的次数为5 D.它的系数为-7π
D
针对训练
2. 指出单项式 的系数和次数.
解：它的系数为 ，次数为6.
几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数，不含字母的项叫做常数项.
知识点2
多项式和整式
1. 多项式-3x2-6xy+1的各项分别为（ ）
A. -3x2，6xy，1 B. -3x2，-6xy，1
C. -3x2，-6xy，-1 D. 3x2，6xy，1
B
针对训练
2. 若多项式(n-2) xy2+x2y|n|+1是关于x，y 的四次三项式，则n=______.
-2
所含字母相同，而且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项的法则是合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
知识点3
合并同类项
计算：2a2-3ab+4b2-5ab-6b2.
解：原式=2a2+(-3-5) ab+(4-6)b2
=2a2-8ab-2b2.
针对训练
去括号的法则是如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
知识点4
去括号
解：原式=4x2-5xy- y2-2x2+6xy- y2- y2
=2x2+xy-y2
计算：(4x2-5xy)-( y2+2x2)+2(3xy- y2- y2)
针对训练
整式加减计算的一般步骤是如果有括号的先去括号，再合并同类项.
求整式的值的一般步骤是：先将式子化简，再代入数值进行计算.
知识点5
整式的加减
解: a2b是单项式，系数为 ，次数为3；
复习巩固
1. 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
1. 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
x2+y2-1是多项式，共有x2，y2，-1三项，次数为2;
x是单项式，系数为1，次数为1;
解: 是单项式，系数为 ， 次数为6;
3x2-y+3xy2 +x4-1是多项式，有3x2,-y, 3xy2, x4, -1五项，
次数为4；
32t3是单项式，系数为32,次数为3;
2x-y是多项式，有2x，-y两项，次数为1.
1. 下列整式中哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数：
2. 写出一个单项式，使它与多项式m+2n2的和为单项式.
解：-m (或-2n2).
3. 计算：
（1）x2y-3x2y
（2）
解：原式=-2x2y
原式=-a2bc
(3) (4) 5x4+3x2y-8-3x2y-x4-2
(5) 7ab-3a2b2+7+8ab2+2a2b2-3-5ab
原式=
原式=4x4-10
原式=-a2b2+8ab2+2ab+4
4. 计算：
(1) (4a3b-10b3)+(-3a2b2+10b3)
(2) (4x2y-5xy2)-(3x2y-4xy2)
解：原式= 4a3b-10b3-3a2b2+10b3
= 4a3b-3a2b2
原式= 4x2y-5xy2-3x2y+4xy2
= x2y-xy2
(3) 3(2a2+4b)+3(-5a2-2b)
(4) 3(x2-2xy)-4(2x2-xy+1)
解：原式= 6a2+12b-15a2-6b
= -9a2+6b
原式= 3x2-6xy-8x2+4xy-4
= -5x2-2xy-4
(5) 5a2-[a2+(5a2-2a)-2(a2-3a)]
(6) 3x2-[5x-( x-3)+2x2)]
解：原式= 5a2-a2-5a2+2a+2a2-6a
= a2-4a
原式= 3x2-5x+ x-3-2x2
= x2- x -3
5. 先化简，再求值：
（1）5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x，其中x=-3；
解：(1) 5x2+4-3x2-5x-2x2-5+6x
=(5-3-2)x2+(6-5)x+(4-5)
=x-1.
当x=-3时,原式=-3-1=-4.
（2） ，其中a=-2，b=2.
(2)
= 2a2b+ab2-3a2b+3-2ab2-1
= -a2b-ab2+2
当a=-2，b=2时，原式= -(-2)2×2-(-2)×22+2=2.
综合运用
6.（1）列式表示比a的5倍大4的数与比a的2倍小3的数，并计算这两个数的和;
(2)列式表示比b的7倍小3的数与比b的6倍大5的数，并计算这两个数的差.
解:（1）5a+4，2a-3；
(5a+4)+(2a-3)= 7a+1.
（2）7b-3，6b+5；
(7b-3)-(6b+5)=7b-3-6b-5=b-8.
7. 某轮船先顺水航行3 h，后逆水航行1.5 h，已知轮船在静水中的速度是a km/h，水流速度是b km/h，轮船共航行多少千米？
解：由3(a+b)+1.5(a-b)=3a+3b+1.5a-1.5b
=4.5a+1.5b
可知，轮船共航行(4.5a+1.5b) km.
8. 如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色. 按照这样的规律，第4个图案中有多少个涂色的小正方形？第n个图案呢？
（1）
（2）
（3）
······
解：第4个图案中有17个涂色的小正方形，
第n个图案中有(4n+1)个涂色的小正方形.
拓广探索
9. 用代数式表示十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数，再把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，计算所得数与原数的和. 这个和能被11整除吗？
解:十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数是10a+b；把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置后的两位数是10b+a.
它们的和是(10a+b)+(10b+a)=11a+11b.
因为(11a+11b)÷11=a+b， a，b为自然数，
所以这两个数的和能被11整除.
解：（1）原式= 6(a+b)-(a+b)
=5(a+b)
（2）原式= 11(x+y)2-(x+y)
10. 把(a+b)和(x+y)各看成一个整体，对下列各式进行化简：
（1） 4(a+b)+2(a+b)-(a+b)；
（2） 3(x+y)2-7(x+y)+8(x+y)2+6(x+y).
考点1 单项式
1. 单项式 的系数是( )
A
A. B. 3 C. D.
返回
2.若关于，的单项式与 的系数、次数均相同，
求， 的值.
【解】因为关于，的单项式与 的系数、次数
均相同，
所以,,解得, .
返回
考点2 多项式
3. ［2025盐城期中］下列式子，， ，
中，多项式有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
4.已知，均为有理数，
是关于的二次三项式，则 ___.
0
返回
考点3 整式
5.下列各式：；；； ；
；；； 中，是整式的有______
_________，是单项式的有________，是多项式的有________.
（填序号）
①②
③④⑥⑦
①②⑥
③④⑦
返回
考点4 同类项及合并同类项
6. ［2025深圳罗湖区期中］若单项式与 是
同类项，则 的值是( )
A
A. B. 0 C. 1 D. 2 025
返回
7. 下列计算不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
D
返回
考点5 去括号
8. 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道运
算题，你认为做对的同学是( )
甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁： .
C
A. 甲和丁 B. 乙和丙
C. 甲和丙 D. 乙和丁
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9.［2025济南市中区期中］化简:
（1） ;
【解】 原式
.
（2） .
原式
.
返回
考点6 整式的加减
10.［2024德阳］若一个多项式加上 ，结果是
，则这个多项式为 _______.
返回
11.先化简，再求值： ，其
中， .
【解】原式
.
当， 时，原式
.
返回
12. 已知 ，小明同学
错将“”看成“ ”，算得结果为
.
（1）求 ;
【解】因为 ，
所以
.
（2）求 .
.
返回
考点7 整式加减的应用
13.一个四位数的千位与个位的数字均为 ，百位与十位的数
字均为 ，这个四位数能被11整除吗？请说明理由.
【解】这个四位数能被11整除，理由如下：
.
因为 是整数，
所以这个四位数能被11整除.
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14. 一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念
物力维艰，为了让同学们养成良好的节约习惯，学生会倡导
的勤工俭学活动效果显著，每个班级把本班的废弃试卷、书
本进行分类整理，每周把废品统一卖出，钱款用于班级日常
开支，上周七年级一、二、三班的同学通过勤工俭学活动“收
入斐然”：一班收入 元，二班收入比一班收入的2倍少80元，
三班收入比二班收入的一半多100元.
（1）用含 的式子表示三个班的上周总收入；
【解】三个班的上周总收入是
（元）.
（2）当 时，求三个班的上周总收入．
当 时，
三个班的上周总收入是 （元）.
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15.母题教材P105活动1 如图是2025年
9月的月历.
（1）带阴影的十字框中的5个数之和
与十字框中心的数有什么关系？
【解】带阴影的十字框中的5个数之和
是十字框中心的数的5倍.
（2）不改变十字框的大小，如果将带阴影的十字框移至其
他几个位置，你能得出什么结论？你知道为什么吗？
结论：带阴影的十字框中的5个数之和
是十字框中心的数的5倍，理由如下：
设十字框中心的数为 ,则其余4个数分
别为,,, ,所以带阴
影的十字框中的5个数之和为
所以带阴影的十字框中的5个数之和是十字框中心的数的5倍.
，
（3）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？
【解】 这个结论对于任何一个月的月历都成立.
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思想1 分类讨论思想
16.若多项式是关于 的五次二项式，
求 的值.
【解】由题意知分三种情况：①当时，解得 ；
②当,为同类项时，此时 ，故多项式变为
，满足题意；③当 ,
为同类项时，此时 ，故多项式变为
，满足题意.综上所述， 或
或 .
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思想2 整体思想
17. 已知， ，则
的值是( )
D
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
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思想3 数形结合思想
18. 如图，在数轴上表示有理数、、、 的点的位置如
图所示，若 ，则
的值是( )
B
A. 77 B. 78 C. D.
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