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(共46张PPT)
人教版（2024）版数学7年级上册
第一章 有理数
章末复习
知识结构图
正数和负数
有理数
数轴
数与点的对应
相反数
绝对值
有理数的大小比较
第一章 有理数 章末复习
第1页：章节知识框架图
有理数章节核心知识脉络，理清各知识点间的联系：
graph TD
A[有理数] --> B[有理数的概念]
A --> C[有理数的运算]
A --> D[有理数的应用]
B --> B1[正数与负数]
B --> B2[有理数的分类]
B --> B3[数轴]
B --> B4[相反数]
B --> B5[绝对值]
C --> C1[有理数的加减]
C --> C2[有理数的乘除]
C --> C3[有理数的乘方]
C --> C4[混合运算]
D --> D1[科学记数法]
D --> D2[近似数与有效数字]
D --> D3[实际问题应用]
核心主线：以“数轴”为工具，串联“相反数、绝对值”等概念，支撑有理数的各类运算及应用。
第2页：核心概念（一）——有理数的定义与分类
1. 正数与负数
- 正数：大于0的数（如+3、2.5、1/2，“+”可省略）；
- 负数：在正数前加“-”的数（如-5、-1.8、-3/4，“-”不可省略）；
- 0的意义：既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界，可表示“没有”“基准量”（如海拔0米）。
2. 有理数的分类（两种标准）
按定义分类
- 整数：正整数、0、负整数（如1、0、-2）；
- 分数：正分数、负分数（如3/4、-0.6）；
- 整数和分数统称有理数。
按性质分类
- 正有理数：正整数、正分数；
- 0；
- 负有理数：负整数、负分数。
易错点：π不是有理数（它是无限不循环小数），但3.14是有理数。
第3页：核心概念（二）——数轴、相反数、绝对值
概念
定义/特征
性质/结论
数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线
1. 数轴上的点与有理数一一对应；2. 右边的点表示的数总比左边的大
相反数
只有符号不同的两个数（0的相反数是0）
1. 若a与b互为相反数，则a+b=0；2. 数轴上表示相反数的点关于原点对称
绝对值
数轴上表示数a的点到原点的距离，记为|a|
1. |a|≥0（非负性）；2. 当a>0时，|a|=a；a=0时，|a|=0；a<0时，|a|=-a
示例：| -3 | = 3，-（-2）= 2，数轴上表示-1和3的点，距离原点分别为1和3，且3在-1右侧，故3 > -1。
第4页：重点运算（一）——有理数的加减运算
1. 加法法则（核心：先定符号，再算绝对值）
- 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加（如3+5=8，-3+(-5)=-8）；
- 异号两数相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值（如3+(-5)=-2，-3+5=2）；
- 互为相反数相加得0（如3+(-3)=0）；一个数加0仍得原数。
2. 减法法则（转化思想：减变加，数变反）
a - b = a + (-b)（如5 - 8 = 5 + (-8) = -3，-5 - (-8) = -5 + 8 = 3）
3. 加减混合运算技巧
- 统一成加法：将式子化为省略加号的和的形式（如-3 - 5 + 2 = -3 + (-5) + 2）；
- 简便运算：同号结合、相反数结合、凑整结合（如(3+7)+(-5-2)=10-7=3）。
第5页：重点运算（二）——乘除、乘方运算
1. 乘法法则
- 符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0（如3×5=15，-3×(-5)=15，-3×5=-15）；
- 多个有理数相乘：负因数个数为偶数得正，奇数得负，再算绝对值乘积。
2. 除法法则（转化思想：除变乘，数变倒）
a ÷ b = a × (1/b)（b≠0），符号规则同乘法（如6÷(-2)=6×(-1/2)=-3，-6÷(-2)=3）
3. 乘方法则（核心：底数为正，结果为正；底数为负，看指数奇偶）
- 定义：n个相同因数a相乘，记为a （如2×2×2=2 ，(-2)×(-2)=(-2) ）；
- 符号规则：(-a) ：n为奇数得负，n为偶数得正（如(-2) =-8，(-2) =4）；
- 注意：-a 与(-a) 的区别（如-2 =-4，(-2) =4）。
4. 混合运算顺序
先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（如-2 + 3×(-4) = -4 -12 = -16）。
第6页：核心应用——科学记数法与近似数
1. 科学记数法
- 表示形式：a×10 （1≤|a|<10，n为整数）；
- n的确定：原数绝对值≥10时，n为正整数，等于整数位数减1（如567000=5.67×10 ）；原数绝对值<1时，n为负整数，绝对值等于左起第一个非零数前零的个数（如0.000567=5.67×10 ）。
2. 近似数与有效数字
- 近似数：与实际接近的数（如π≈3.14，是精确到百分位的近似数）；
- 有效数字：从左边第一个非零数字起，到末位数字止的所有数字（如0.0314有3个有效数字：3、1、4；3.14×10 有3个有效数字：3、1、4）。
易错点：用科学记数法表示的数，有效数字只看a的部分，精确位数需还原后判断（如3.14×10 精确到千位）。
第7页：易错题型辨析与总结
易错点1：概念混淆
例：判断“带负号的数都是负数”“有理数包括正数、负数和0”是否正确？
解析：① 错误（如-(-2)=2是正数）；② 正确（有理数分类的基本结论）。
易错点2：运算符号错误
例：计算-3 - (-2) 错解：9 - (-8)=17 正解：-9 - (-8)=-1
解析：注意乘方符号优先级，-3 是“3的平方的相反数”，(-2) 是“-2的立方”。
易错点3：绝对值非负性应用
例：已知|a+2| + |b-3|=0，求a+b的值。
解析：绝对值非负，和为0则每一项为0 → a+2=0，b-3=0 → a=-2，b=3 → a+b=1。
易错点4：科学记数法的n值判断
例：将0.0000201用科学记数法表示 错解：20.1×10 正解：2.01×10
解析：a需满足1≤|a|<10，n的绝对值是左起第一个非零数前零的个数。
第8页：章节核心总结
1. 三大核心思想
- 转化思想：减法转加法、除法转乘法、复杂运算转简便运算；
- 分类讨论思想：有理数分类、加法法则、乘方法则等均体现分类；
- 数形结合思想：用数轴表示有理数，将抽象数与具体点结合。
2. 核心公式与结论
- 相反数：a的相反数是-a，a+b=0 a、b互为相反数；
- 绝对值：|a|=| -a |，|a|≥0；
- 运算律：加法交换律a+b=b+a、结合律(a+b)+c=a+(b+c)，乘法交换律ab=ba、结合律(ab)c=a(bc)、分配律a(b+c)=ab+ac。
3. 解题步骤口诀
遇运算，先定号，再算绝对值错不了；遇概念，抓本质，数轴相反数记心间；遇应用，明题意，科学记数近似要精准。
1. 正数和负数
大于 0 的数叫作正数，在正数前加上符号“-”的数叫作负数.
表示具有相反意义的量
0 既不是正数，也不是负数.
2. 有理数的概念及分类
概念：可以写成分数形式的数称为有理数.
分类：正有理数、0、负有理数.
可以写成正分数形式的数
可以写成负分数形式的数
3. 有理数的有关概念
0
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
数轴概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
正半轴、负半轴：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴.
相反数：只有符号不同的两个数，互为相反数，0 的相反数是 0.
在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数.
绝对值：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作 | a |.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.
4. 有理数的大小比较
利用数轴比较：数轴上两个点表示的数，左边的数小于右边的数.
利用正负性比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数.
利用绝对值比较：两个负数，绝对值大的反而小.
1. 填空题.
(1) 如果温度上升 3 ℃记作 +3 ℃，那么下降 2 ℃记作 ℃;
(2) 如果收入用正数表示，支出用负数表示，
那么 -56 元表示 元.
答案：(1) -2； (2)支出 56.
2. 在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序排列，再用“< ”连接起来:
3，-4，0，2，-2，-1.
3
-2
0
-4
2
-1
-4＜-2＜-1＜0＜2＜3
解：如图所示：
3.分别写出 -2，-5，7.5 的相反数和绝对值.
解：相反数分别为：2，5，-7.5；
绝对值分别为：2，5，7.5
4. 比较下列各组数的大小:
(1) +(-3) 和 -(-4)； (2) -(-2) 和 -| +2 |;
(3) +| -3 |和 |-(+5)|；
(4) 和 .
解：(1) 因为 + (-3) = -3，-(-4) = 4，
所以 -3 < 4，即 +(-3) < -(-4).
(2) 因为 -(-2) = 2，-|+2| = -2
所以 2 > -2，即 -(-2) > -|+2|.
4. 比较下列各组数的大小:
(3) +| -3 |和 |-(+5)|；
(4) 和 .
(3)因为 +| -3 | = 3，| -(+5) | = 5，
所以 3 < 5，即 +| -3 | < |- (+5) |.
(4)因为
所以 ，即
5. 下表是某公司某年四个季度的盈利情况，把它们按从高到低的顺序排列.
时间 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
盈利/万元 －6.8 －10.7 31.5 27.8
解：31.5＞27.8＞－6.8＞－10.7.
答：所给增幅中 –9.6% 最小．
增幅是负数说明人均水资源是减少的．
6.某年我国人均水资源比上年的增幅是一5.6%.后续三年各年比上
年的增幅分是－4.0%，13.0%，－9.6%，这些增幅中哪个最小？
增幅是负数说明什么？
解：x 可能取的所有数值在数轴上表示如图所示：
7.已知x是整数,并且﹣3所有数值.
8.a,b是有理数,它们在数轴上的对应点的位置如图所
示,把a,－a,b,－b按照从小到大的顺序排列,正确的
是( )
(A)－b<－a(C)－bC
解：(1) +5，+0.7 表示超过标准的质量的克数分别为 5 克，0.7克；
–3.5，-2.5，-0.6 表示低于标准的质量的克数分别为 3.5 克，2.5 克，0.6 克.
9.如图，检测 5 个排球,其中超过标准质量的克数记为正数.
从轻重的角度看，哪个球最接近标准？
(1) +5，-3.5， +0.7，- 2.5，-0.6 各表示什么
(2) 因为 |–0.6|＜|+0.7|＜|–2.5|＜|–3.5|＜|+5|，
所以最右边的球最接近标准．
9. 如图，检测5个排球,其中超过标准的克数记为正数.
从轻重的角度看，哪个球最接近标准？
(2) 哪个球的质量最接近标准质量 请说明理由.
答：（1）–1 与 0 之间还有负数，如 –0.5； 0 与 1 之间没有负数，因为 0 与 1之间的数都大于0．
（2）–3 与 –1 之间还有负整数 –2，–2 与 2 之间有整数 –1，0，1.
（3）没有． （4）例如：–102，–101，–101.5（答案不唯一）.
10.(1)－1与0之间还有负数吗？0与 1 之间呢？如有,请举例.
如果没有请说明理由
(2)-3与－1之间有负整数吗？－2与2之间有哪些整数？
(3)有比－1大的负整数吗？
(4)写出3个小于－100并且大于－103的数.
答：当 |x| = 2 时，x 不一定是 2（还可以是 –2）；
如果 |x| = 0，那么 x = 0；
如果 x = –x，那么 x = 0．
11.如果|x|=2,那么x一定是2吗？如果|x|=0,那么x等于几？
如果x=－x，那么x等于几？
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每题4分，共32分）
1. 2025年4月24日17时17分，搭载神舟二
十号载人飞船的长征二号 遥二十运载火箭在酒泉卫星发射
中心点火发射.若火箭发射点火前5秒记为 秒，那么火箭发
射点火后10秒应记为( )
A
A. 秒 B. 秒
C. 秒 D. 秒
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2. 下列对“0”的说法正确的个数是( )
是正数与负数的分界；
只表示“什么也没有”；
可以表示特定的意义，如 ；
是正数.
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 下列有理数：，，，，0，， ，
，6， ，其中非负有理数有( )
D
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
4. 下列各组数：与，与，与 ，
与12，与 ，其中互为相反数的有( )
D
A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组
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5. 凝固点是晶体物质凝固时的温度，标
准大气压下，下列选项中凝固点最低的是( )
B
A. 铝 B. 酒精
C. 水银 D. 水
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6. 母题教材P22复习题 有理数， 在数轴上的对应点如
图所示，则下列结论正确的是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】因为，所以 .
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7. 地球自西向东自转，太阳在天空中的位置看起来从东往西
移动，东边的地区会更早看到太阳升起，时间更早，西边相
对较晚.比如日本比中国更靠东，所以北京时间为早上6时时，
东京已经是早上7时了.如图用数轴表示了五个国家首都的国
际标准时间（单位：时）,春节联欢晚会于北京时间2025年1
月28日20时开场，此时应是( )
A. 华盛顿时间2025年1月28日15时
B. 伦敦时间2025年1月29日4时
C. 巴黎时间2025年1月28日13时
D. 东京时间2025年1月29日5时
√
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8. 如图，周长为6个单位长度的圆上的六等
分点分别为，，，，，，点 落在1的位置.如果将圆
在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在 位置上的是点
( )
D
A. B. C. D.
【点拨】由图可知，滚动1周，
点对应的数是0，点 对应的
数是，点对应的数是 ，
点对应的数是，点对应的数为，点对应的数为 ，
继续滚动，点对应的数为，点对应的数为， .
因为 与1相距2 026个单位长度，
，所以落在位置上的是点 .故
选D.
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二、填空题（每题4分，共20分）
9.某种零件，标明要求是 表示直径，单位：
，经检查，一个零件的直径是 ，该零件_______
___（填“合格”或“不合格”）.
不合格
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10.下列四组有理数的比较大小：
；； ；
.
正确的是______（填序号）.
③④
返回
11.已知有理数，，，且 ，则化简
______.
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12.如图所示，点，，为数轴上三点，且当 为原点时，
点表示的数是2，点表示的数是5.若以点为原点，则点
表示的数是____，点表示的数是___；若点， 表示的两个
数互为相反数，则点 表示的数是______.
3
【点拨】由题意可知，，所以 ，所以以
点为原点时，点表示的数是，点 表示的数是3.若点
，表示的两个数互为相反数，则的中点设为 为原点，
所以，所以.易知点 在
点的右边，所以点表示的数是 .
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13. 在数轴上，点表示的数是，点 表示
的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上点
的相关点为点，点的相关点为点，点 的相关点为点
，这样依次得到点，，，， ，.若点
在数轴表示的数是，则点 在数轴上表示的数是____.
返回
三、解答题（共48分）
14.（12分）把下列各数填在相应的集合里：
，，6，0，，2，，， .
整数集合：{ ， ；
正数集合：{ ， ；
非负整数集合：{ ， .
【解】整数集合：，6，0，2，， ；
正数集合：，6，，2，， ；
非负整数集合：，0，2， .
返回
15.（12分） 小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她
们两个一起参加社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们
自己确定一个出场顺序，可她们两个争着先出场，最后，主
持人想了一个主意，如图所示.
【解】，，的绝对值是 ，
，0的相反数是0.
将化简后的数在数轴上表示出来如图所示：
.
返回
16.（12分）已知,满足,且, 为整数.
（1）直接写出, 的最大值；
【解】因为,且,为整数，所以的最大值为3,
的最大值为4.
（2）当,为何值时， 有最小值
因为,所以当时，最小.因为,所以 的最
小值为.所以当,时， 有最小值.
返回
17.（12分）某中学开展“读经典书，做儒雅人”活动，活动中
某班流动图书角平均每天借出图书10本.如果某天借出13本，
就记作本；如果某天借出6本，就记作 本.国庆节前一周
（星期一到星期五）该班流动图书角借出的图书记录如下：
（单位：本）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
0
（1）该班流动图书角星期五借出图书多少本？
【解】 （本）.
答：该班流动图书角星期五借出图书23本.
（2）该班流动图书角星期二比星期四多借出图书多少本？
星期二借出图书 （本），星期四借出图书
（本）, （本）.
答：该班流动图书角星期二比星期四多借出图书10本.
（3）本周该班流动图书角平均每天借出图书多少本？
星期一借出图书10本，星期三借出图书 （本），
一共借出图书 （本），
（本）.
答：本周该班流动图书角平均每天借出图书15本.
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