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专题 力动态平衡问题
【扬帆起航系列】2024-2025学年高中物理同步备课必修第一册
授课人：扬帆起航
新人教版（2019）
第三章 相互作用—力
01
动态平衡问题的五种处理方法
02
共点力平衡中的临界和极值问题
目录/contents
动态平衡问题是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生缓慢改变。“缓慢”指物体的速度很小，可认为速度为零，所以在变化过程中可以认为任一时刻都处于平衡状态，就把物体的这种状态称为动态平衡态。
动态平衡问题的处理方法:解决这一类问题的一般思路,是把“动”化为“静”,“静”中求“动”。
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解题关键：
化动为静，静中求动，在变中找到不变。
动态平衡：
物体处于一系列的平衡态中，此过程中外力在发生变化，但合力始终为零。
所谓动态平衡，就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢的变化。
方法一 解析法
01
题型特点：
受三个以上的力平衡，用合成法、分解法、正交分解进行分析，建立平衡方程，求出应变量与自变量的一般函数式，然后根据自变量的变化确定应变量的变化(结合三角函数知识）。
【例题】如图所示，人站在岸上通过定滑轮用绳牵引小船，若水的阻力恒定不变，则在船缓慢靠岸的过程中，绳的拉力和船受到的浮力如何变化？
Fy
Fx
G
F浮
f
F
x
y
?
答案：绳的拉力逐渐变大，船受到的浮力逐渐减小。
【例题】如图所示，人的质量为M，物块的质量为m，且M>m，若不计绳与滑轮的摩擦，则当人拉着绳向右跨出一步后，人和物仍保持静止，则下列说法中正确的是（ ）
A．地面对人的摩擦力减小
B．地面对人的摩擦力增大
C．人对地面的作用力不变
D．人对地面的作用力增大
BD
死结与活结 死杆与活杆
【例题】如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
题图甲和乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。
解析：
(3)图乙中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcos 30°＝FNG，所以FNG＝M2gcot 30°＝????M2g，方向水平向右。
?
(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图乙中由FTEGsin 30°＝M2g，得FTEG＝2M2g。
所以????????????????????????????????＝????????????????????。
?
(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°，指向右上方。
方法二 图解法
02
图解法求解的问题受力往往有这样的特点(图解法条件)：
（1）物体受三个力;
（2）有一个力大小、方向都不变（一般是重力）；
（3）还有一个力的方向不变、大小变（另一个力大小方向都改变）
用图解法处理最简单：
处理方法：受力分析后，将两个变力进行合成或者将不变的力进行分解。(也可以用三角形定则)
【例题】如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定圆环上的A、B两点，O为圆心。O点下面悬挂一重物M，绳OA水平。保持O点和细绳OB的位置，使A点沿圆环支架顺时转到Aˊ的过程中，细绳OA及细绳OB的拉力如何变化?
O
A
B
M
Aˊ
F=G
FA
FB
FAB=G
【例题】如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿顺时针方向绕O点缓慢移动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化？
G
FN2
FN1
F=G
G
FN1
FN2
FN2
G
FN1
FN2
G
FN1
【例题】如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿顺时针方向绕O点缓慢移动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化？
【例题】如图所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、TB、TC，保持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向上移动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A、TA、TB一直减少；
B、TA一直增大，TB一直减少；
C、TA先增大后减少，TB先减少后增大；
D、TA先减少后增大，TB一直减少；

D
TC
TB
TA
TC
TA
TB
【例题】如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动，在这一过程中，环对杆的摩擦力为Ff和环对杆的压力FN的变化情况是 (　　)
A.Ff不变，FN不变　　 B.Ff增大，FN不变
C.Ff增大，FN减小 D.Ff不变，FN减小
B
解析：
以结点O为研究对象进行受力分析。由题可知，O点处于动态平衡，则可作出三力的平衡关系图如图(a)，由图可知水平拉力增大。以环、绳和小球构成的整体作为研究对象，作受力分析图如图(b)，由整个系统平衡可知FN＝(mA＋mB)g，Ff＝F。即Ff增大，FN不变，故B正确。
方法一：图解法
【例题】如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上。现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动，在这一过程中，环对杆的摩擦力为Ff和环对杆的压力FN的变化情况是 (　　)
A.Ff不变，FN不变　　 B.Ff增大，FN不变
C.Ff增大，FN减小 D.Ff不变，FN减小
B
解析：
以结点O为研究对象，受力分析如图(a)所示，由平衡条件得FTcosα＝mBg，FTsinα＝Ff，故FT＝????????????????????????????，F＝mBgtanα。以环、绳和小球构成的整体为研究对象，受力分析如图(b)所示，由平衡条件得FN＝(mA＋mB)g，Ff＝F＝mBgtanα。B上升过程中，α增大，tanα增大，Ff增大，而FN不变。选项B正确。
?
方法二：解析法
【例题】如图所示,粗糙水平面上放有截面为 ? 圆周的柱状物体A , A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B,对A施加一个水平向左的力F,使A缓慢地向左移动少许,在这一过程中(　　)
A.A受到的摩擦力增大　????
B.A受到的合力减小
C.A对B的弹力增大　????
D.墙壁对B的弹力减小
D
解析:对B球受力分析,受到重力mg、A球对B球的弹力N'和墙壁对B球的弹力N,如图所示:当A球向左移动后,A球对B球的支持力的方向不断变化,根据平衡条件并结合合成法知:A球对B球的弹力和墙壁对B球的弹力N都在不断减小,故C错误,D正确;由于A缓慢地向左移动,A处于动态平衡过程,A所受合
力始终为零,A所受合力不变,故B错误;对A和B整
体受力分析,受到总重力G、地面支持力FN,推力
F、墙壁的弹力N,水平面对它的摩擦力f,如图所示:
根据平衡条件有:F=N+f,FN=G,地面的支持力不变,
由于壁对B球的弹力N的不断减小,f=F-N,由于不知F
如何变化,f可能减小,也可能增大,还可能不变,故A错误;故选D。
方法三 相似三角形法
03
题型特点：
相似三角形法适用于物体所受的三个力中：
（1）一个力大小、方向不变。
（2）其它二个力的方向均发生变化（大小一般也变化），
一般三个力中没有二力保持垂直关系。与物体有关的几何三角形两边长度大小不变
处理方法：受力分析后，将两个变力进行合成或者将不变的力进行分解，再找到力三角形（或矢量三角形）与几何三角形相似，根据对应边成比例求解。
Tg=G
N
F
T=G
A
?TNB ∽ ?OBA
N
AB
F
OB
T
OA
=
=
如图，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的O点，用一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的大小．
F
FN
G
相似三角形法：力的三角形与几何三角形相似
FT
????????????=????????+?=????????????
?
【例题】如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是( )。
A、N变大，T变小，
B、N变小，T变大
C、N变小，T先变小后变大
D、N不变，T变小
D
G
FN
T
G
FN
T
解析：小球每一时刻都处于平衡状态，作出小球的受力分析示意图，根据平衡条件，由矢量三角形和几何三角形相似，可得
FN
FT
G
O
R
h
可知选项D正确。
所以
【例题】如图所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定，杆的A端用铰链固定，光滑轻小滑轮在A点正上方，B端吊一重物，现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前(均未断)，关于绳子的拉力F和杆受的弹力N的变化，判断正确的是(　　)
A．F变大
B．F变小
C．N变大
D．N变小
Tg=G
N
F
T=G
A
?TNB ∽ ?OBA
N
AB
F
OB
T
OA
=
=
B
【例题】如图所示，轻弹簧的劲度系数为k，一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器底部O′处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的A小球相连，小球静止于P点，OP与水平方向的夹角为θ=30°，若换成质量为2m的小球B与弹簧相连，小球静止在 之间的M点（图中没有标出），重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．容器对小球A的支持力为mg
B．容器对小球B的支持力为2mg
C． 的长度为
D．弹簧的原长为
方法4 拉密原理法
04
拉密原理求解三力平衡问题
拉密原理法：
如果在三个共点力作用 下物体处于 平衡状态,那么各力的大 小分别与另外两 个力 所夹角的正弦成正比。
拉密原理法在处理一个角度不变的问题是特别简便
例题：一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心O点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。轻推圆环使其向右缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中（ ）
A．AO绳中最大拉力2mg
B．AO绳中最大拉力mg
C．BO绳中最大拉力1.5mg
D．BO绳中最大拉力 mg
A
A
【例题】如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线和水平线的夹角为α=60°。则两小球的质量比 为( )
解法二:合成法。
以小球m1为研究对象,受力分析如图所示,小球m1受到重力m1g、碗对小球的支持力FN和细线的拉力FT
三力作用而处于平衡状态。
则FN与FT的合力F=m1g,
根据几何关系可知
【例题】如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线和水平线的夹角为α=60°。则两小球的质量比 为( )
解析:小球m2受重力和细线的拉力处于平衡状态,则由二力平衡条件得FT=m2g。
解法三:正交分解法。
以小球m1为研究对象,受力分析如图所示,以FN的方向为y轴,垂直于FN的方向为x轴建立坐标系。FN与FT的夹角为60°,m1g与y轴成30°角。
在x轴方向上,由物体的平衡条件有
【例题】如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O点为其球心,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线和水平线的夹角为α=60°。则两小球的质量比 为( )
方法5 辅助圆法
05
辅助圆法：适用于物体受三个力处于动态平衡时，其中一个力大小、方向均确定,另两个力大小、方向均不确定,但是这两个力的方向夹角保持不变（即这两个力间夹角不变）。
.
mg
FT1
FT2
【例题】如图所示，装置中两根细绳拴住一球,保持两细绳间的夹角θ=120°不变,若把整个装置顺时针缓慢转过90°,则在转动过程中,CA绳的拉力FT1,CB绳的拉力FT2的大小变化情况是( )
A.FT1先变小后变大
B.FT1先变大后变小
C.FT2先变小后变大
D.FT2一直变小，且最终变为零
【解析】方法一:解析法
整个装置顺时针转过一个角度后,小球受力如图所示,设AC绳与竖直方向夹角为α,则由平衡条件,有
FT1cosα+FT2cos(θ-α)-mg=0
FT1sinα-FT2sin(θ-α)=0
联立,解得
α从90°逐渐减小为0°,则由上式可知FT1先变大后变小;FT2一直变小,当α=0°时,FT2=0。
【答案】BD
【解析】方法二:正弦定理
整个装置顺时针缓慢转动90°的过程中θ角和mg保持不变,β角从90°减小到0,α角从30°增大到120°,易知FT1先变大后变小;FT2一直变小,当β=0°时,由图易知FT2=0。
【例题】如图所示，装置中两根细绳拴住一球,保持两细绳间的夹角θ=120°不变,若把整个装置顺时针缓慢转过90°,则在转动过程中,CA绳的拉力FT1,CB绳的拉力FT2的大小变化情况是( )
A.FT1先变小后变大
B.FT1先变大后变小
C.FT2先变小后变大
D.FT2一直变小，且最终变为零
【答案】BD
【解析】方法三:辅助圆
如图,力的三角形的外接圆正好是以初态时的FT2为直径的圆,FT1先变大到最大为圆周直径,然后变小,FT2一直变小,直到0。
【例题】如图所示，装置中两根细绳拴住一球,保持两细绳间的夹角θ=120°不变,若把整个装置顺时针缓慢转过90°,则在转动过程中,CA绳的拉力FT1,CB绳的拉力FT2的大小变化情况是
A.FT1先变小后变大
B.FT1先变大后变小
C.FT2先变小后变大
D.FT2一直变小，且最终变为零
【答案】BD
.
mg
FT1
FT2
【例题】 （多选）如图，柔软轻绳 ON 的一端 O 固定，其中间某点 M 拴一重物，用手拉住绳的另一端 N．初始时，OM 竖直且 MN 被拉直，OM 与 MN 之间的夹角为α（ α > ????2）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在 OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN 上的张力逐渐增大
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
?
AD
共点力平衡中的临界和极值问题
06
问题界定
问题特点
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
1、临界问题
物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
处理方法
问题界定
处理方法
2、极值问题
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
解析：
【例题1】物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上(B、C在同一竖直线上)，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°角的拉力F，若要使两绳都能伸直，如图所示，伸直时AC与墙面垂直，绳AB与绳AC间夹角也为θ＝60°，求拉力F的大小范围(g取10 m/s2)。
物体的受力情况如图，由平衡条件得
Fsinθ＋F1sinθ－mg＝0
Fcosθ－F2－F1cosθ＝0
由上述两式得F＝????????????????????????－F1
F＝????????????????????????????＋ ????????????????????????????
令F1＝0，得F最大值Fmax＝ ?????????????????????????＝???????????????? N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝ ?????????????????????????????＝ ???????????????? N
综合得F的取值范围为???????????????? N≤F≤ ???????????????? N。
?
【例题2】（多选）有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示。如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，以下说法正确的是 (　　)
A.砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零
B.砂子稳定时，只有形成严格规则的圆锥底面受到地面的摩擦力才为零
C.砂子稳定形成的圆锥底角最大时，tanα＝μ
D.砂子稳定形成的圆锥底角最大时，sinα＝μ
AC
解析：
把所有砂子看成一个整体，对整体受力分析，由水平方向合力为零可得，砂子稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零，与形状无关，故A正确，B错误；取斜面上的一粒质量为m的砂子为研究对象，若砂子恰好平衡，则倾角α最大，砂子受力平衡，根据平衡条件得：mgsin α＝μmgcos α，得tan α＝μ，故C正确，D错误。

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