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16.2 函数的图象
第十六章 函数及其图象
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平面直角坐标系及点的坐标
象限的划分及点的坐标特征
对称点的坐标特征
函数的图象及画法
感悟新知
知1－讲
知识点
平面直角坐标系及点的坐标
1
1. 平面直角坐标系：在平面上画两条互相垂直且具有公共原点的数轴，这就建立了平面直角坐标系. 通常把其中水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两条数轴的交点O(即公共的原点)叫做平面直角坐标系的原点.
感悟新知
知1－讲
2. 点的坐标：在平面直角坐标系中，任意一点都可以用
一对有序实数来表示. 例如，图16.2-1 中的点P，从点P分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为点M和点N. 这时，点M在x 轴上对应的数为3，称为点P的横坐标；点N在y 轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标. 依次写出点P的
横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(3，2)，
称为点P的坐标. 这时点P可记作P(3，2).
知1－讲
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特别提醒
1. 在写点的坐标时，必须先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来.
2. 点的坐标是有序数对，(a，b)和(b，a)虽然数相同，但由于顺序不同，表示的位置就不同，即当a≠b时，这两个坐标表示的是两个不同的点.
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知1－练
例1
如图 16.2-2，写出点A， B， C，D， E， F， G， O 的坐标 .
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解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标轴作垂线，用读垂足表示的数求点的坐标 .
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解：如图 16.2-2，分别过点 A， B， C，D向两坐标轴作垂线.
由图可知A(3，4)， B( －6，4 ) ， C( －5， －2 ) ， D(－5，2 ) ，
E(0，3 ) ， F(2，0 ) ，
G( －4，0 ) ， O(0，0 ) .
知1－练
感悟新知
1-1.如图，平面直角坐标系中标出了 A， B， C，D， E 五个点 .
(1)分别写出点 A， B，C， D， E 的坐标；
(2)分别写出点 A， B，C 到 y 轴的距离 .
解：A(3，0)，B(－1，3)，C(－2，－2)，D(2，－4)，E(－5，0)．
点A，B，C到y轴的距离分别是3，1，2.
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[母题 教材P44 习题T2]请你在如图 16.2-3 所示的平面直角坐标系中，描出以下各点： A(3，2)， B(0，3)， C(－1， －2)， D(2， －1) .
例2
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解： 描出的点 A， B， C， D如图 16.2-3所示 .
解题秘方：紧扣点的坐标的意义，利用坐标轴上表示点的坐标的数作垂线，用两垂线的交点法求点 .
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方法点拨：根据点的坐标描点的方法：
假设点 P 的坐标为(a， b)，先在 x 轴上找到表示的数为a 的点 A，在 y 轴上找到表示的数为 b 的点 B，再过点 A 作 x轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点 P.
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2-1.在平面直角坐标系中分别描出下列各点：A(－6， －4)， B(－4，－3)， C(－2，－2)，D(0，－1)， E( 2， 1)，F(4， 1)， G(6， 2)，H( 8， 3) .
解：各点的位置如图．
知1－练
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已知点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 1.
如果过点 P 作两坐标轴的垂线，垂足分别在 x 轴的正半轴上和 y 轴的负半轴上，那么点 P 的坐标是( )
A. ( 2， － 1 ) B. ( 1， － 2 )
C. ( － 2， － 1 ) D. ( 1，2 )
例3
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解题秘方：紧扣点的坐标与点到两坐标轴的距离的意义之间的关系解答．
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答案：B
解：由点 P 到 x 轴的距离为 2，可知点 P 的纵坐标的绝对值为 2，由点 P 到 y 轴的距离为 1，可知点 P 的横坐标的绝对值为 1.
又因为垂足分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的负半轴上，所以横坐标为 1，纵坐标为 － 2.
故点 P 的坐标是( 1， － 2 ) .
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特别警示：本例的三处易错点：
(1)混淆距离与坐标；
(2)不知道“点P到x轴的距离”对应的是纵坐标的绝对值， “点 P 到 y 轴的距离”对应的是横坐标的绝对值；
(3)忽略坐标的符号 .
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3-1. 已知点 M 到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 5. 若过点 M 作两坐标轴的垂线，垂足均在两坐标轴的负半轴 上， 则点 M 的坐标为( )
A.(－4， －5) B.(－5， －4)
C.( 4， －5) D. ( 5， －4)
B
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知识点
象限的划分及点的坐标特征
2
1.象限的划分：
在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图16.2-4 所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限 . 坐标轴上的点不属于任何一个象限 .
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2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征：
点 M( x， y)所处的位置 坐标特征
象限内
的点 点 M 在第一象限 M(正，正)
点 M 在第二象限 M(负，正)
点 M 在第三象限 M(负，负)
点 M 在第四象限 M(正，负)
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知2－讲
点 M( x， y)所处的位置 坐标特征
坐标轴
上的点 点 M 在 x 轴上 在 x 轴正半轴上： M(正，0)
在 x 轴负半轴上： M(负，0)
点 M 在 y 轴上 在 y 轴正半轴上： M(0，正)
在 y 轴负半轴上： M(0，负)
续表
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知2－讲
点 M( x， y)所处的位置 坐标特征
象限角 平分线 上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x=y
点M在第二、四象限角平分线上 x=-y
两点连线 与坐标轴 平行 MN//x 轴(MN⊥ y 轴) M，N两点的纵坐标相等
MN//y 轴(MN⊥ x 轴) M，N两点的横坐标相等
续表
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感悟新知
特别提醒
1.象限的划分是从“右上”开始的，按“逆时针”方向依次排列为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.各象限的名称是一种规定，不能随意更改 .
2.坐标原点既在x轴上，又在y轴上，它是两条坐标轴唯一的公共点.
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3. 平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系：
(1) 坐标平面内的任意一个点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应.
(2) 任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应.
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知2－练
已知点 P 的坐标为( a＋3， b－1) .
(1)若点 P 在 x 轴上，则 b=_______；
(2)若点 P 在 y 轴上，则 a=_______；
(3)若点 P 在第三象限，则 a 的取值范围为_________， b 的取值范围为_________；
(4)若点 P 在第四象限，则 a 的取值范围为___________ ，b 的取值范围为 __________.
例4
1
－3
a<－3
b<1
a>－3
b<1
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解题秘方：紧扣 x 轴、 y 轴上及象限内点的坐标特征解答 .
知2－练
感悟新知
解： (1) ∵点 P 在 x 轴上，∴ b － 1=0，解得 b=1.
(2) ∵点 P 在 y 轴上， ∴ a＋3=0，解得 a= － 3.
(3) ∵点 P 在第三象限，
∴ a＋3<0， b － 1<0， ∴ a< － 3， b<1.
(4)∵ 点 P 在第四象限，
∴ a＋3>0， b－1<0，∴ a>－3， b<1.
知2－练
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4-1. 已知 a 为正整数，点 P(4，2－a)在第一象限中，则 a= _____.
1
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4-2. [ 期中·洛阳] 已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(3a-5，a+1).
(1) 若点A在y轴上，求a的值及点A的坐标；
知2－练
感悟新知
(2) 若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，求a的值及点A的坐标.
由点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，得
3a－5＝a＋1或3a－5＋a＋1＝0.
解得a＝3或a＝1.
当a＝3时，点A的坐标为(4，4)；
当a＝1时，点A的坐标为(－2，2)．
又因为点A在y轴的右侧，所以点A的坐标为(4，4)．
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知2－练
已知平面直角坐标系内不同两点A(3，a-1)，B(b+1，-2)，
(1)若点A在第一、三象限的角平分线上，求a 的值；
(2)若点B在第二、四象限的角平分线上，求b 的值；
(3)若直线AB平行于x 轴，求a，b 的值或取值范围；
(4)若直线AB平行于y 轴，且AB=5，求a，b 的值.
例5
知2－练
感悟新知
解题秘方：分别根据特殊位置点的坐标特征列出以a，b 为未知数的方程或不等式，求出a，b 的值或取值范围.
知2－练
感悟新知
解： (1)∵点A在第一、三象限的角平分线上，
∴ a-1=3，∴ a=4.
(2)∵点B在第二、四象限的角平分线上，
∴ b+1=2，∴ b=1.
(3)∵直线AB平行于x 轴，
∴ a-1=-2，b+1 ≠ 3，∴ a=-1，b ≠ 2.
(4)∵直线AB平行于y 轴，且AB=5，
∴ b+1=3，|(a-1)-(-2)|=5，∴ b=2，a=4 或a=-6.
知2－练
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5-1.[ 月考·漯河] 在平面直角坐标系中，有点A(-2，a+3)，B(b，b-3).
(1) 当点A 在第二象限的角平分线上时，求a 的值；
解：∵点A(－2，a＋3)在第二象限的角平分线上，
∴a＋3＝－(－2)，∴a＝－1.
知2－练
感悟新知
(2) 当AB ∥ y 轴，AB=4时，求a 的值.
感悟新知
知3－讲
知识点
对称点的坐标特征
3
对称点的坐标特征：
类型 点的坐标 点的坐标特征
点P(x，y)关于x 轴对称的点P1 P1(x，-y) 横坐标相等，纵坐标
互为相反数
点P(x，y)关于y 轴对称的点P2 P2(-x，y) 横坐标互为相反数，
纵坐标相等
点P(x，y)关于原点对称的点P3 P3(-x，-y) 横坐标与纵坐标
都互为相反数
它们之间的关系，反过来也成立，即若已知两个对称点的坐标，则可知 两点的对称轴或两点关于原点对称
知3－讲
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特别解读
1. 点关于哪条坐标轴对称，则对称点关于该坐标轴的坐标不变，另一个坐标变为它的相反数.
2. 关于原点对称的点，横、纵坐标都变为它的相反数.
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知3－练
已知点 A( a＋b，5＋a)， B(2b－1， －a＋b) .
(1)若点 A， B 关于 x 轴对称，求 a， b 的值；
(2)若点 A， B 关于 y 轴对称，求( a＋b) 2 027 的值 .
例6
解题秘方：根据关于坐标轴对称的点的坐标特征列出方程组求解即可 .
(1)若点 A， B 关于 x 轴对称，求 a， b 的值；
(2)若点 A， B 关于 y 轴对称，求( a＋b) 2 027 的值 .
知3－练
感悟新知
解： ∵点 A， B 关于 x 轴对称，
∴ 解得
∵点 A， B 关于 y 轴对称，∴解得∴(a＋b) 2 027=(－2＋1) 2 027=(－1) 2 027=－1.
知3－练
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6-1. [ 中考· 成都 ] 在平面直角坐标系 xOy中， 点P( 5，－1) 关于 y 轴对称的点的坐标是 __________．
(－5，－1)
知3－练
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6-2.[ 期中· 郑州] 已知点P(2a-1，3a+1) 关于x 轴的对称点在第三象限， 则a 的取值范围是_________ .
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知识点
函数的图象及画法
4
1.函数的图象：一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的. 图象上每一点的坐标(x，y)表示函数的一对对应值，它的横坐标x 表示自变量的某一个值，纵坐标y 表示与该自变量对应的函数值．
知4－讲
感悟新知
特别提醒
(1)在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确；
(2)在画图象时，应考虑自变量的取值范围.
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知4－讲
2. 函数图象的画法：
(1)列表： 列表给出一些自变量和函数的对应值 ；
(2)描点：根据表中的对应值可以得到一系列的有序实数对，在平面直角坐标系中，描出这些有序实数对(坐标)的对应点；
(3)连线： 通常用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到函数的图象.
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[母题 教材P45 习题T4](1)画出函数 y=2x－1 的图象；
(2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上 .
例7
解题秘方：紧扣“函数图象的画法步骤”进行作图；
知4－练
感悟新知
解：列表：
描点、连线就得到函数 y=2x－1 的图象
(如图 16.2-5) .
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 …
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知4－练
(2)判断点(5，9)，(7，15)是否在此函数的图象上 .
解题秘方：将点的横坐标代入关系式，若函数值与点的纵坐标相等，则点在函数图象上；若函数值与点的纵坐标不相等，则点不在函数图象上 .
知4－练
感悟新知
解：当 x=5 时， y=2× 5－1=9，
所以点( 5， 9)在此函数的图象上 .
当 x=7 时， y=2× 7－1=13 ≠ 15，
所以点( 7， 15)不在此函数的图象上 .
知4－练
感悟新知
7-1. 已知点 P( 2， 3)在函数 y=3x＋2k 的图象上， 则 常数 k 的值为_________ .
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7-2.已知函数 y=－x2+2，判断点 A(－1，1) 和
点B( 2， 1)是否在这个函数的图象上 .
解：因为当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2＝1，
所以点A(－1，1)在这个函数的图象上．
因为当x＝2时，y＝－22＋2＝－2≠1，
所以点B(2，1)不在这个函数的图象上．
感悟新知
知4－练
[母题 教材P45 习题T5]小明同学骑自行车去郊外春游，骑行 1 h 后，自行车出现故障，维修好后继续骑行，他离家的距离 y( km)与所用的时间 x(h)之间的函数关系如图16.2-6 所示，
根据图象回答：
例8
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解题秘方：紧扣两坐标轴表示的意义，根据图象反映的信息解决问题 .
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知4－练
(1)小明到达离家最远的地方用了多长时间？此时离家多远？
解：小明到达离家最远的地方用了 3h，
此时离家 30km.
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(2)小明出发 2.5 h 离家多远？
解：由图 16.2-6 可知，当 x=2 时， y=15，
当 2所以当 x=2.5 时， y=15＋15×( 2.5－2) =22.5，
即小明出发 2.5 h 离家 22.5 km.
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知4－练
(3)小明出发多长时间离家 12 km ？
解：分两种情况：①小明出发时离家 12 km.
AB 段的速度为 =15(km/h)， =0.8(h)，即小明出发 0.8 h 离家 12 km.
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②小明返回时离家 12 km.
EF 段的速度为 =15(km/h)，
4＋ =5.2(h)，即小明出发 5.2 h 离家 12 km.
综上所述，小明出发 0.8 h 或 5.2 h 离家 12 km.
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8-1.[ 中考·广东] 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x(km)之间的关系如图. 当电池剩余能量小于100 W·h 时，摩托车将自动报警. 根据图象，下列结论正确的是( )
A. 电池能量最多可充400 W·h
B. 摩托车每行驶 10 km消耗能量 300 W·h
C. 一次性充满电后，摩 托 车 最 多 行 驶25 km
D. 摩托车充满电后，行 驶 18 km 将 自动报警
C
函数的图象
关键
平面直角坐标系
描点法画图象
函数图象
点的坐标
对称变换
画法
载体

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