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16.3 一次函数
第十六章 函数及其图象
学习目标
课时讲解
1
一次函数的定义
一次函数的图象
一次函数的性质
用待定系数法确定一次函数表达式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时流程
2
知1－讲
感悟新知
知识点
一次函数
1
1. 定义： 一般地，形如 y=kx+b( k， b 是常数， k ≠ 0)的函数，叫做一次函数 .特别地，当 b=0 时，一次函数 y=kx(常数 k ≠ 0)也叫做正比例函数 .
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特别提醒
一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3)常数项b可以是任意实数 .
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2. 一次函数与正比例函数的关系：正比例函数 y=kx ( k ≠ 0 )是一次函数 y=kx+b ( k ≠ 0 ) 中 b=0 的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 .
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下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
(1) y= － 2x2； (2) y= ；
(3) y=3x2 － x(3x － 2)； (4) y= － .
例1
解题秘方：紧扣一次函数与正比例函数的定义进行识别.
(1) y= － 2x2
(2) y=
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解：因为 x 的次数是 2，所以 y=－2x2 不是一次函数 .
因为 y= =x＋， k= ， b= ，
所以 y= 是一次函数，但不是正比例函数 .
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(3) y=3x2 － x(3x － 2)
(4) y= － .
解：因为 y=3x2－x(3x－2) =2x， k=2， b=0，
所以它是一次函数，也是正比例函数 .
因为 y=－中－不是整式，不符合 y=kx＋b 的形式，所以它不是一次函数 .
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方法点拨：判断一个函数是不是一次函数的方法
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1-1. [ 期中· 郑州] 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为( )
A. y= B. y=
C. y= D. y=( - )x
C
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1-2.下列说法中， 正确的是(　　)
A. y=2x-1 是一次函数，也是正比例函数
B. y=2x-(2x-7)是一次函数，不是正比例函数
C. y=x 既是一次函数，也是正比例函数
D. y=-2x 是正比例函数，不是一次函数
C
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已知函数 y= ( n2 － 4 ) x2+ ( 2n － 4 ) xm － 2 － ( m+n － 8 ) .
(1)当 m， n 为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当 x=1 时的函数值 .
例2
解题秘方：紧扣一次函数定义的三个特征及函数值的求法进行求解 .
(1)当 m， n 为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当 x=1 时的函数值 .
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解： 由题意，得解得 m=3， n= － 2.
∴当 m=3， n= － 2 时，函数是一次函数 .
由(1)得此一次函数表达式为 y= － 8x+7.
∴当 x=1 时， y= － 8×1+7= － 1.
注意隐含条件：一
次项的系数不为0.
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2-1.已知函数 y=(n＋1)x2＋ (2n－4)x－ (n＋5).
(1)当 n 为何值时，函数是一次函数？
解：若函数是一次函数，则二次项系数是0，
一次项系数不为0.
∴n＋1＝0且2n－4≠0.∴n＝－1.
即当n＝－1时，函数是一次函数．
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(2)如果函数是一次函数，计算当x=时的函数值 .
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知识点
一次函数的图象
2
1.一次函数的图象： 一次函数 y=kx+b(k ≠ 0)的图象是一条直线，通常也称为直线y=kx+b.特别地，正比例函数 y=kx( k ≠ 0)的图象是经过原点(0， 0)的一条直线 .
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特别提醒
一次函数的图象与正比例函数的图象的关系：
一次函数y=kx+b (k≠0，b≠0)的图象可以看成由正比例函数y=kx (k≠0)的图象向上(b>0) 或向下( b<0) 平移｜b｜个单位长度得到.
2. 一次函数图象的画法：因为“两点确定一条直线”， 所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再过两点作直线即可.
一般地，画一次函数y=kx+b (k ≠ 0)的图象时，应选取它与y 轴的交点(0，b)和它与x 轴的交点 .
画正比例函数图象时，通常选取(0，0)和(1，k)两点，再过这两点画直线，有时为了方便画图和建立平面直角坐标系，应视具体情况灵活选取两点.
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简记为“两点法”作图，有时为了描点简便，可取横、纵坐标为整数的点.
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3. 一次函数的图象与k，b 的关系：
在一次函数y=kx+b(k ≠ 0)中，k决定图象的倾斜方向和倾斜程度，若两个一次函数k相同，b不相同，则两直线平行，一条直线可以由另一条直线平移得到；b决定图象与y轴的交点位置，若两个一次函数b相同，则两直线交于y轴上一点(0，b).
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4. 一次函数图象的平移
(1)上、下平移： 直线 y=kx+b 向上平移 n ( n>0 )个单位长度得到直线 y=kx+b+n；直线 y=kx+b 向下平移 n ( n>0 )个单位长度得到直线 y=kx+b － n，简记为上加下减(只改变 b ) .
(2)左、右平移(拓展)： 直线 y=kx+b 向左平移 m ( m>0 )个单位长度得到直线 y=k ( x+m ) +b；直线 y=kx+b 向右平移 m ( m>0 )个单位长度得到直线 y=k ( x － m ) +b，简记为左加右减(只改变 x ) .
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5. 拓展：
(1)当直线平行于 x 轴且与 y 轴交点的纵坐标为 b 时，这条直线对应的函数表达式为 y=b.
(2)当直线平行于 y 轴且与 x 轴交点的横坐标为 a 时，这条直线对应的函数表达式为 x=a.
(3) x 轴、 y 轴分别表示为直线 y=0、直线 x=0.
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特别提醒
平面直角坐标系中两直线l1：y=k1x+b1与l2： y=k2x+b2的位置关系：
k1， k2，b1， b2的关系 l1 与 l2 的关系
k1≠ k2 l1 与 l2相交
k1≠k2，b1=b2 l1 与l2相 交于 y 轴上的
一点(0， b1)或(0， b2)
k1=k2，b1≠ b2 l1 与 l2平行
k1=k2，b1=b2 l1 与 l2重合
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在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象：
(1) y1=2x － 1； (2) y2=2x； (3) y3=2x+2.
然后观察图象，你能得到什么结论？
解题秘方：按“两点法”的作图步骤作图，然后观察图象特点即可.
例3
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解： 列表如下：
描点、连线，得到它们的图象，
如图 16.3-1.
x 0 1
y1 －1 1
y2 0 2
y3 2 4
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结论：几个一次函数中的 k 值相等( b 值不相等)时，其图象是一组互相平行的直线 . 它们可以通过互相平移得到 .
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3-1.已知一次函数y=mx － (m － 2)的图象过原点，则( )
A.m>2
B.m<2
C.m=2
D. 不能确定
C
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3-2. [ 中考 ·长沙 ] 下列函数图象中，表示直线 y=2x ＋ 1 的是( )
B
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设直线y= － － 3与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，画出函数图象并求 S △ AOB.
例4
解题秘方：紧扣直线与两坐标轴的交点进行解答．
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解： 当 x=0 时， y= － 3，
∴点 B 的坐标为( 0， － 3)；
当 y=0 时， x= － 6，∴点 A 的坐标为(－ 6， 0) .
画出函数图象如图 16.3-2.
由图象可知， OA=| － 6|=6，
OB=| － 3|=3，∴ S △ AOB= × 6× 3=9.
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方法提醒：平面直角坐标系中图形面积的计算方法： 计算直角坐标系中图形面积的方法是先利用点的坐标求出线段的长，然后根据面积公式求图形的面积 .
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4-1. [ 期末·郑州]如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=-x+3 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B.
(1)S△AOB=_________ ；
(2)点M(3，0) 在x 轴上，若点P是直线AB上一个动点，当S△PBM=S△AOB时，求点P的坐标.
3
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[期中·周口] [教材P49 练习T2] 把一次函数y=3x-2 的图象向上平移2 个单位长度，得到的图象的表达式是( )
A. y=3x-4
B. y=x-2
C. y=5x-2
D. y=3x
例5
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解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减”进行求解.
解：∵一次函数y=3x-2 的图象向上平移2 个单位长度，∴得到的图象的表达式是y=3x-2+2，即y=3x．
答案：D
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特别警示：“上加下减，左加右减”这种平移规律，是函数表达式的变化规律，不要将其与点的坐标的平移规律相混淆，点的坐标的平移规律是：上加下减，左减右加.
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5-1.一次函数y=-2x+3的图象向下平移2 个单位长度后，与y 轴的交点坐标为( )
A.(0，5) B.(0，1)
C.(5，0) D.(1，0)
5-2.若直线y=x 向上平移3 个单位长度后经过点(2，m)， 则m 的值为_________ .
B
5
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知识点
一次函数的性质
3
1. 一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质：
(1)若k>0，y 随x 的增大而增大，函数的图象从左到右上升；
(2)若k<0，y 随x 的增大而减小，函数的图象从左到右下降．
2. 一次函数y=kx+b(k，b 是常数且k ≠ 0)的图象与k，b 的符号的关系：
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知3－讲
一次函数 y=kx+b( k， b 是常数且 k ≠ 0) k， b
的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象
与 y 轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
经过的 象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限
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特别提醒
1.由k，b的符号可以确定直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限；反之，由直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限也可以确定k，b 的符号 .
2. k 决定一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的增减性，b决定函数图象与y轴交点的位置 .
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例6
[母题 教材P52 练习T2]已知直线 l1，l2 在平面直角坐标系中的位置如图 16.3-3，点 P1( x1， y1)在直线 l1 上，点 P3( x3， y3)在直线 l2 上，点 P2( x2， y2)为直线 l1，l2 的交点， x2A. y1< y2 < y3 B. y3 < y1 < y2
C. y3 < y2 < y1 D. y2 < y1 < y3
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解： 观察直线 l1，知 y 随 x 的增大而减小 .
∵ x2y1.
观察直线 l2，知 y 随 x 的增大而增大 .
∵ x2解题秘方：紧扣函数的增减性求解 .
答案：A
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6-1. 已知( x1， y1)，( x2，y2)，( x3， y3)为直线y=－2x＋3 上的三个点，且 x1A. 若 x1x2>0，则 y1y3>0
B. 若 x1x3<0，则 y1y2>0
C. 若 x2x3>0，则 y1y3>0
D. 若 x2x3<0，则 y1y2>0
D
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[母题 教材P52 练习T1]已知一次函数 y= ( 6+3m ) x+ ( m － 4 ) ， y 随 x 的增大而增大，函数图象交y 轴于负半轴上，求 m 的取值范围 .
例7
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解： 根据题意， 得 解得 － 2所以 m 的取值范围是 － 2解题秘方：紧扣“k， b 的符号与函数的增减性及图象的位置关系”解答 .
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7-1. [中考·东营] 一次函数y=kx+2(k ≠ 0) 的函数值y 随x 的增大而减小， 当x=-1 时y的值可以是( )
A.3
B.2
C.1
D.-1
A
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例8
[ 中考·深圳] 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30 元/ 个，篮球，足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140 元
②购买2 个足球的价格比购买一个篮球多花费40 元
③购买5 个篮球与购买6 个足球花费相同
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(1)请你从上述3 个条件中任选2 个作为条件，求出篮球和足球的单价；
解题秘方：根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
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解： 选择②③ . 设每个篮球x 元，每个足球y 元．
由题意，得解得
答：每个篮球60 元，每个足球50 元．
(选择①②，①③均可)
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(2)若该学校要购买篮球，足球共10 个，且足球的个数不超过篮球个数的2 倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
解题秘方：根据一次函数的性质求最值即可．
知3－练
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解: 设购买m个篮球，则购买(10-m)个足球．
根据题意，得2m≥ 10-m，解得m≥ ．
设购买篮球和足球的总费用是w元，则w=60m+50(10-m)=10m+500，∵ 10>0，∴w随着m的增大而增大．
∵m≥且m为整数，
∴m的最小值为4，当m=4 时，w取得最小值，为540．
答：当购买4 个篮球时，花费最少，最少费用是540 元.
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8-1. [中考·烟台] 2025年6 月5日是第54 个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
知3－练
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(1)求甲、乙两种路灯的单价；
知3－练
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(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40 盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
知3－练
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知4－讲
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知识点
用待定系数法确定一次函数表达式
4
1.待定系数法：先设待求的函数表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.
感悟新知
知4－讲
特别提醒
在正比例函数y=kx中，只有一个待定系数k，只需要一个除点(0，0)外的条件即可求出k的值；在一次函数y=kx+b中，有两个待定系数k，b，因而需要两个条件才能求出 k和b 的值 .
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2.用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
(1)设： 设出含有待定系数的函数表达式；
(2)代： 把已知条件中的自变量的值与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组) ；
(3)解： 解方程(组) ，求出待定的系数；
(4)代回： 将求得的待定系数的值代回所设的表达式 .
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知4－练
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[母题 教材 P53做一做]根据下表中一次函数的自变量 x 与函数 y 的对应值，可得 p 的值为_______ .
例9
x -－2 0 1
y 3 p 0
1
知4－练
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解题秘方：紧扣待定系数法求函数表达式的步骤求解，求出函数表达式后再求 p 的值 .
解：设一次函数表达式为 y=kx＋b，由表中对应值可知，当x=－2 时， y=3，当 x=1 时， y=0，
由此得到 解得 ∴ y=－x+1.
当 x=0 时， y=(－1)× 0＋1=1，即 p 的值为 1.
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9-1. 已知一次函数的图象经过 A( 0， － 4)，B( 1， － 2)两点 . 求： (1)这个一次函数的表达式；
知4－练
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(2)一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积 .
一次函数
性质
y随x的减
小而减小
一次函数
应用
求法
图象
画法
位置
k，b的符号
两点法
建模
k>0
k<0
正比例函数
特例
y随x的增
大而增大

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