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16.4 反比例函数
第十六章 函数及其图象
学习目标
课时讲解
1
反比例函数的定义
反比例函数的图象及性质
用待定系数法求反比例函数的表达式
反比例函数 y= ( k ≠ 0) 中 k 的几何性质(拓展)
建立反比例函数模型解实际问题
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时流程
2
知1－讲
感悟新知
知识点
反比例函数的定义
1
1. 定义：一般地，形如y= ( k 是常数， k ≠ 0)的函数叫做反比例函数.反比例函数中，自变量 的取值范围是不等于 0 的一切实数 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
反比例函数的表达式y=中无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数.
感悟新知
2.反比例函数的三种形式：
① y=； ② y=kx － 1；③ xy=k. (其中 k 为常数， k ≠ 0 )
特别提醒：形如y= +1，(x+1)y=3，y=(x+1) － 1 等都不是反比例函数.
知1－讲
知1－练
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下列函数：① y= x－1；② y= ；③ xy=8；
④ y= +1；⑤ y= ；⑥ y= ；⑦ y=－；
⑧ y= (a≠2，且a为常数).其中， y 是 x 的反比例函数的有___________ . (填写序号)
例1
①②③⑦⑧
知1－练
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解题秘方：紧扣反比例函数的定义和“三种形式”识别 .
解：①即为y= ，是反比例函数；②是反比例函数；
③即为 y= ， 是反比例函数；④⑤不符合反比例函数的定义；⑥是正比例函数；⑦是反比例函数；⑧中，因为 a ≠ 2，且 a 为常数，所以 a－2 是不等于 0 的常数，所以该函数是反比例函数 .
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1-1.下列关系中，两个变量之间是反比例函数关系的是( )
A. 正方形的面积 S 与边长 a 的关系
B. 正方形的周长 l 与边长 a 的关系
C. 长方形的长为 a，宽为 20，其面积 S 与 a的关系
D. 长方形的面积为 40，长为 a，宽为 b， a 与b 的关系
D
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知识点
反比例函数的图象及性质
2
1. 双曲线：反比例函数y= (k ≠ 0 )的图象有两支，通常称为双曲线.
2. 反比例函数图象的画法(描点法)：列表、描点、连线.
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特别提醒
1.因为反比例函数图象的两个分支关于原点对称，所以只要画出它在一个象限内的分支，就可以对称地画出另一个分支 .
2.画实际问题中的反比例函数的图象时，要考虑自变量取值范围的限制，一般地，实际问题的图象是反比例函数图象在第一象限内的一支或其中一部分 .
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3. 在描述反比例函数的增减性时，必须指明 “当x>0(或x<0)时”. 因为当k ＞ 0(k ＜ 0) 时，整个函数不是 y 随x 的增大而减小 ( 增大 )，而是在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 (增大).
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3.反比例函数图象的特点：
(1)反比例函数 y= ( k 为常数， k ≠ 0 )的图象是双曲线 .
(2)反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限．
(3)双曲线的两支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 .
(4)双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点) ，又是轴对称图形(对称轴是直线 y=x 和直线 y= － x ) .
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反比例函数 y= ( k ≠ 0) k 的符号 k ＞ 0 k ＜ 0
图象
图象位置和趋势 第一、第三象限 在每个象限内，曲线从左向右下降 第二、第四象限
在每个象限内，曲线从左向右上升
增减性 当x>0(或x<0)时， y 随 x的增大而减小 当x>0(或x<0)时 ， y 随 x的增大而增大
4. 反比例函数的图象和性质：
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[母题 教材P58 例1]在同一平面直角坐标系中画出反比例函数 y= 和y= － 的图象 .
例2
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解：①列表 .
解题秘方：紧扣画图象的 “一列、二描、三连”的步骤作图 .
x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
y= … -1 - - - -5 5 1 …
y=- … 1 5 -5 - - - -1 …
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②描点、连线得到如图 16.4-1 所示的图象 .
知2－练
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2-1.已知一个长方形的面积为6 cm2，两条邻边的长分别是x cm，y cm.
(1)写出y 与x 之间的函数表达式以及自变量的取值范围；
知2－练
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(2)画出该函数的图象.
列表如下：
描点、连线得到的函数图象如图所示．
x … 1 2 3 …
y＝ … 6 3 2 …
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已知反比例函数y= ( m≠0 )的图象过点(－ 3， － 12 ) ，且反比例函数 y= 的图象在第二、第四象限 .
例3
解题秘方：紧扣“k 的符号、双曲线的位置、函数的增减性三者之间的关系” 解题 .
知2－练
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解： 把点(－ 3， － 12 )的坐标代入 y=中，
得 － 12 =，∴ m2=36，∴ m=± 6.
∵反比例函数 y=的图象位于第二、第四象限，
∴ m ＜ 0. ∴ m= － 6.
(1) 求 m 的值；
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(2)对于 y= ，当 x ＞ 2 时，求 y 的取值范围 .
解：由 m= － 6 知反比例函数y= 的表达式为 y= － .
∵ x>2，∴此部分图象在第四象限，且y 随 x 的增大而增大. 当 x=2 时， y= － =－ 3.
∴当 x ＞ 2 时， － 3知2－练
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3-2. [ 中考· 天津] 若点A(-3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y=- 9x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1C. y1D
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3-2. [ 中考·武汉 ] 在反比例函数 y=的图象的每一支上， y 都随 x 的增大而减小，且整式 x2 － kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的表达式为________________ ．
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知识点
用待定系数法求反比例函数的表达式
3
1.确定反比例函数表达式的方法：因为反比例函数的表达式y= (k ≠ 0 )中，只有一个待定系数k，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一个条件(如一组x，y 的对应值或函数图象上一个点的坐标)即可确定反比例函数的表达式．
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2. 用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤：
(1)设：根据题意，设出反比例函数的一般形式y= (k ≠ 0 ) ；
(2)代：把一对x，y 的对应值代入反比例函数的表达式；
(3)求：求出常数k；
(4)代：把k 的值代入反比例函数的表达式．
知3－讲
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特别解读
反比例函数y= (k ≠ 0 )的图象上每一个点的坐标都满足函数表达式.如果点( x1，y1) 与点( x2，y2)都在反比例函数y=kx的图象上，则必有x1y1=x2y2=k，反之亦然.
知3－练
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[期中·南阳][教材P60 例2] 已知y 是x 的反比例函数，当x=6 时，y=4．
(1)求y 关于x 的函数表达式．
(2)若y=3，求x 的值．
例4
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解： (1)设y 关于x 的函数表达式为y= ．
把x=6，y=4 代入，得4= ，解得k=24，
∴ y 关于x 的函数表达式为y= ．
(2)把y=3 代入y= ，得3= ，解得x=8．
解题秘方：用待定系数法求出反比例函数的表达式，再代入y 的值即可求出x 的值．
知3－练
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4-1. [中考·陕西]如图，过原点的直线与反比例函数y= (k ≠ 0 ) 的图象交于A(m， n)，B(m-6，n-6) 两点，则k 的值为 _________.
9
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知识点
反比例函数 y= ( k ≠ 0) 中 k 的几何性质
4
如图 16.4-2，过双曲线 上任意一点 P ( x， y )分别作x 轴、 y 轴的垂线 PM， PN，所得的长方形 PMON 的面积 S=PM· PN=|y|· |x|=|xy|.
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因为y= ，所以 xy=k，所以 S=|k|，即过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得的长方形面积为 |k|.
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知4－讲
常见的变式图形：
(1) S 阴影= 类，如图16.4-3 所示.
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(2) S 阴影=|k|类，如图16.4-4 所示.
(3) S 阴影=2|k|类，如图16.4-5 所示.
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特别提醒
在利用反比例函数y= (k ≠ 0) 中k的几何性质确定 k 的值时，不仅要注意矩形或三角形面积的大小，还要注意函数图象的位置.
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如图 16.4-6 ，点 A 是反比例函数y= (x<0)图象上一点， AC ⊥ x 轴于点 C，且与反比例函数 y= (x<0)的图象交于点 B， AB=3BC，连结 OA， OB，若△ OAB 的面积为 6，则 k1+k2= _______.
－20
例5
知4－练
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解题秘方：紧扣“k 的几何性质”，将 k 与三角形面积结合起来是解题的关键 .
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解：∵ AB=3BC， S △ OAB=6，
∴ S △ OBC=2， S △ OAC=8，∴ |k1|=8， |k2|=2.
∴ k1=± 16， k2=± 4.
由图象可知 k1<0， k2<0，
∴ k1= － 16， k2= － 4，∴ k1+k2= － 16 － 4= － 20.
知4－练
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5-1. [中考·内江 ]如图，在平面直角坐标系中，点M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l ∥ y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 y= (x>0) 和 y=kx( x>0) 的图象交于 P，Q 两点．若 S △ POQ=15，则 k 的值为( )
A. 38 B. 22
C. － 7 D. － 22
D
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知识点
建立反比例函数模型解实际问题
5
1. 在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问题．
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2.利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
知5－讲
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特别提醒
在应用反比例函 数解决实际问题时，自变量的取值范围 一般有两个方 面的限制：一是函数表达式本身的限制，二是实际问题的具体要求.
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知5－练
某机床加工一批机器零件，如果每小时加工 30 个，那么 12小时可以完成 . 设每小时加工 x 个零件，所需时间为 y 小时 .
例6
知5－练
感悟新知
解题秘方：紧扣“工程问题中工作总量与工作时间、工作效率间的关系” 列方程，变形求出函数表达式 .
感悟新知
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(1)写出 y 关于 x 的函数表达式 .
解：由题意得 xy=30× 12=360，
所以 y 关于 x 的函数表达式为 y= (x>0) .
感悟新知
知5－练
(2)若要求一个工作日(8 小时)完成，则每小时要比原来多加工几个零件？
解：将 y=8 代入 y= ， 得 8= ，解得 x=45.
45 － 30=15(个) .
所以若要求一个工作日(8 小时)完成，则每小时要比原来多加工 15 个零件 .
知5－练
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6-1. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度(如图所示)．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度 h(单位： cm)是液体的密度 ρ(单位： g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为 1 g/cm3 的水中时， h=20 cm.
知5－练
感悟新知
(1)求 h 关于 ρ 的函数表达式；
知5－练
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(2)当密度计悬浮在另一种液体中时， h=25 cm，求该液体的密度 ρ．
反比例函数
解决实际问题
定义
反比例函数
图象
性质
建模

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