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17.2 平行四边形的判定
第十七章 平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
平行四边形的判定
三角形的中位线
知1－讲
感悟新知
知识点
平行四边形的判定
1
1. 判定方法：判定平行四边形可以从对边、对角和对角线三个方面进行，如图 17.2-1，在四边形ABCD 中， AC， BD 相交于点 O，具体方法如下表所示 ：
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特别提醒
1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形 .
2. 两组邻边分别相等的四边形不一定是平行四边形 .如筝形(如图17.2-2 所示)
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条件类型 判定方法 数学语言
对边关系 定义：两组对边分别平行的 四边形是平行四边形 ∵ AD ∥ BC， AB ∥ CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形
判定定理1：两组对边分别相等的 四边形是平行四边形 ∵ AD=BC， AB=CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形
判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵ AD BC(或 AB CD)，
∴四边形 ABCD 是平行四边形
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表示AB∥CD且AB=CD，读作“AB 平行且等于CD”.
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条件类型 判定方法 数学语言
对角线关系 判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ OA=OC， OB=OD，
∴四边形 ABCD 是
平行四边形
对角关系 (拓展) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∵∠ DAB= ∠ DCB，
∠ ABC= ∠ ADC，
∴四边形 ABCD 是
平行四边形
续表
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2. 灵活选择平行四边形判定定理的方法：
已知条件 证明思路
一组对边相等 (1)另一组对边相等
(2)该组对边平行
一组对边平行 (1)另一组对边平行
(2)该组对边相等
对角线相交 对角线互相平分
角 两组对角分别相等
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[母题 教材P90 例1 ]如图17.2-3，点E，F分别为ABCD的BC，AD边上的点，且∠ 1= ∠ 2．
(1)求证：AE=FC；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
例1
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解题秘方：由三角形全等的性质得到AE=FC；
(1)求证：AE=FC；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B= ∠D．
又∵∠ 1= ∠ 2，∴△ABE≌△CDF(ASA)．
∴AE=FC．
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解题秘方：根据平行四边形和全等三角形的性质得到AF=CE，然后结合AE=CF说明．
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．
∵△ABE≌△CDF，∴BE=DF．∴AD-DF=BC-BE，即AF=CE．又∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形．
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1-1. [ 期中·商丘] 如图，在ABCD 中，M，N，P，Q 分别为AB，BC，CD，DA 上的点，且AM=BN=CP=DQ. 求证：四边形MNPQ是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∵AM＝BN＝CP＝DQ，
∴AB－AM＝CD－CP，AD－DQ＝BC－BN，
即BM＝DP，AQ＝CN. ∴△BMN≌△DPQ，△AMQ≌△CPN. ∴MN＝PQ，MQ＝PN.
∴四边形MNPQ是平行四边形．
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如图 17.2-4，已知 BE ∥ DF，∠ ADF= ∠ CBE， AF=CE. 求证：四边形 DEBF 是平行四边形 .
例2
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证明：∵ BE ∥ DF，∴∠ AFD= ∠ CEB.
又∵∠ ADF= ∠ CBE， AF=CE，
∴ △ ADF ≌△ CBE. ∴ DF=BE.
又∵ BE ∥ DF，∴ 四边形 DEBF 是平行四边形 .
解题秘方：紧扣条件“BE ∥ DF”，只需证明“BE=DF” 或“DE ∥ BF”即可得到四边形 DEBF 是平行四边形 .
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2-1.如图，在四边形ABCD 中，∠ B=30°，连结AC，∠ACB=∠CAD=90 °，AE 是∠ BAC 的平分线， 且BE=CD．求证：四边形AECD 是平行四边形.
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如图17.2-5，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点O是AC的中点，AD∥BC，AC=8，BD=6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求ABCD的面积.
解题秘方：紧扣对角线的关系判定平行四边形.
例3
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(1)求证：四边形 ABCD 是平行四边形；
证明：∵点 O 是 AC 的中点，∴ OA=OC.
∵ AD ∥ BC， ∴ ∠ ADO= ∠ CBO.
在△ AOD 和△ COB 中，
∴△ AOD ≌△ COB，∴ OD=OB.
又∵ OA=OC，∴四边形 ABCD 是平行四边形 .
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(2)若 AC ⊥ BD，求 ABCD 的面积 .
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， AC ⊥ BD，
∴ S ABCD=2S △ ABC=2× AC· BO=
2× AC· BD= AC· BD= × 8× 6=24.
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3-1.如图， AC， BD 相交于点 O， AB ∥ CD，AD∥ BC， E， F 分别是OB， OD 的中点 .
求证：四边形 AFCE 是平行四边形 .
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知识点
三角形的中位线
2
文字语言 符号语言 图示
定义 连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线 如图，在△ABC中， ∵AD=BD，AE=CE， ∴DE是△ABC的中位线
三角 形中 位线 定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 如图，在△ABC中， ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且DE= BC 感悟新知
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知识拓展：三角形的中位线与三角形的中线的区别
三角形的中位线 三角形的中线
图示
符号 语言 在△ABC中，∵D，E，F分别是BC，AC，AB边的中点，∴DE，EF，FD是△ABC的中位线(如图①)，AD，BE，CF是△ABC的中线(如图②) 感悟新知
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区别 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 三角形的中线是连结三角形的一个顶点与其对边中点的线段
DE∥AB，DE=AB； EF∥BC，EF= BC； DF∥AC，DF= AC BD=DC，
AF=FB，
AE=EC
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三角形的中位线 三角形的中线
区别 S △AEF= S △BDF= S △CDE= S △DEF=S△ABC S △A B D = S △A C D = S △C B F = S △C A F =S△BAE=S△BCE=
S△ABC
C△AEF=C△BDF=C△CDE=C△DEF= C△ABC C△ABD-C△ACD=AB-AC，C△CBF-C△CAF=BC-AC，C△BAE-C△BCE=AB-BC (AB>BC>AC)
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特别解读
1. 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形.
2. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
3. 中位线具有平移角度、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到.
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(1)[中考·眉山]如图17.2-6，在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为(　　)
A. 9 B. 12
C. 14 D. 16
例4
A
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解题秘方：(1)紧扣“三角形中位线定理”的数量关系，计算△DEF的三边长度；
解：(1)∵点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，
∴DE，EF，DF是△ABC的中位线.
∴DE= BC=3，EF= AB=2，DF=AC=4.
∴△DEF的周长为3+2+4=9．
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(2)如图17.2-7，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为(　　)
A. 60° B. 65°
C. 70° D. 75°
B
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解题秘方： (2)紧扣“三角形中位线定理”的位置关系和平行线的性质解答.
解： (2)∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE，EF是△ABC的中位线. ∴DE∥BC，EF∥ AB.
∴∠ADE= ∠B，∠B= ∠EFC.
∴∠EFC= ∠ADE=65°.
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4-1. [中考·广安]如图，在△ ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A=45°，∠CED=70°，则∠C的度数为( )
A. 45° B. 50°
C. 60° D. 65°
D
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4-2. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB=3，BC=4，则四边形BDEF的周长是________ .
7
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如图 17.2-8，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE=DC，连结AE，交BC于点F，连结AC，BD，交于点O，连结OF.
求证：AB=2OF.
例5
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思路导引：
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证明：如图 17.2-8，连结 BE.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，点O是AC的中点 .
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一
点，且CE=DC，∴AB∥CE，AB=CE.
∴四边形ABEC是平行四边形 . ∴点F是BC的中点 .
∴OF是△ABC的中位线 . ∴AB=2OF.
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5-1. 如图，已知在△ABC中，D，E分别是 AB，BC的中点，连结DE，CD，过点E作EF∥CD交AC的 延长线于点F．求证：CF=AC．
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平行四边形的判定
定义
对角关系
平行四边形
对边关系
对角线关系
性质
判定
三角形的
中位线

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