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(共41张PPT)
18.1 矩形
第十八章 矩形、菱形与正方形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
矩形的定义及其性质
矩形的判定
直角三角形斜边上的中线的性质
知1－讲
感悟新知
知识点
矩形的定义及其性质
1
1.定义：
定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形
图示
数学语言 如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，
且∠ABC=90°，∴ ABCD 是矩形
也就是长方形
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1.矩形必须具备两个条件：
(1)它是一个平行四边形；
(2) 它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.
2. 由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法 .
感悟新知
2. 性质：作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质. 如下表：
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文字语言 数学语言 图示
性 质 定 理 角 性质定理1：矩形的四个角都是直角 ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ DAB= ∠ ABC=∠ BCD= ∠ ADC=90°
对角 线 性质定理2：矩形的对角线相等 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AC= BD 感悟新知
知1－讲
文字语言 数学语言 图示
对 称 性 轴对 称图 形 两条对称轴：过每组对边中点的直线 直线m，n 是矩形 ABCD的两条对称轴
中心 对称 图形 对称中心：两条对角线的交点 AC 与BD 的交点O 是矩形 ABCD 的对称中心 感悟新知
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特别提醒： 矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计算问题经常转化到直角三角形和等腰三角形中来解决 .
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[母题 教材P113 例3] 如图18.1-1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E.
(1)若∠BOC=120°，AB=6，求对角线BD的长；
(2)若∠DAE∶∠BAE=2∶1，求∠EAC的度数.
例1
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解题秘方：紧扣“矩形的角、对角线的性质”进行计算.
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解： ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD. ∴OA=OC=OB=OD. ∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°.
∴△AOB是等边三角形. ∴OB=AB=6.
∴BD=2OB=2×6=12.
(1)若∠BOC=120°，AB=6，求对角线BD的长；
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解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=90°.
∵∠DAE∶∠BAE=2∶1，∴2∠BAE+ ∠BAE=90°，∴∠BAE=30°. ∵AE ⊥ BD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=180°-∠AEB-∠BAE=60°.
由(1)知OA=OB，∴∠BAO= ∠ABE=60°，
∴∠EAC= ∠BAO- ∠ BAE=30°.
(2)若∠DAE∶∠BAE=2∶1，求∠EAC的度数.
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1-1. [期末·三门峡]如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ ADB=40 °，那么∠ E 的度数为 ________．
20°
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知识点
矩形的判定
2
注意两个条件不同
判定方法 数学语言 图示
角 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 ABCD 中， ∵∠ ABC=90°， ∴ ABCD 是矩形
判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD 中， ∵∠ A= ∠ B= ∠ C=90°，∴四边形ABCD 是矩形
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判定方法 数学语言 图示
对 角 线 判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 在 ABCD 中， ∵ AC=BD， ∴ ABCD 是矩形角
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感悟新知
特别提醒
矩形判定的常见思路：
(1)四边形 矩形；
(2)平行四边形矩形.
(3)平行四边形矩形；
(4)四边形矩形.
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如图18.1-2，在 ABCD中，E，F为BC边上的两点，且BE=CF，AF=DE.求证： ABCD是矩形.
例2
解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，∴∠B+ ∠ C = 180°.
∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.
又∵AF=DE，∴△ABF≌△DCE.
∴∠B= ∠C=90°. ∴ ABCD是矩形.
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2-1.如图，△ABC 中，点O，D 分别是边AB，BC 的中点，过点A 作AE ∥BC 交DO 的延长线于点E，连结AD，BE．
(1) 求证：四边形AEBD 是平行四边形；
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证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB.
∵AE∥BC，∴∠EAO＝∠OBD，∠AEO＝∠BDO.
在△AEO和△BDO中，∵∠AEO＝∠BDO，∠EAO＝∠DBO，OA＝OB，
∴△AEO≌△BDO.∴AE＝BD.
又∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形．
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(2) 若AB=AC，求证：四边形AEBD是矩形．
证明：∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
由(1)得四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形．
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如图 18.1-3， ABCD 的四个内角的平分线分别相
交于点 E， F， G， H. 求证： 四边形 EFGH 是矩形 .
例3
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解题秘方：题中条件建立在平行四边形的基础上，且都与角相关，可从证直角入手.
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证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD，∴∠ ABC＋∠ BCD=180° .
∵ BG 平分∠ ABC， CG 平分∠ BCD，
∴ ∠ GBC＋ ∠ GCB= ∠ ABC＋ ∠ BCD=
×180° =90°，
知2－练
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∴∠ BGC=180° － (∠ GBC＋ ∠ BCG) = 90° .
同理可得∠ AFB= ∠ AED=90°，
∴∠ GFE= ∠ FEH= ∠ FGH=90°，
∴四边形 EFGH 是矩形.
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3-1.如图，在△ ABC中，AB=AC，D 是BC的中点，CE ∥ AD，AE ⊥ AD. 求证：四边形ADCE 是矩形.
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
∵CE∥AD，∴∠ECD＝180°－∠ADC＝90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°.
∴四边形ADCE是矩形．
感悟新知
知2－练
如图 18.1-4，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC， E， F 两点在边 BC 上， AB ∥ DE， AF ∥ DC，
且四边形AEFD 是平行四边形 .
例4
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解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从对角线相等”入手(或“有一直角”入手)进行证明 .
感悟新知
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(1) AD 与 BC 有何数量关系？
解： ∵ AD ∥ BC， AB ∥ DE， AF ∥ DC，
∴四边形 ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形 .
∴ AD=BE， AD=FC.
又∵四边形 AEFD 是平行四边形，
∴ AD=EF. ∴ AD=BE=EF=FC. ∴ BC=3AD.
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知2－练
(2)当 AB=DC 时，求证： AEFD 是矩形 .
证明：
∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴ DE=AB， AF=DC. 又∵ AB=DC，∴ DE=AF.
又∵四边形 AEFD 是平行四边形，
∴四边形 AEFD 是矩形 .
知2－练
感悟新知
4-1. 如图， ABCD 中， E 为BC 边的中点，连结 AE并延长，交 DC 的延长线于点 F，延长 EC 至点 G，使 CG=CE，连结 DG，DE， FG．
知2－练
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(1)求证： △ ABE ≌△ FCE；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE.
∵E为BC的中点，∴EC＝EB.
在△ABE和△FCE中，
∵∠EAB＝∠EFC，∠BEA＝∠CEF，EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE.
知2－练
感悟新知
证明：∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD＝BC，∴DC＝CF.
又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形．
∵E为BC的中点，∴BC＝2EC.
又∵AD＝BC＝2AB，∴DC＝AB＝EC.
∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．
(2)若 AD=2AB， 求证： 四边形 DEFG 是矩形．
知3－讲
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知识点
直角三角形斜边上的中线的性质
3
文字语言 数学语言 图示
性质 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，在Rt △ ABC 中， ∵∠ACB=90°，AD=BD， ∴ CD= AB(或CD= AD=BD)
性质 定理的逆 定理 一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形 如图，在△ ABC 中， ∵ CD= AB，AD=BD， ∴△ABC是直角三角形， 且∠ ACB=90° 感悟新知
知3－讲
特别解读
1. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形.
2. 此性质是解决线段倍分关系的重要依据.
知3－练
感悟新知
[母题 教材P124 习题T7 ]如图18.1-5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD的长为________ .
例5
4
知3－练
感悟新知
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
CE为AB边上的中线，
∴AE=CE=5. ∴DE=AE-AD=5-2=3.
在Rt△CDE中，CD= = =4.
解题秘方：根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理解答．
知3－练
感悟新知
5-1. [中考·德阳]如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，将△ ABC沿CB 方向向右平移至△ EGF 处，使EF 恰好过边AB 的中点D，连结CD， 若CD=1， 则GE=( )
A. 3 B . 2
C. 1 D.
B
知3－练
感悟新知
如图18.1-6，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ A=65 °，
CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连结ED，则∠DEC的度数是(　　)
A．25° B．30°
C．40° D．50°
例6
知3－练
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°，∠ A=65°，
∴∠ B=90°-65°=25°. ∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°.
∵E是BC的中点，∴DE=CE=EB. ∴∠EDB= ∠B=25°.
∴∠DEC= ∠EDB+ ∠B=25°+25°=50°.
解题秘方：根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形角的性质进行解答.
答案：D
知3－练
感悟新知
6-1. [中考· 兰州]如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别在边AB，BC 上，连结EF 交对角线BD 于点P． 若P 为EF 的中点，∠ ADB=35 °，则∠ DPE=( )
A. 95° B. 100°
C. 110° D. 145°
C
矩形
对角线的性质
对角线的关系
矩形
直角三角形斜边
上中线的性质
性质
判定
边的性质
角的性质
角的关系
定义

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